বহুভুজ সাধারণীকরণ সমস্যার মধ্যে বহুভুজ

Question

আমি নীচের সমস্ত পোস্টে ক্ষমা চাইতে চাই। এটি মূলত পোস্ট করতে ভুল ফোরাম বেছে নিয়েছে। তবে এটিকে সম্পূর্ণ বর্জ্য না করে আমি প্রশ্নটিকে সত্য "তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান" হিসাবে চিহ্নিত করেছি।

সমস্যা: এমন একটি অ্যালগরিদম তৈরি করুন যা 2 ডি বিমানের এন অর্ডার পয়েন্টগুলির একটি সেট নেয় যা একটি সাধারণ বহুভুজ A এর কনট্যুর গঠন করে যা অবতল হতে পারে বা নাও হতে পারে এবং এম পয়েন্ট সহ একটি নতুন বহুভুজ বি তৈরি করে যেমন:

1. এ-এর সমস্ত পয়েন্ট বি এর মধ্যে রয়েছে
2. 3 <= মি <এন
3. ক্ষুদ্রতম অঞ্চল সহ সমস্ত বি-এর সেটে বি বহুভুজ
4. বি অবশ্যই একটি সরল বহুভুজ হতে হবে (অর্থাত্ কোনও স্ব-ছেদগুলি নয়)।
5. অ্যালগরিদমের ইনপুটটি বহুভুজ এ এবং "এম"।
6. এ বিভাগের সাথে খ এর খণ্ডগুলির সাথে সম্মতি রয়েছে allowed

কিছু উদাহরণ ইনপুট এবং প্রত্যাশিত আউটপুট:

1. যদি A বর্গক্ষেত্র হয় এবং এম 3 হয় তবে বি হবে ক্ষুদ্রতম পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সহ ত্রিভুজ A.
2. যদি A একটি ষড়ভুজ হয় এবং m 4 হয় তবে B এর সমুদ্রতম ক্ষেত্রফলের সাথে চতুর্ভুজ হবে যা এ রয়েছে A.

যারা এই সমস্যাটি চেষ্টা করে তাদের জন্য শুভকামনা। আমি আপনাকে প্রতিশ্রুতি দিতে পারি এটি খুব শক্ত হবে বিশেষত এখন সমাধানটি সর্বোত্তম হতে হবে।

Comments

@ জো: সত্য নয়: যদি এ একটি বর্গক্ষেত্র হয়, তবে থিরিয়ান এ যুক্ত ন্যূনতম-অঞ্চল ত্রিভুজ জিজ্ঞাসা করছে অন্যদিকে, যদি ক একটি ত্রিভুজ হয় ($n=3$) তাহলে প্রকৃতপক্ষে কোনও কার্যকর সমাধান নেই।

— জেফি

আমার প্রথম মন্তব্যে 17 যোগ করুন, আমার ধারণা। 20 কেন?

— জেফি

"জটিল" এর জন্য কি এফএফটি কম প্রান্তিক নয়?

— সাশো নিকোলভ

আমি পুরোপুরি সত্য বলে মনে করি না যে আপনি m = 3 সেট করে নিলে সমস্যাটি একেবারেই পরিবর্তিত হবে না The সমস্যাটি হ'ল এম এর জন্য আপনাকে সময় ব্যয়কারী প্রয়োজন হতে পারে এবং মি যদি কিছু সংখ্যায় স্থির থাকে তবে তা ঠিক আছে, তবে মিটি যদি ইনপুটটির অংশ হয় তবে তা ঠিক নয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

"সমস্যাটি কী তা সবাই জানে" সত্য নয়। আমরা জিজ্ঞাসা করছি কারণ নির্দিষ্ট করা পছন্দগুলি একটি পার্থক্য করে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

আপনার বহুভুজগুলি দেখতে কেমন তা আমি জানি না, তবে সম্ভবত রামার – ডগলাস – পিউকার অ্যালগোরিদমের একটি সরল সংস্করণ যথেষ্ট:

• প্রতিটি উত্তল অংশের জন্য, অঞ্চলটি গণনা করুন$A_j$ ত্রিভুজগুলির $P_i P_{i+1} P_{i+2}$ পরপর তিনটি পয়েন্ট দ্বারা গঠিত;
• প্রতিটি অবতল অংশের জন্য, অঞ্চলটি গণনা করুন$B_k$ দুটি ত্রিভুজ এর $P_i P'_i P_{i+1}$ এবং $P_{i+1} P'_{i+2} P_{i+2}$ দুটি পয়েন্টের এক্সটেনশন দ্বারা গঠিত $P_i, P_{i+2}$ এবং মাঝের বিন্দু $P_{i+1}$
• গণনা $min\{A_j,B_k\}$ এবং সংশ্লিষ্ট পয়েন্ট মুছুন (এবং অবতল অপারেশন যদি অবতল অংশে করা হয়);
• লুপ পর্যন্ত $n-m$ পয়েন্ট মুছে ফেলা হয়েছে।

