ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধার সিদ্ধান্তহীনতা

Question

ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধা হ'ল একটি গোলকধাঁধা যার মধ্যে নিজের অনুলিপি থাকে। উদাহরণস্বরূপ, নিবন্ধটি মার্ক জেপি ওল্ফের এই নিবন্ধ থেকে :

MINUS এ শুরু করুন এবং PLUS এ আপনার পথ তৈরি করুন। আপনি যখন গোলকধাঁধাঁটির একটি ছোট অনুলিপি প্রবেশ করেন, সেই অনুলিপিটির অক্ষরের নামটি অবশ্যই রেকর্ড করে নিন, কারণ আপনাকে এই অনুলিপিটি বেরিয়ে যাওয়ার পথে হবে। আপনি যে ধাঁধাটি প্রবেশ করেছেন তার প্রতিটি নেস্ট করা অনুলিপি থেকে আপনাকে বেরিয়ে আসতে হবে, আপনি যে বিপরীত ক্রমটি প্রবেশ করেছিলেন তা রেখে (উদাহরণস্বরূপ: A লিখুন, বি প্রবেশ করুন, সি প্রবেশ করান, সি থেকে বেরোন, বি প্রস্থান করুন) A এটিকে নেস্টেড বাক্সগুলির একটি সিরিজ হিসাবে ভাবেন। নেস্টেড অনুলিপিটি ছেড়ে যাওয়ার যদি কোনও প্রস্থান পথ না থাকে, আপনি একটি সীমাতে পৌঁছে গেছেন। রাস্তাগুলি পরিষ্কার করার জন্য রঙ যুক্ত করা হয়েছে তবে এটি কেবল আলংকারিক।

যদি কোনও সমাধান বিদ্যমান থাকে, প্রস্থ-প্রথম-অনুসন্ধানে একটি সমাধান খুঁজে পাওয়া উচিত। তবে, ধরুন ধাঁধাঁটির কোনও সমাধান নেই - তবে আমাদের অনুসন্ধান প্রোগ্রামটি চিরকাল গভীরতর ও গভীরতর হতে চলেছে।

আমার প্রশ্নটি: একটি ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধা দেওয়া, এর সমাধান রয়েছে কিনা তা আমরা কীভাবে নির্ধারণ করতে পারি?

অথবা বিকল্পভাবে, প্রদত্ত আকারের ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধাটির জন্য (প্রতি কপি অনুসারে ইনপুট / আউটপুটগুলির সংখ্যা), সংক্ষিপ্ত সমাধানের দৈর্ঘ্যের কোনও সীমাবদ্ধতা রয়েছে? (যদি এমন কোনও সীমাবদ্ধতা থাকে তবে আমরা কেবল গভীরভাবে এক্সসেসটিভালি অনুসন্ধান করতে পারি)

Comments

এফএকিউ পড়ার পরে আমি বিশ্বাস করি না এটি এটির অন্তর্ভুক্ত। এটি সম্ভবত কোনও রিসার্ক-স্তরের তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের প্রশ্ন নয়। ভুল জায়গায় পোস্ট করার জন্য দুঃখিত। কেউ এই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার জন্য এবং / অথবা এটি সেখানে স্থানান্তর করার জন্য উপযুক্ত ফোরামের পরামর্শ দিতে পারে?

— নিক অ্যালজার

গণিত , কম্পিউটার বিজ্ঞান ।

— কাভেহ

আমি সেখানে অংশ নেওয়ার পর থেকে আমি গণিত.স্ট্যাকেক্সেঞ্জেনে পোস্ট করা বিবেচনা করেছি, তবে এটি কিছুটা অ্যালগোরিদম-ওয় বলে মনে হয়েছিল। আমি জানতাম না যে একটি কম্পিউটার সায়েন্স স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ রয়েছে। মডারেটররা যদি সেই জায়গাগুলির কোনওটিতে স্থানান্তর করতে চান তবে আমার আপত্তি হবে না।

— নিক অ্যালজার

এটি আমার কাছে স্পষ্ট নয় যে এটি এখানে অফ-টপিক ... স্পষ্টতই অফ-টপিক প্রশ্নগুলি সাধারণত উর্ধ্বতনগুলির চেয়ে বেশি ডাউনটা পায়

