কোয়ান্টাম গণনা - কিউএম এর পোস্টুলেটস

11

আমি সবেমাত্র নিলসন-চুয়াং বই থেকে কোয়ান্টাম গণনা সম্পর্কে শিখতে (স্বতন্ত্র) শুরু করেছি।

আমি জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছিলাম যে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের পরিমাপের পোস্টুলেটের সাথে কি চলছে সে সম্পর্কে কেউ আমাকে সাহায্য করার জন্য সময় খুঁজতে চেষ্টা করতে পারেন কিনা। আমি বলতে চাইছি, আমি পোস্টুলেটকে প্রশ্ন করার চেষ্টা করছি না; তার ঠিক যে আমি কিভাবে পরিমাপ করার পরে আপনি কম্পিউটার রাজ্যের মান আসে আউট পাবেন না । $M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$

যদিও পোস্টুলেট বলে মনে হচ্ছে ঠিক এটি, আমি এটি সত্যিই বিশ্রী মনে করি এটি কেন এই অভিব্যক্তি। আমি জানি না আমি এখানে যা চাইছি তা বোধগম্য হয় কি না, তবে এটি এমন কিছু হিসাবে প্রমাণিত হচ্ছে যা কোনও কারণে আমাকে আর পড়তে বাধা দেয় বলে মনে হচ্ছে,

quantum-computing quantum-information

— আকাশ কুমার
সূত্র

1

আপনি যে শব্দটি লিখিত করেছি,

M_{m} / \sqrt{< ψ | M_{m}^{+} M_{m} | ψ >}

$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$ , মোটেই কোনও রাষ্ট্র নয়। আমার অনুমান তুমি যোগ করার জন্য বোঝানো

| ψ >

$|\psi>$ যে পরে?

— রবিন কোঠারি

হ্যা, তা ঠিক. আমি একটি অ্যাড বোঝানো

| ψ >

$|\psi>$ পর যে

— আকাশ কুমার

7

আপনি যদি ভুলগুলি লক্ষ্য করেন তবে আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করুন।

— Jukka Suomela

7

আমি জানি না এটি "ব্যাখ্যা" কিনা, তবে আশা করি এটি একটি দরকারী "বিবরণ"।

প্রজেক্টিভ পরিমাপের চেয়ে সাধারণত, একজন সর্বদা অপারেটরকে পরিমাপ করে । (একটি প্রজেক্টর এটির একটি বিশেষ কেস)) সুতরাং "অপারেটর পরিমাপ করা" এর অর্থ কী?

ঠিক আছে, অপারেটরগুলি প্রায়শই 'পর্যবেক্ষণযোগ্য' শারীরিক পরিমাণের সাথে মিল রাখে। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ, শক্তি; তবে কেউ (কখনও কখনও অপ্রত্যক্ষভাবে) অন্যান্য পরিমাণগুলিও পরিমাপ করতে পারে, যেমন কৌণিক গতিবেগ, চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের জেড- উপাদানগুলি ইত্যাদি What 'স্পিন +1/2' অবস্থায় 'স্পিন −1/2' এর বিপরীতে, বা হাইড্রোজেন পরমাণুতে স্থল-রাষ্ট্রের বিপরীতে প্রথম উত্তেজিত শক্তি স্তরে,) প্রতিটি পূর্বের সম্ভাব্য ফলাফল হলেও কিছু সম্ভাবনা সঙ্গে উপলব্ধি করা হয়।

আমরা একটি পরিমাপের জন্য একটি পরিমাপের আসল-মূল্যবান ফলাফলগুলির প্রতিটি নির্ধারণ করি। আমরা যেভাবে এটি করি তা হর্মিটিয়ান অপারেটর --- অর্থাৎ এমন একটি অপারেটর যা বিভিন্ন উপ-স্পেসের সাথে একটি রিয়েল ইগ্যালভ্যালুকে সংযুক্ত করে, উপ-স্পেসগুলি পুরো হিলবার্ট স্পেস পর্যন্ত যোগ করে দেয় describe একজন প্রজেক্টর এমন একটি অপারেটর, যেখানে আসল মান 0 এবং 1 হয়; অর্থাত্ বর্ণনা করে যে কোনও ভেক্টর একটি নির্ধারিত উপ-স্পেসের (1 এর মান দেয়) বা এর অর্থকম্প্লেমেন্টের (0 এর মান দেয়) অন্তর্গত। এই হার্মিটিয়ান অপারেটরগুলি পর্যবেক্ষণযোগ্য এবং ইগেনস্পেসগুলি সেগুলির জন্য যা পর্যবেক্ষকের একটি "নির্দিষ্ট" মান রয়েছে।

তবে যেসব ভেক্টরগুলি ইগেনভেেক্টর নয় এবং এই পর্যবেক্ষণযোগ্যদের জন্য "নির্দিষ্ট" মান নেই, তাদের সম্পর্কে কী বলা যায়? এখানে বর্ণনার অ-ব্যাখ্যাযোগ্য অংশটি রয়েছে: আমরা এগুলিকে একটি ইগেনস্পেসের মধ্যে প্রজেক্ট করি, যাতে একটি ভাল-সংজ্ঞায়িত মান সহ একটি ইগেনভেક્ટર পাওয়া যায়। আমরা কোন প্রজেকশন প্রয়োগ করি তা এলোমেলোভাবে নির্ধারিত হয়। সম্ভাব্যতা বিতরণ পরিচিত জন্ম নিয়ম দ্বারা দেওয়া হয়:

\underset{| ψ ⟩}{Pr} (E = c) = ⟨ ψ | Π_{c} | ψ ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$