বহুভুজের সীমানা ($A_j$ সবুজ ত্রিভুজ, $B_k$লাল ত্রিভুজ)। ডানদিকে, দুটি পয়েন্ট অপসারণের পরে সীমানা।

আরও জটিল অ্যালগরিদমের জন্য আপনি " বহুভুজ জেনারালাইজেশন কৌশল " অনুসন্ধান করতে পারেন যদিও আপনার প্রথম শর্তটি (এ-এর পয়েন্টগুলি বি তে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে) কিছু অতিরিক্ত স্কেলিং ক্রিয়াকে বোঝায়।

Comments

@ সুরেশ: আমি নিশ্চিত যে বর্তমান ৪ টি উপাখ্যান স্বচ্ছতার জন্য, প্রায় (তুচ্ছ) অ্যালগরিদমের জন্য নয় :)

— মারজিও ডি বিয়াসি

এটি রামার-ডগলাস-পিউকার আলগোরিদিমগুলির মতো একই সমস্যায় ভুগছে: আউটপুটটি একটি সাধারণ বহুভুজ হওয়ার নিশ্চয়তা নেই!

— জেফি

@ জেফি: আপনি ঠিক বলেছেন, তবে (বহুভুজ জটিল হলে অনুকূল থেকে দূরে) কেউ সরলকরণ এড়াতে পারবেন যা দ্বন্দ্বের দিকে পরিচালিত করে । শেষে, যদি এমন অন্যান্য পয়েন্ট থাকে যা অবশ্যই মুছে ফেলা উচিত তবে অ-সরল বহুভুজটি এড়ানো যায় না, একটি বিরোধ বিরোধ নিষ্পত্তি পদ্ধতি ব্যবহার করুন (উদাহরণস্বরূপ ছেদ বিন্দু গণনা করুন এবং "ছিদ্রগুলি" পুরোপুরি বাতিল করুন)। তবে আমি ওপি থেকে একটি বাস্তব উদাহরণ দেখতে চাই।

— মারজিও ডি বায়াসি

@ মারজিওডিবিয়াসি এটি কার্যকর হতে পারে। তবে তা নাও পারে। আমার মনে হয় এটা জন্য সম্ভব যে সরলীকরণ আপনি বর্ণনা একটি স্ব-ছেদ কারণ। এবং "লুপগুলি ছুঁড়ে ফেলা" জিনিসগুলি আরও খারাপ করে তুলতে পারে, আরও ভাল নয়। এটি সম্ভবত অনুশীলনে একটি সূক্ষ্ম সমাধান, তবে মনে রাখবেন আমরা কোথায় আছি!

— জেফি

ধন্যবাদ মারজিও, আমি এখন অন্তত জানি যে এই ধরণের সমস্যাগুলি এখন কী বলা হয়! দুঃখজনকভাবে আপনি যে সমাধানটি দিয়েছেন তা হ'ল (3) এবং (4) আমার প্রস্তাবিত সমাধানগুলিতে এবং (4) এটিতে একটি সমস্যা রয়েছে। খুব বেশি প্রসারিত এলিপস এবং প্রায় 30 ডিগ্রি বা তারও কম কোণগুলির সাথে তীক্ষ্ণ টিপস রয়েছে সহজেই প্রয়োজনের লঙ্ঘন করবে (1)।

— থার্লান

Answer 2

আমি একটি কাগজ লিখেছিলাম অনেক আগে যা পয়েন্ট সেট (বা বহুভুজ) সংলগ্ন ক্ষুদ্রতম অঞ্চল ত্রিভুজটি সন্ধানের জন্য একটি রৈখিক-সময় অ্যালগরিদমকে বিশদভাবে লিখেছিল:

জে ও'রউর্ক, অলোক আগরওয়াল, সঞ্জীব মাদদিলা, মাইকেল বাল্ডউইন, "ন্যূনতম ঘেরযুক্ত ত্রিভুজগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য একটি অনুকূল অ্যালগরিদম," জে অ্যালগোরিদম , 1986, 7 : 258--269। লিঙ্ক ।

আমাদের কাজটি একটি সাধারণ অ্যালগরিদম দ্বারা অনুসরণ করা হয়েছিল:

"সর্বনিম্ন ক্ষেত্রটি বহুভুজকে কেন্দ্র করে," অলোক আগরওয়াল, জেএস চ্যাং এবং চি কে। ইয়াপ, দ্য ভিজ্যুয়াল কম্পিউটার , খণ্ড 1, নম্বর 2 (1985), 112-117। লিঙ্ক ।

উন্নতি এবং সম্পর্কিত কাজগুলি সন্ধান করার জন্য এগুলি উদ্ধৃত করে যেগুলি পরবর্তী কাগজপত্রগুলি সন্ধান করতে আপনি গুগল স্কলার ব্যবহার করতে পারেন।