— জো

পুশডাউন অটোমেটন হিসাবে আপনি কোনও ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধির প্রতিনিধিত্ব করতে পারবেন না, যেখানে স্ট্যাকটি সাবম্যামেসের ক্রমটির সাথে মিলে যায়? তারপরে দ্রবণীয়তার প্রশ্নটি প্রাসঙ্গিক মুক্ত ভাষার জন্য শূন্যতার সমস্যায় পরিণত হবে, যা সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য।

— পিটার শর

Answer 1

সমস্যাটি নির্ধারণযোগ্য তা প্রমাণ করার জন্য একটি দ্রুত অনানুষ্ঠানিক অ্যালগরিদম:

• অনুমান করা আছে ইনপুট / আউটপুট আমি 1 , । । । আমি এন ;$n$$I_1,...I_n$
• গ্রাফ তৈরী যেখানে প্রতিটি আমি আমি , এম আমি এন ইউ এস এবং পি এল ইউ এস নোড হয়, এবং প্রতিটি নেস্টেড ধাঁধা প্রতিস্থাপন এম ঞ একটি সঙ্গে কে এন subgraph (সম্পূর্ণ গ্রাফ); মধ্যে প্রান্ত যোগ আমি আমি , এম আমি এন ইউ এস , পি এল ইউ এস , এম ঞ আমি ট ধাঁধা অনুযায়ী; রাখা "extern" এম ঞ আমি আমি → এম $G$$I_i$$MINUS$$PLUS$$Mj$$K_n$$I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ সঙ্গতিপূর্ণ "অভ্যন্তরীণ" প্রান্ত থেকে স্বতন্ত্র প্রান্তআমিআমি→আমিkএরএমঞসম্পূর্ণ subgraph হিসেবে;$Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$$I_i \rightarrow I_k$$Mj$
• MINUS থেকে প্লাস সমস্ত পাথ গনা (চক্র এড়ানো);$G$
• যদি আপনি এমন কোনও পথ খুঁজে পান যা কোনও নেস্টেড অনুলিপিটিকে অতিক্রম করে না, তবে এটি সমাধান; অন্যথায় প্রতিটি পাথের নেস্টেড ম্যাজেস এর প্রতিটি "অভ্যন্তরীণ" ট্র্যাভারসালগুলি প্রসারিত করুন :$Mj$

ধরুন যে প্রথম শুমার একটি পথ , তারপর পথ একটি বৈধ সমাধান iif সেখান থেকে একটি পাথ হয় আমি আমি → আমি জে এবং আমার কাছ থেকে$MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$$I_i \rightarrow I_j$ মূল ধাঁধা (গ্রাফ জি )।$I_k \rightarrow I_h$$G$

সুতরাং আমরা আবশ্যক প্রসারিত এবং বি আমি ট → বি আমি জ থেকে সব পাথ enumerating traversals আমি আমি করতে আমি k থেকে আমি $A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$$B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$$I_i$$I_k$$I_k$ করার মধ্যে জি ।$I_h$$G$

অসীম লুপ সনাক্ত করা যখন আমরা থেকে সব পাথ enumerating হয় করতে আমি ট একটি পাথ একজন সম্প্রসারণ যে একটি পূর্ববর্তী পর্যায়ে ইতিমধ্যে অন্তর্ভুক্ত । । । → এম আই আমি → এম আই কে → । । $I_i$$I_k$$... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$কিছু সাবমাইজ (কেবলমাত্র এন 2 সম্ভাব্য বিস্তৃতি রয়েছে)।$M$$n^2$

সমাধানের সন্ধান পাওয়া যায় যদি আমরা কোনও পথের প্রসারণ পাই যা কেবল ইনপুট / আউটপুট ; যদি আমরা লুপগুলি ছাড়াই পথগুলি আরও প্রসারিত করতে না পারি তবে গোলকধাঁটির কোনও সমাধান নেই।$I_i$

Comments

কি দারুন! কি চতুর ধারণা। আমি মনে করি এটি কাজ করে তবে এটি এখনও আমার মনের মধ্যে কিছুটা অস্পষ্ট, তাই আমি গ্রহণের আগে একে একে মুছে ফেলার জন্য একটু সময় নিচ্ছি।