যেখানে হ'ল 'পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিমাণ' ই- এর সি- ইজেনস্পেসে প্রজেক্টর (একটি অপারেটর )। পোস্ট মাপা রাষ্ট্র কিছু রাষ্ট্রের অভিক্ষেপ সম্মুখের কিছু পর্যবেক্ষণযোগ্য এর eigenspace একজন । এবং তাই যদি হল প্রাক-পরিমাপের অবস্থা, পরিমাপ-পরবর্তী অবস্থা এবং and হল 'প্রকৃত ফলাফল' পরিমাপ করা হয় ( অর্থাত্ পূর্ব-পরিমাপের রাজ্যটি প্রকৃতপক্ষে প্রবর্তিত হয়েছিল এমন ), আমাদের আনুপাতিকতার ফলাফল রয়েছে $\Pi_c$ $A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$ $|\psi\rangle$ $| \psi_0 \rangle$ $| \psi_1 \rangle$ $\Pi_c$

| ψ_{1} ⟩ \propto Π_{c} | ψ_{0} ⟩

$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$

প্রক্ষেপণ বিধি দ্বারা স্রেফ বর্ণিত। এজন্য আপনার সূত্রে প্রজেক্টর রয়েছে।

সাধারণভাবে, ভেক্টর ইউনিট ভেক্টর নয়; যেহেতু আমরা অন্য ইউনিট ভেক্টর দ্বারা পরিমাপ-পরবর্তী অবস্থার বর্ণনা দিতে চাই, আমাদের অবশ্যই এটি পুনরুদ্ধার করতে হবে $| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

‖ | ψ_{1}^{'} ⟩ ‖ = \sqrt{⟨ ψ_{1}^{'} | ψ_{1}^{'} ⟩} = \sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩},

$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$

যা সম্ভাব্যতা যা দিয়ে ফলাফলের ঘটবে বর্গ-মূল অবরোহমার্গী । এবং তাই, আমরা আপনার প্রশ্নের সূত্রটি পুনরুদ্ধার করি,

| ψ_{1} ⟩ = \frac{Π_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | Π_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$

(যদি এই সূত্রটি খানিকটা আনাড়ি বলে মনে হয় তবে মনে রাখবেন যে আপনি ঘনত্ব অপারেটরদের মাধ্যমে কোয়ান্টাম রাজ্যের প্রতিনিধিত্ব করেন তবে কিছুটা ভাল লাগে এবং মনে হয় কিছুটা ভাল)

যুক্ত করতে সম্পাদিত: উপরেরগুলি পিওভিএম-এর বিবরণ হিসাবে গণ্য করা উচিত নয়। একটি "পজেটিভ অপারেটর মূল্যবান পরিমাপ" একটি সংগ্রহ in E _সি } _সি_{∈ সি} বিভিন্ন পরিমাপযোগ্য পর্যবেক্ষণযোগ্য ই _সি এর প্রত্যাশা মান বর্ণনা করার জন্য আরও ভাল দেখা যায় ।

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

6

আমি আকাশ কুমারের প্রশ্নের আরও একটি উত্তর দেব, যা হ'ল (বিশেষত শিক্ষার্থীদের জন্য) কোয়ান্টাম মেকানিক্সের রহস্যের সাথে আঁকড়ে ধরার জন্য একটি ভাল পদ্ধতির প্রথমে ধ্রুপদী যান্ত্রিকের রহস্যের সাথে ঝাঁপিয়ে পড়া।

এক্ষেত্রে, প্রস্তাবিত পাঠ্যপুস্তকটি (যা পেপারব্যাকে পাওয়া যায়) হ'ল স্টেফানি ফ্র্যাঙ্ক সিঙ্গারের "মেকানিক্সের প্রতিসাম্য: একটি নম্র আধুনিক ভূমিকা" ... যা সংক্ষিপ্ত এবং স্পষ্ট হওয়ার সুবিধা রয়েছে (120 টি সমস্যা স্পষ্টভাবে কাজ করেছে) এবং এখনও এটি লক্ষণীয় জ্যামিতি এবং মিথ্যাবাদী তত্ত্বের মূল আধুনিক ধারণাগুলি আত্মবিশ্বাসের সাথে আত্মবিশ্বাসের সাথে গ্রহণ করে।

এখানে বক্তব্যটি হ'ল বিশ শতকের গোড়ার দিকে, কোয়ান্টাম মেকানিক্স এবং শাস্ত্রীয় যান্ত্রিকগুলি গতিবিদ্যার দুটি একেবারে পৃথক তত্ত্বের মতো মনে হয়েছিল। তবে আমরা যদি ভ্লাদিমির আর্নল্ডের সর্বোচ্চটিকে "হ্যামিল্টনীয় যান্ত্রিক পদক্ষেপের জায়গাতে জ্যামিতি বলে বিবেচনা করি; ফেজ স্পেসে একটি সিম্পিকটিক ম্যানিফোল্ডের কাঠামো রয়েছে" এবং আমরা অষ্টেকার / শিলিং ম্যাক্সিমকেও গুরুত্ব সহকারে বিবেচনা করি যে "লিনিয়ার কাঠামো যা সর্বাগ্রে রয়েছে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের পাঠ্য-পুস্তকের চিকিত্সা হ'ল, কেবলমাত্র একটি প্রযুক্তিগত সুবিধার্থ এবং প্রয়োজনীয় উপাদান --- বিভিন্ন রাজ্যের বহুগুণ, সাম্প্রদায়িক কাঠামো এবং রিমানিয়ান মেট্রিক --- এই লিনিয়ারটি ভাগ করে না ", তারপরে আমরা আরও উন্নত হয়ে উঠি প্রশংসা যে ট্রয় শিলিংয়ের 1996 এর থিসিস দৃ as় গাণিতিক ভিত্তির উপর নির্ভর করে যে "