— নিক অ্যালগার

হ্যাঁ হাঁ, বেশ নিশ্চিত যে এই অ্যালগরিদমটি সঠিক। উপরের পিটার শোরের মন্তব্যে উল্লেখ করে আমি অবাক হয়েছি আপনি যদি প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষা শূন্যতার সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্যতা সমস্যার জন্য প্রমাণ সরবরাহ করতে পারেন তবে আপনি কি এটি ঘুরিয়ে দিতে পারেন ..? প্রদত্ত প্রসঙ্গমুক্ত ভাষা শূন্যতার সমস্যার জন্য, সমান ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধাটি তৈরি করুন, তারপরে এই অ্যালগরিদমটি প্রয়োগ করুন।

— নিক অ্যালজার

@ নিক: একটি ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁটি একটি বিপরীত পুশডাউন অটোমেটনের সাথে সম্পর্কিত , যেখানে আপনি যদি কোনও রাজ্য এস থেকে একটি স্টেট টি তে রূপান্তর করতে পারেন তবে আপনি টি থেকে এস তে রূপান্তরও করতে পারেন, ফ্র্যাক্টাল ম্যাজগুলি হ'ল এটি সহজভাবে দেখানো উচিত প্রকৃতপক্ষে বিপরীত পুশডাউন অটোমেটার সমতুল্য। একটি উপপাদ্য রয়েছে যে বলা হয়েছে (বহুভুতির উপাদানগুলি অবধি) বিপরীত টুরিং মেশিনগুলির নিয়মিত ট্যুরিং মেশিনের সমান শক্তি রয়েছে। আমি জানি না যে এর আগে কেউ বিপরীতমুখী পুডডাউন অটোম্যাটা অনুসন্ধান করেছে কিনা, তাই তাদের সম্পর্কে কিছুই জানা আছে কিনা তা আমি জানি না।

— পিটার শর

@ পিটার: আমি এই বিপরীত পুশডাউন অটোমাতাটি পেয়েছি , তবে "বিপরীত" এর সংজ্ঞাটি আলাদা বলে মনে হচ্ছে। (পিডিএ হিসাবে ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধার সহজ এবং পরিষ্কার ব্যাখ্যার জন্য পিএস অভিনন্দন !!!)

— মারজিও ডি বিয়াসি

উপরে অ্যালগরিদম নির্দেশ গ্রাফ বাড়ানো যেতে পারে (irreversibe ফ্র্যাক্টাল mazes), আপনি শুধু হবে সম্ভব প্রসারণও (বিবেচনা করতে আমি k → আমি ঞ এবং আমি ঞ → আমি ট )। $2n^2$$I_k \rightarrow I_j$ $I_j \rightarrow I_k$

— নিক অ্যালজার

Answer 2

এটি আমার প্রশ্নের কোনও "উত্তর" নয়, বরং এগুলির একটি বর্ধিত মন্তব্য যা এখানকার লোকদের আকর্ষণীয় মনে হতে পারে।

আমি দাবি করি যে একটি গোলকধাঁধা এবং সমাধানের একটি প্রাকৃতিক "বিশ্লেষণ-ধরণের" সংজ্ঞা রয়েছে এবং এটি আমরা এখানে ব্যবহৃত কম্পিউটার-বিজ্ঞান / গ্রাফ-তাত্ত্বিক সংজ্ঞা থেকে পৃথক। বিশেষত, আপনার একটি ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধা থাকতে পারে যা বিশ্লেষণ সংজ্ঞা অনুসারে একটি "সমাধান" রয়েছে, তবে মেরিজিও ডি বিয়াসির অ্যালগরিদম এবং পিটার শোরের পুশডাউন অটোমেটা কৌশল দ্বারা অবিশ্বাস্য বলে ঘোষণা করা হবে।

সংজ্ঞা: একটি ধাঁধা সমতল একটি কম্প্যাক্ট উপসেট এম ⊂ আর 2 একটি শুরুর বিন্দু ধারণকারী এবং এন্ডপয়েন্টের গুলি , ই ∈ এম যথাক্রমে। একটি সমাধান একটি ক্রমাগত ফাংশন চ : [ 0 , টি ] → এম যেমন যে চ ( 0 ) = গুলি এবং চ ( টি ) = $M$$M \subset \mathbb{R}^2$$s,e \in M$$f:[0,T] \rightarrow M$$f(0)=s$$f(T)=e$ ।