শাস্ত্রীয় / কোয়ান্টাম ডায়নামিক্সের জন্য এই একীভূত জ্যামিতিক পদ্ধতির সাফল্য মূলত ক্লাসিকাল যান্ত্রিকগুলি আরও রহস্যময় বলে মনে হয় এবং কোয়ান্টাম মেকানিকগুলি কম রহস্যময় বলে মনে হয় ... এবং এটি শিক্ষার্থীদের পক্ষে জানা ভাল যে উভয় প্রকারের শিখার ক্ষেত্রে এটি এক (অনেকেরই) কার্যকর উপায় বলবিজ্ঞান।

5

আপনি যদি এগুলি ইতিমধ্যে না দেখে থাকেন তবে আমি স্কট অ্যারনসনের বক্তৃতার নোটগুলিকে "কোয়ান্টাম কম্পিউটিং ইহুদি ডেমোক্রিটাস" , বিশেষত বক্তৃতা 9 নোটের প্রস্তাব দিই । তারা আমাকে অ-বিশেষজ্ঞ হিসাবে সত্যই সহায়তা করেছিল এবং আমি তার উপস্থাপনাটি এখানে এবং এখানে মূল পয়েন্টগুলিতে ছড়িয়ে দেওয়ার চেষ্টা করেছি ।

আপনার সুনির্দিষ্ট ক্যোয়ারী হিসাবে আমি মনে করি এটি জন্মগত নিয়মটি ব্যবহার করে কিছু সাধারণ উদাহরণ গণনা করতে পারলে এবং পরিমাপের পোস্টুলেট বাস্তবে কীভাবে কাজ করে তা দেখুন যদি তা অনুভূতি তৈরি করতে সহায়তা করে।

আমার পক্ষে এটি মনে করা সবচেয়ে সহজ হয়েছে "" আইথ ফলাফলটি পরিমাপের সম্ভাবনা হ'ল রাজ্য ভেক্টরের আইথ উপাদানটির প্রশস্ততার বর্গ - যদি আপনি অপারেটরের ইগেনভেেক্টরগুলির ভিত্তিতে কোনও পরিবর্তন করেন। "

এটি পরিজ্ঞাততার সাথেও পরিষ্কারভাবে জড়িত যে কোয়ান্টাম মেকানিক্স জটিল সংখ্যার সাথে সম্ভাবনা - কারণ প্রশস্ততার স্কোয়ারগুলি 1 পর্যন্ত হওয়া উচিত।

যতক্ষণ আপনি কোয়ান্টাম কম্পিউটিং অধ্যয়ন করছেন ততক্ষণ আপনি শোরের অ্যালগরিদমের এই আলোচনাটিও দেখতে চাইতে পারেন ।

— মুগজি রুয়েবাঙ্গিরা
সূত্র

আপনাকে মুগিজিকে ধন্যবাদ ... স্কট অ্যারনসনের বক্তৃতা নোটগুলি সত্যিই দুর্দান্ত লাগছে।

— আকাশ কুমার

4

সংযোজন।

আপনার প্রশ্নের ফর্মটি পুনর্বিবেচনা করার পরে ( যেমন ^{ডোনামিনেটরে} এম ^† এম --- উদাহরণস্বরূপ একক অপারেটর এম, যা প্রজেক্টরদের পক্ষে যথেষ্ট) এর বিপরীতে রয়েছে এবং আমার নীলসন এবং চৌংয়ের অনুলিপিটি পুনর্বিবেচনা করেছে, এখানে কিছু পরিপূরক বিশদ রইল আমার পূর্ববর্তী উত্তর দ্বারা আবৃত না। (দৈর্ঘ্যের কারণে এটিকে আমি পৃথক উত্তর হিসাবে পোস্ট করছি এবং কারণ আমি মনে করি এটি আমার আগের উত্তরের চেয়ে 'ব্যাখ্যা' এর চেয়েও কম))

ধরুন যে আমাদের একটি qubit পরিমাপ একমাত্র উপায় এক্স পরোক্ষ হল: একটি হস্তনির্মিত সঙ্গে একটি 'দুর্বল' মিথষ্ক্রিয়া দ্বারা একটি , উপর একটি পরিমাপ দ্বারা অনুসরণ একটি । আমরা এগুলি X মাপার উপায় হিসাবে এক অর্থে কথা বলতে সক্ষম হতে চাই । আমরা কেবলমাত্র এক্স এর শর্তে এই জাতীয় পরিমাপকে কীভাবে বর্ণনা করব ? ওয়েল: অনুমান করা আমরা সহজেই প্রস্তুত করতে পারেন একটি প্রাথমিক অবস্থায় ও সঞ্চালন একটি নিয়ন্ত্রিত সাজানোর পর সঙ্গে ঐকিক এক্স নিয়ন্ত্রণ এবং যেমন একটি লক্ষ্য হিসাবে: $|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

U = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos (\frac{π}{12}) & \sin (\frac{π}{12}) \\ 0 & 0 & - \sin (\frac{π}{12}) & \cos (\frac{π}{12}) \end{matrix}]

$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$

এরপরে আমরা মানকে ভিত্তিতে একটি পরিমাপ করি (যাতে এ এখন পরিমাপের ফলাফল সংরক্ষণ করে)। এটি এক্সের স্থিতিটি নিম্নরূপে রূপান্তরিত করে:

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

উপরে, নোট সমীকরণ যে যদি পরিমাপ ফলাফল গ চূড়ান্ত রাষ্ট্র এর এক্স সমানুপাতিক করতে , যেখানে আমরা সংজ্ঞায়িত $|\psi_1\rangle$ $|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

M_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |, M_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |;

$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$

এবং আমরা যাচাই করতে পারি যে আমরা যে পরিমাপের সাথে পরিমাপের ফলাফল প্রতিটি ক্ষেত্রেই রয়েছে । $\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

এটি প্রক্সিটিভ পরিমাপকে আমরা একইভাবে এক্সের রূপান্তর বর্ণনা করার খুব কাছাকাছি । তবে এটি কি কোনও পরিমাপ, অর্থপূর্ণভাবে বলছে? ঠিক আছে: যদি আমরা এই পদ্ধতির একাধিক পুনরাবৃত্তির ফলাফলের পরিসংখ্যান করতে পারি এবং যদি X প্রাথমিকভাবে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে থাকে তবে আমরা লক্ষ্য করব যে আমরা '0' ফলাফলটি প্রাপ্ত করার ক্ষেত্রে একটি পক্ষপাতিত্ব রয়েছে: আমরা প্রায়শই এটি পাই যখন এক্স প্রারম্ভিক অবস্থায় । যদি পরিমাপের ফলাফলগুলি আরও বেশি বিতরণ করা হয় বা আলাদা করার জন্য আমরা পর্যাপ্ত সময় নমুনা করতে উচ্চতর সম্ভাবনার সাথে আমরা নির্ধারণ করতে পারি যে প্রাথমিকভাবে কিনা? $|1\rangle$ $(\frac12,\frac12)$ $(\frac34,\frac14)$ $|0\rangle$ বা রাষ্ট্র । $|1\rangle$

সম্ভাব্যতা এবং হালনাগাদ সূত্রগুলির প্রক্ষেপণীয় পরিমাপের সাথে মিল এবং আমরা রাষ্ট্রের পরিমাপ সম্পর্কিত তথ্য পেতে পরিমাপের পরিসংখ্যানগুলি ব্যবহার করতে পারি, 'পরিমাপ' ধারণার একটি সাধারণকরণকে যেমন একটি পদ্ধতি অন্তর্ভুক্ত করতে উদ্বুদ্ধ করে উপরে: আমরা এক, দুই, বা আরও বেশি অপারেটর দ্বারা সম্ভাব্য পরিমাপের ফলাফলগুলি বর্ণনা করতে (যা আসলে ' অপারেটর', সিপিটিপি মানচিত্রের সাথে সম্পর্কিত বস্তু), কিছুটা সাধারণীকরণের বিধি দ্বারা বর্ণিত ফলাফলগুলি সহ $M_c$

\underset{| ψ_{0} ⟩}{Pr} (result = c) = ⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩,

$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$

যেখানে হ'ল একটি অপারেটর যা আপনার পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত এবং দেওয়া আপডেট আপডেটের সাথে rule $M_c$

| ψ_{1} ⟩ = \frac{M_{c} | ψ_{0} ⟩}{\sqrt{⟨ ψ_{0} | M_{c}^{†} M_{c} | ψ_{0} ⟩}} .

$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$

সম্ভাব্যতাগুলি সংরক্ষণ করার জন্য (যাতে পরিমাপের ফলাফলগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি নিশ্চিত হওয়ার সাথেই হয়), আমাদের । এটি আপনার প্রশ্নের আরও সাধারণ ফর্ম যা নীলসেন এবং চৌং বর্ণনা করেছেন। (আবার, ঘনত্ব অপারেটরদের দ্বারা রাষ্ট্রগুলির বর্ণনা দেওয়ার সময় এটি কিছুটা ভাল দেখায়)) $\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

সাধারণ মন্তব্য.

সাধারণভাবে, যে কোন সময় যে আমরা একটি হস্তনির্মিত (অথবা ancillas সংগ্রহ) পরিচয় করিয়ে একটি , ইন্টারঅ্যাক্ট একটি qubit (বা একাধিক qubits-খাতা) এক্স সঙ্গে unitarily একজন , এবং তারপর একটি প্রক্ষিপ্ত পরিমাপ সঞ্চালন একজন , এই পরিমাপ কেমন বৃদ্ধি দেয় এর এক্স ; পরিমাপ অপারেটরগুলি তখন ইতিবাচক- অপারেটরদের এর কিছু সংগ্রহের মাধ্যমে বর্ণনা করা যেতে পারে যে (আবার যাতে সম্ভাবনা সংরক্ষণ করা হয়)। $M_c$ $\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

আরও সাধারণ, দুর্বল পরিমাপ এখানে বর্ণিত আরো ঘনিষ্ঠভাবে POVMs, যা আপনি সহজে 'abstractly' পরিমাপ সম্ভাব্যতা বর্ণনা করার অনুমতি দেয় সাথে সম্পর্কিত হয়, রূপান্তরের একটি সুনির্দিষ্ট পছন্দ ছাড়া , অপারেটর প্রদানের মাধ্যমে ব্যবহার এবং আপনি অনুমতি এগুলি জন্মগত নিয়মে সম্ভাব্যতা গণনা করার জন্য। আমি উপরে এবং আমার পূর্ববর্তী উভয় প্রতিক্রিয়াতে ইঙ্গিত হিসাবে, পিওভিএমগুলি একটি সিস্টেম সম্পর্কে পরিসংখ্যানগতভাবে উপলব্ধ তথ্য বর্ণনা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। $M_c$ $E_c = M_c^\dagger M_c$

Kraus অপারেটার পরিপ্রেক্ষিতে (এবং একটি 'পরিমাপ ফলাফলের রেজিস্টার' পদ পরিমাপ করার কথা ভাবছেন একজন উপরে হিসাবে) এই ভাবে আপনি একটি CPTP মানচিত্র, যা একটি ধারণা যে আমি ভোগ হয় যে মধ্যে পরিমাপের ধারণা অন্তর্ভূত করা করার অনুমতি দেয়। (তবে, এটি বিশ্লেষণাত্মক দৃষ্টিকোণ থেকে জিনিসগুলি সত্যই পরিবর্তন করে না এবং আপনি সিপিটিপি মানচিত্রে এখনও স্বাচ্ছন্দ্য বোধ না করে এমন বিষয়ে আপনার চিন্তিত হওয়া উচিত নয়)।