এখন হিলবার্ট কার্ভ বিবেচনা করুন :

নিম্নলিখিত চিত্রের সাহায্যে কেউ এই বক্ররেখাকে "ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধা" হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারে:

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

এখন আপনি যুক্তি দিতে পারেন যে এটি ফ্র্যাক্টাল ম্যাজসের আত্মায় নয় কারণ হিলবার্ট বক্ররেখাটি পুরো স্কোয়ারটি পূরণ করে এবং তাই আপনি শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত একটি সরল রেখাংশ আঁকতে পারেন। এই আপত্তিটি সহজেই ওভাররাইড করা যায় - কেবল হিলবার্ট কার্ভ ডায়াগ্রাম এম্বেড করে সরাসরি ব্যবহার করুন, এখানে প্রদর্শিত হিসাবে:

এটিতে হিলবার্ট কার্ভের অভিন্ন রূপান্তর দেখানোর জন্য একই যুক্তির দ্বারা শুরু থেকে শেষ অবধি সমান অভিমুখী অবিচ্ছিন্ন পথগুলির ক্রম রয়েছে sequ তবে এটি পুরো স্থানটি পূরণ করে না এমন অর্থে এটি একটি সত্য "ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধা"।

এইভাবে আমাদের একটি ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁধা আছে যা বিশ্লেষণী সংজ্ঞা দ্বারা দ্রবণযোগ্য, তবে গ্রাফ তাত্ত্বিক সংজ্ঞা দিয়ে অবিশ্বাস্য ..!?

যাইহোক, আমি নিশ্চিত যে আমার যুক্তিটি সঠিক, তবে এটি বিপরীতমুখী বলে মনে হচ্ছে সুতরাং যদি কেউ এই বিষয়ে কিছু আলোকপাত করতে পারে তবে আমি এটির প্রশংসা করব।

Comments

একটি নিষ্পাপ মন্তব্য: হিলবার্ট কার্ভের "সাবম্যামেস" ছোট, তাই "অবিচ্ছিন্ন বিশ্বে" এটি কাজ করে; "বিচ্ছিন্ন বিশ্বে" আপনি কখনই "প্রস্থান" করতে পারবেন না কারণ আপনি প্রথম সাবম্যাজে প্রবেশ করা চালিয়ে যাচ্ছেন (হিলবার্ট বক্ররেখার নীচে-বামে অন্তহীন জুমের মতো)। এটি জেনোর প্যারাডক্সের সাথে

— মার্জিও ডি বায়াসি

PS আমি ভাবি যে ফ্র্যাক্টাল কার্ভের কোনও দরকার নেই: s থেকে f পর্যন্ত একটি সরল অনুভূমিক রেখা একটি একক কেন্দ্রীয় সাবম্যাজেস (যা একটি সাব-সাবমাইজ ইসি সহ একটি অনুভূমিক রেখা রয়েছে। ইসি।) একই বিবেচনার দিকে নিয়ে যায়।

— মারজিও ডি বায়াসি

ভাল যুক্তি. যদি আপনি এটির ডানদিকে প্রস্থের 1/2 প্রস্থের একটি সাব-বক্স দিয়ে থাকেন তবে এটি ঠিক জেনোর প্যারাডক্সের মতো নয়, আপনি ঠিক জেনোস প্যারাডক্স পাবেন। আরও বিবেচনার পরে দেখে মনে হচ্ছে অবিচ্ছিন্ন সংজ্ঞা ফ্র্যাক্টাল ম্যাজগুলির পক্ষে উপযুক্ত নয় কারণ এটি প্রায় প্রতিটি ফ্র্যাক্টাল গোলকধাঁটিকে সমাধানযোগ্য করে তোলে।

— নিক অ্যালজার

তবে এটি জেন ​​গোলকধাঁধার ধ্যানের জন্য উপযুক্ত (ধ্যানের প্রসঙ্গে একটি গোলকধাঁধা এবং গোলকধাঁধার মধ্যে পার্থক্যের জন্য গুগল) :-)

— মার্জিও ডি বিয়াসি