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

4

ক্রাউস অপারেটরদের সম্পর্কে নিল ডি বৌদ্রাপের উত্তর খুব ভাল ছিল। নীলসেন এবং চুয়াং পাঠ্য বইয়ের বিষয়ে, এর অর্থ হ'ল প্রত্যেকের অধ্যায় 2, তারপরে অধ্যায় 8 এবং তারপরে মধ্যবর্তী অধ্যায়গুলি পড়া উচিত ।

তদুপরি, ক্রাউস অপারেটরের উপস্থাপনের একটি লিন্ডব্ল্যাডিয়ান অপারেটর নামে একটি সীমাহীন সীমা রয়েছে; বিস্তৃতভাবে বলতে গেলে লিন্ডব্ল্যাডিয়ান অপারেটররা ক্রাউস অপারেটরদের কাছে মিথ্যা বীজের একটি লাই গ্রুপের কাছে কী তা বোঝায়। কার্লটন গুহাগুলির অন-লাইন নোটগুলি "সম্পূর্ণরূপে ইতিবাচক মানচিত্র, ইতিবাচক মানচিত্র এবং লিন্ডব্ল্যাড ফর্ম" এই সামগ্রীর অনেক অংশ coverেকে রাখে।

ক্রাউস অপারেটরের পরিবর্তে ইনফিনাইটিমাল লিন্ডব্ল্যাডিয়ান অপারেটরগুলির সাথে একচেটিয়াভাবে কাজ করার সুবিধাটি হ'ল লিন্ডব্লাডিয়ানরা প্রাকৃতিকভাবে হিলবার্ট-কোয়ান্টাম স্টেট-স্পেসের দিকে টান পড়ে; এর মধ্যে রয়েছে টেনসর নেটওয়ার্ক স্টেট-স্পেসস যা কোয়ান্টাম কেমিস্ট্রি এবং কনডেন্সড ম্যাটার ফিজিক্সে সর্বব্যাপী হয়ে উঠছে; তদুপরি পুলব্যাক কৌশলগুলিও স্ট্রিং থিয়োরিতে সর্বব্যাপী।

বর্তমানে কোনও পাঠ্যপুস্তক নেই যা এই জ্যামিতিক, কোয়ান্টাম ডায়নামিক্সের নন-হিলবার্ট বিবরণ বিকাশ করে ... তবে সেখানে থাকা উচিত! পাঠ্যপুস্তকসমূহ যা (উপরোক্ত রেফারেন্স সহ) মূল কভারের মূল ধারণাগুলি হ'ল জন লি "স্মুথ ম্যানিফোল্ডস", ফ্রেঙ্কেল এবং স্মিট "আণবিক সিমুলেশন বোঝা: অ্যালগরিদম থেকে অ্যাপ্লিকেশনস পর্যন্ত", এবং ক্লোডেন এবং প্লেন "স্টোচাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যার সমাধান"।

এটি সত্য যে এটি প্রচুর পড়া ... এবং এ কারণেই স্নাতক স্তরের জ্যামিতিক কোয়ান্টাম গতিবিদ্যাটি শেখানো হয় না। এটি দুঃখের বিষয়, কারণ আন্ডারগ্রাজুয়েটদের স্থির ধারণাটি অর্জন করা খুব সহজ যে কোয়ান্টাম ডায়নামিকাল সিস্টেমগুলির স্টেট-স্পেস একটি লিনিয়ার ভেক্টর স্পেস, যদিও এটি বেশিরভাগ বড়-আকারের ব্যবহারিক গণনার ক্ষেত্রে সত্য নয়।

প্রকৃতি যে রাজ্য-স্থান ব্যবহার করে তা সম্পর্কে: কেউ জানে না local স্থানীয় (ট্যানজেন্ট-স্পেস) কোয়ান্টাম লাইনারিটির জন্য পরীক্ষামূলক প্রমাণগুলি যথেষ্ট শক্তিশালী, তবুও বিশ্বব্যাপী (হিলবার্ট-স্পেস) কোয়ান্টাম লাইনারিটির প্রমাণ মোটামুটি দুর্বল। বিশেষত, উচ্চ-নির্ভুলতার মলিকুলার বিম কোয়ান্টাম গতিশীল পরীক্ষা-নিরীক্ষা - যা অনেকগুলি পাঠ্যপুস্তক কোয়ান্টাম লাইনারিটির প্রমাণ হিসাবে ধারণ করে - কম মাত্রার টেনসর নেটওয়ার্ক স্টেট-স্পেসে relative 1/2 {{65 of এর প্রয়োজনীয় আপেক্ষিক নির্ভুলতার সাথে অনুকরণ করা যায়, কাছাকাছি-নিখুঁত গতিশীল লিনিয়ারিকে প্রতিস্থাপন করে নিকট-নিখুঁত গতিশীল সাম্প্রদায়িকতার সাথে।

উপরের কারণগুলির জন্য, সম্ভবত একবিংশ শতাব্দীর শিক্ষার্থীদের মুখের মূল্যে বিশ শতকের পাঠ্যপুস্তকগুলি পুরোপুরি গ্রহণ করা উচিত নয়। তবে সত্যই, একবিংশ শতাব্দীর কোন শিক্ষার্থী এটি অন্য কোনওভাবে চাইবে?

উপরের অংশে কীভাবে কোয়ান্টাম সিস্টেম ইঞ্জিনিয়াররা একটি গাণিতিক টুলসেটকে আলিঙ্গন করতে এসেছেন যা জ্যামিতিক এবং বীজগণিত প্রাকৃতিকতাকে মেলে এবং সাধারণত শাস্ত্রীয়, কোয়ান্টাম এবং হাইব্রিড গতিশীল সিস্টেমে প্রযোজ্য।

সম্পাদনা সংযোজন: ব্যবহারিক কোয়ান্টাম সিমুলেশনের জ্যামিতিক পদ্ধতির সম্ভাব্যতার পরীক্ষা হিসাবে, আমাদের কোয়ান্টাম সিস্টেম ইঞ্জিনিয়ারিং (কিউএসই) গ্রুপ চার্লি স্লিচারের ক্লাসিক পাঠ্যপুস্তকের চৌম্বকীয় অনুরণনের নীতিগুলিকে পরিপূরক করে "অধ্যায় 3" চৌম্বকীয় দ্বিপদী সম্প্রসারণ এবং মেরুকরণ পরিবহন পরিবহন কঠোর জাল "।

এই জ্যামিতিক প্রতিলিপি জ্যামিতিক গতিবিদ্যায় একাধিক উন্মুক্ত প্রশ্নের দিকে স্বাভাবিকভাবে নির্দেশ করে; উদাহরণস্বরূপ ম্যাথওভারফ্লো প্রশ্নটি দেখুন " কোয়ান্টাম ডায়নামিকাল সিমুলেশনগুলিতে, পোইসন ব্র্যাকেটের প্রতিসম (রিমনিয়ান) এনালগ কী? "

— জন সিডলস
সূত্র

আমি আপনাকে পুরো নেট জুড়ে এই পদ্ধতির জন্য পতাকাটি তরঙ্গ করতে দেখেছি। একটি বা দুটি পরামর্শমূলক বাক্য দিয়ে আপনি কী ধারণা দিতে পারেন যে আপনি যে রাষ্ট্রীয় স্থানগুলি উল্লেখ করেছেন তা কী অ-রৈখিক? জ্যামিতিক কোয়ান্টাইজেশনের সাহায্যে আপনি ক্লাসিকাল ফেজ স্পেস হিসাবে বহুগুণ এম দিয়ে শুরু করেন তবে কোয়ান্টাম স্টেট স্পেস হিলবার্ট স্পেস এল ^ 2 (এম)। এটি, যদিও ধ্রুপদী জ্যামিতি উচ্চতর-লিনিয়ার হলেও কোয়ান্টাম জ্যামিতিটি এখনও রৈখিক, যদিও এটি অবশ্যই অনেক বড় (এটির অসীম মাত্রা এবং আরও কিছু রয়েছে)।

— প্রতি ভোগেনসেন

দুঃখিত, আমি একটি সাদা মিথ্যা বলেছি। আপনাকে আসলে এম on এর উপর একটি লাইন বান্ডিলের ওপরে L at 2 টি দেখতে হবে তবে মূল বিষয়টি রয়ে গেছে।

— প্রতি ভোগেনসেন

পের, আপনি যা বলছেন তা "জ্যামিতিক কোয়ান্টাইজেশন" এর ক্লাসিক (মূলত রাশিয়ান) বিদ্যালয়ের সত্য, যেখানে একটি ক্লাসিকাল সিস্টেমের সাথে শুরু হয় এবং এর কোয়ান্টাম সাধারণীকরণের চেষ্টা করে see তবে ঠিক <i> বিপরীত </ i> অষ্টেকার / শিলিং "জ্যামিতিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স" এর মডেলগুলিতে ঘটে, যার প্রারম্ভিক বিন্দুটি কে & অ্যামল; হিলার বহুগুণে সিম্পলটিক / লিন্ডব্ল্যাডিয়ান গতিবিদ্যা।

— জন সিডলস

1

হুম ... আসুন এটি আরও ভাল ফর্ম্যাট করুন! পার, "জ্যামিতিক কোয়ান্টাইজেশন" এর (মূলত রাশিয়ান) স্কুলে একটি ক্লাসিকাল গতিবিদ্যা দিয়ে শুরু হয় এবং এর কোয়ান্টাম সাধারণীকরণের চেষ্টা করে। বিপরীত পদক্ষেপটি "জ্যামিতিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স" এর অ্যাশতেকার / শিলিং মডেলগুলিতে দেখা যায়, যার শুরুটি কাহলারের রাজ্য-স্থানে লক্ষণীয় / লিন্ডব্ল্যাডিয়ান গতিবিদ্যা, যা নিম্নলিখিত: (1) লিন্ডব্ল্যাড প্রবাহ দ্বারা প্ররোচিত সীমা হিসাবে শাস্ত্রীয় গতিশীলতা প্রদর্শন করে , এবং / বা (2) হিলবার্ট স্পেসে বড়-এন (বর্ণালী) আনুমানিক হিসাবে টেনে নিয়ে যায়। ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে, দ্বিতীয় দুটি পদ্ধতি সাধারণত ব্যবহৃত হয়, তবুও সাধারণত পড়ানো হয় না।

— জন সিডলস

3

প্রথমত, পর্যবেক্ষকগুলি অপারেটরগুলির দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় কেন? শাস্ত্রীয় যান্ত্রিকগুলিতে পর্যবেক্ষণযোগ্য একটি পর্যায় স্থানের উপর একটি আসল মূল্যবান ফাংশন। এটি সিস্টেম থেকে শক্তি বা গতির মতো মান সম্পর্কে তথ্য বের করে তবে এতে প্রভাবিত বা হস্তক্ষেপ করে না। যদি পর্যবেক্ষক সিস্টেমের অংশ হয় তবে পরিমাপ একটি শারীরিক প্রক্রিয়া এবং সিস্টেমটির বিবর্তনে পরিবর্তন আনতে পারে। সীমাবদ্ধ, অ-অসীম সময় বিবর্তনকে একক হতে (অর্থাত্ মোট সম্ভাব্যতা সংরক্ষণ করুন) অসীম সময় বিবর্তন অবশ্যই হার্মিটিয়ান হতে হবে। এটি স্টোনর উপপাদ্য; এটি ব্যাখ্যা করে যে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের অপারেটররা হার্মিটিয়ান।

যদি তা বোঝা যায়, তবে সূত্রটি two দুটি বিষয় অনুসরণ করে: $M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

$M$ পর্যবেক্ষণযোগ্যদের জন্য পরিমাপ প্রক্রিয়াটির অসীম সময়ের বিবর্তন বর্ণনা করে। উত্তরসূরি হয় এবং দ্বৈত দ্বারা উত্তরাধিকারী করার হয় । $\mid\psi\rangle$ $M\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid$ $\langle\psi\mid M^\dagger$
আদর্শ রাষ্ট্রের মোট সম্ভাবনা। পূর্ববর্তী পয়েন্টের সাথে একত্রিত, এটি উত্তরসূরির মোট সম্ভাব্যতাটি হ'ল । বর্গমূল দ্বারা বিভাজন রাষ্ট্রকে স্বাভাবিক করে তোলে। $\langle\psi\mid\psi\rangle$ $\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

— পার ভোগেনসেন
সূত্র

প্রতি, আমি নিশ্চিত না যে প্রথম বুলেট পয়েন্টটি অত্যন্ত স্পষ্ট। এই ক্ষেত্রে অপারেটার যা একটি সাধারণ পরিমাপ (সম্ভবত একটি POVM) আপ করতে একটি সেট এক, এবং তাই বিবর্তন নির্ণায়ক নয়। এটি অবিচ্ছিন্নও নয়, সুতরাং অনন্য বিবর্তন সম্পর্কে মন্তব্যটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর হতে পারে। এগুলি আসলে শর্তযুক্ত জাম্প।

M

$M$

— জো ফিটজসিমন্স

2

আচ্ছা, আমি কোয়ান্টাম পোস্টুলেটস সম্পর্কে আকাশ কুমারের প্রশ্নের সাথে প্রাসঙ্গিক কিছু অতিরিক্ত রেফারেন্স সরবরাহ করতে যাচ্ছি, শিক্ষার্থীদের গণিত শিখতে উত্সাহিত করার দৃষ্টিভঙ্গিতে যে তাদের শাস্ত্রীয় এবং কোয়ান্টাম গতিবিদ্যা উভয় অধ্যয়নের জন্য অনেক উন্নত কাঠামোর প্রশংসা করা উচিত।

নীলেরসেন-চুয়াং পাঠ্যটি যেখানে ছেড়ে গেছে, সেই শুরু করা যাক, "উপপাদ্য: অপারেটর-সমষ্টি উপস্থাপনায় একত্রীকরণের স্বাধীনতা" (নীলসান-চুয়াংয়ের ৮.২ ধারা) দিয়ে। নীলসেন এবং চুয়াংয়ের পাঠ্য নোট করে যে এই উপপাদ্যের একটি ব্যবহারিক প্রয়োগ কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন তত্ত্বে এসেছে, যেখানে এটি "কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন সম্পর্কে ভাল বোঝার জন্য গুরুত্বপূর্ণ"। তবে নীলসান-চুয়াং পাঠটি নীরব হয়ে যায়।

স্ট্যাক এক্সচেঞ্জের দেওয়া (এতদূর) এখানে দেওয়া জবাবগুলি এই "একক স্বাধীনতা" বোঝার পক্ষে খুব বেশি সহায়তা করে না ... যা প্রমাণিত হয়েছে যে আইনস্টাইন এবং বোহর "স্পুখাফতে ফার্নওয়ারকুংজেন" নামে পরিচিত কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সাথে সম্পর্কিত। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের (স্পোকি অ্যাকশন-এ-এ-দুরত্বের) বিশেষত, এই একক স্বাধীনতা কোয়ান্টাম রিডআউট, কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন, এবং কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি --- এর মূল কারণগুলির মধ্যে তিনটি যে টিসিএসের শিক্ষার্থীরা কোয়ান্টাম গতিশীলতা অধ্যয়ন করে।

আরও জানতে, শিক্ষার্থীর কী পড়া উচিত? প্রচুর বিকল্প রয়েছে (এবং অন্যদের নিজস্ব পছন্দ থাকতে পারে), তবে আমি হাওয়ার্ড কারমাইকেলের "কোয়ান্টাম অপটিক্সের পরিসংখ্যান পদ্ধতি: নন-শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রগুলি", বিশেষ করে অধ্যায় 17--19, "কোয়ান্টাম ট্র্যাজেক্টরিজ আই- শীর্ষক সুপারিশ করতে যাচ্ছি। তৃতীয় "।

এই তিনটি অধ্যায়ে, কারমাইকেল এর পাঠ্যটি শারীরিকভাবে অনুপ্রেরণা করে যা নীলসান-চুয়াং পাঠকে আনুষ্ঠানিকভাবে পোস্টুলেট এবং উপপাদ্য হিসাবে এনকোড করে দেয়, যাকে আমাদের বিভিন্নভাবে "উদ্ঘাটিপন্ন" প্রজেক্টিভ পরিমাপের (প্রক্ষেপণহীন পরিমাপের) স্বাধীনতা দেয়। শারীরিকভাবে এই স্বাধীনতা নিশ্চিত করে যে আমরা কার্যত পৃথক পৃথক মহাবিশ্বে বাস করি, গাণিতিকভাবে এই স্বাধীনতা সমস্ত কোয়ান্টাম ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং ত্রুটি সংশোধনের ভিত্তি।

আফিসিট, এটি স্বয়ং কারমাইকেল যারা 1993 সালে এই তথ্যবহুল আগ্রাসনের বর্ণনা দেওয়ার জন্য এখনকার স্ট্যান্ডার্ড শব্দটি "উদ্বেগজনক" আবিষ্কার করেছিলেন। তার পর থেকে অব্যবহৃত সাহিত্য অপরিসীমভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে: "কোয়ান্টাম" এবং "উদ্বেগহীন" জন্য অর্ক্সিভ সার্ভারের সম্পূর্ণ পাঠ্য অনুসন্ধানে 7 7২ পাণ্ডুলিপি পাওয়া গেছে; বৈকল্পিক বানান "উদ্বেগহীন" আরও 612 টি পাণ্ডুলিপি সন্ধান করে (সম্ভবত কিছু অনুলিপি সহ)।

অবশ্যই গাণিতিক টুলসেট এবং কোয়ান্টাম আনারভেলিংয়ের সাথে সম্পর্কিত শারীরিক ধারণাগুলি শেখা অনেক কাজ। জিজ্ঞাসা করা যুক্তিযুক্ত যে, শিক্ষার্থীরা এই কঠোর পরিশ্রমটি শোধ করার জন্য যুক্তিসঙ্গতভাবে কোন সুবিধা (গুলি) আশা করতে পারে? উত্তরে, এখানে একটি অনুচ্ছেদের নীতিগর্ভ রূপক কাহিনী রয়েছে, যার প্রধান গুণটি হ'ল এটি দুটি দীর্ঘ, শক্ত কোয়ান্টাম পাঠ (নীলসান-চুয়াং এবং কারমাইকেল) পড়ার চেয়ে অত্যন্ত কম।

একসময়, এলিস নামের ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির এক ছাত্র নিজেকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন "ইউক্লিডিয়ান দৈর্ঘ্যের পরিমাপটি কীভাবে সত্যিই কাজ করে?" ইউক্লিডিয়ান পোস্ট করে অ্যালিসের প্রশ্নের উত্তর নিম্নরূপ: "সমস্ত দৈহিক দৈর্ঘ্য পরিমাপ একটি কম্পাস দ্বারা পরিমাপের সমান, যার গাণিতিক মডেল সংখ্যা রেখার একটি অংশ।" তবুও সৃজনশীল কল্পনার এক বিশাল প্রচেষ্টার দ্বারা, অ্যালিস একটি সমতুল্য এবং আরও সাধারণ উত্তর কল্পনা করেছিলেন: "সমস্ত দৈহিক দৈর্ঘ্য পরিমাপ ট্র্যাজিকোলজির পাশাপাশি বেগের সংমিশ্রণের সমতুল্য, যার গাণিতিক মডেলটি বহুগুণে বক্ররেখা যা লক্ষণীয় এবং মেট্রিক ফর্ম এবং গতিশীল সম্ভাবনার সাথে সজ্জিত হয় । " শাস্ত্রীয় গতিবিদ্যার জন্য অ্যালিসের নন-ইউক্লিডিয়ান কাঠামোটি শেখার জন্য অনেক কাজ ছিল, তবে এটি তার বিজ্ঞান, প্রযুক্তি,

দৃষ্টান্তটির বক্তব্যকে স্পষ্ট করে তোলার জন্য, অ্যালিস শাস্ত্রীয় গতিবিদ্যার একটি পৃথক বর্ণনাকে গ্রহণ করেছিলেন এবং এভাবে ইউক্লিডীয় স্থানের অনমনীয় সীমাবদ্ধতা থেকে নিজেকে মুক্ত করেছিলেন। একইভাবে, আজকের কোয়ান্টামের শিক্ষার্থীদের কাছে অবিলম্বে গতিশীলতার একটি পৃথক বর্ণনাকে আলিঙ্গন করার এবং হিলবার্টের স্থানের অনমনীয় সীমাবদ্ধতা থেকে নিজেকে মুক্ত করার বিকল্প রয়েছে।

নন-ইউক্লিডিয়ান শাস্ত্রীয় গতিবিদ্যা হিসাবে, নন-হিলবার্ট কোয়ান্টাম ডায়নামিকস শেখার জন্য অনেক কাজ --- বর্তমানে প্রয়োজনীয় কোনও উপাদান নেই এমন কোনও পাঠ্যপুস্তক নেই --- এবং এখনও এই নতুন ইউক্লিডিয়ান / নন-হিলবার্ট গতিশীল ফ্রেমওয়ার্কগুলি অনুসন্ধানের জন্য বিশাল নতুন বিশ্ব উন্মুক্ত করছে। এই অনুসন্ধানগুলি স্ট্রিং তত্ত্বের রহস্য থেকে শুরু করে রসায়ন এবং উপকরণ বিজ্ঞানের দক্ষ, বৈধীকৃত কোয়ান্টাম সিমুলেশন কোডগুলি লেখার গুরুতর চ্যালেঞ্জগুলি পর্যন্ত প্রসারিত। এটি স্পষ্ট যে এর মধ্যে যে কোনও ক্ষেত্রে গবেষণার জন্য ইতিমধ্যে শিক্ষার্থীদের ক্লাসিকাল গতিবিদ্যার গভীর-ইউক্লিড প্রশংসা এবং কোয়ান্টাম গতিশীলতার গভীর-চেয়ে-হিলবার্টের প্রশংসা উভয়ই প্রয়োজন।

এ কারণেই গাণিতিক চ্যালেঞ্জ এবং শাস্ত্রীয় এবং কোয়ান্টাম গতিশীল উভয়ের সাথে সম্পর্কিত গবেষণার সুযোগগুলি আজকের সময়ের চেয়ে বড় কখনও হয়নি। যা ভাল!