একটি বর্গক্ষেত্রের ওভারল্যাপ করে এমন ঘন অঞ্চলের সংখ্যা গণনা করা হচ্ছে

Question

দিন $S$ইউনিট বর্গ হতে। একটি কাজ হিসাবে$\beta$, সর্বাধিক সংখ্যা কি $\beta$কমপক্ষে 1 টি ছেদ করতে পারে এমন ব্যাসের সাথে অঞ্চলগুলি পৃথক করে নিন oint$S$?

নীচে, আমরা যে চিত্র দেখাচ্ছে একটি চিত্র দিন $\beta=1$, সর্বাধিক সংখ্যা 7.. কী জন্য? $\beta = 2, 3, \ldots, n$?

সংজ্ঞা প্রত্যাহার চর্বি সমতলে অঞ্চলের জন্য। একটি অঞ্চল দেওয়া$R$, বৃত্ত করা যাক $C_1$ ব্যাসার্ধের $r_1$ অন্তর্ভুক্ত বৃহত্তম বৃত্ত হতে $R$, এবং বৃত্ত দিন $C_2$ ব্যাসার্ধের $r_2$ যে ক্ষুদ্রতম বৃত্ত রয়েছে তা হও $R$। উর্বরতা এর$R$ দেওয়া হয় $\frac{r_2}{r_1}$, এবং আমরা এটি বলি $R$ হয় $\beta$-ফাত, জন্য $\beta = \frac{r_2}{r_1}$।

উদাহরণস্বরূপ, যদি $r_2 = r_1=\frac{1}{2}$, তখন অঞ্চলগুলি ইউনিট চেনাশোনাগুলি হয় এবং কমপক্ষে 1 টি ব্যাস সহ 7 টি বৃত্ত থাকে যা ওভারল্যাপ করতে পারে $S$একে অপরকে ওভারল্যাপ না করে নীচের চিত্রটিতে আমরা একটি ইউনিট বর্গক্ষেত্র এবং 7 টি ইউনিট বৃত্ত চিত্রিত করেছি যা স্কোয়ারটি ওভারল্যাপ করে।

Comments

শর্ত "কমপক্ষে বৃহত্তর হিসাবে চেনাশোনাগুলি $S$"বিভ্রান্তিকর এবং আপনি যদি অঞ্চলগুলির বিষয়ে কথা বলছেন তবে ব্যাসার্ধের বৃত্ত $1$ হিসাবে বড় নয় $S$। এছাড়াও, জন্য$r_2 = r_1 = 1$ কেস, আপনি লাগাতে পারেন $7$ চেনাশোনা (এর মাঝে একটি) $S$), আমি কি বোকা ভুল?

— Yixin Cao

আপনার "ঘন" এর সংজ্ঞা "ফ্যাট" এর একটি মানক সংজ্ঞা। আমি ধরে নিয়েছি আপনার অর্থ হ'ল " সর্বাধিক সংখ্যক ঘন বিচ্ছিন্ন অঞ্চলগুলির ব্যাসযুক্ত অঞ্চলগুলি যা এসকে ছেদ করতে পারে", কারণ অন্যথায় কোনও উপরের সীমা নেই। ক্ষুদ্র চেনাশোনাগুলির

— দৈর্ঘ্য

@ জে ff ই হ্যাঁ, আমি ঠিক এটিই বলার চেষ্টা করছি। আমি স্পষ্ট করতে প্রশ্নটি সম্পাদনা করব।

— জো

@ ইয়িক্সিনকাও আমি একটি চিত্র সরবরাহ করেছি যা আশা করি বিষয়গুলি পরিষ্কার করা উচিত।

— জো

@ জো যেমন আমার ছবিতে দেখা যাচ্ছে, সাতটি চেনাশোনা সম্ভব। বিন্দুটি হল: দুটি চেনাশোনা (প্রায়) দুটি বিপরীত পয়েন্টের স্পর্শক। আমার অঙ্কন সবসময় খারাপ, তবে আমি আশা করি গ্রাফটি সহায়ক।

— Yixin Cao

Answer 1

আমি মনে করি যে চৌম্বক অঞ্চলগুলি ওভারল্যাপ করে এমন চর্বিযুক্ত অঞ্চলগুলিকে সর্বাধিক সংখ্যক জোড় বিচ্ছিন্ন করে দেয় যা বৃত্ত প্যাকিংয়ের সাথে দৃ .়ভাবে সম্পর্কিত related

একটি অঞ্চলের জন্য সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে আকৃতিটি "বল এবং চেইন" এর মতো কিছু। নীচে আমি এর জন্য একটি অঞ্চল চিত্রিত করেছি$\beta=2$ ব্যাস 1 সঙ্গে

।

এবং এগুলি ইউনিট স্কোয়ারের দূরত্ব 1 এর মধ্যে প্যাক করতে পারে যা আমি তাদের চিত্রিত করেছি তার চেয়ে অনেক বেশি দৃly়তার সাথে।

নোট করুন যে আসল বল এবং শৃঙ্খলা অঞ্চলটি সবুজ অঞ্চল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং বাইরের বৃত্তটি এই অঞ্চলের ফ্যাটি 2 রয়েছে তা চিত্রিত করার জন্য কেবল একটি গাইড fact বাস্তবে এই অঞ্চলের শৃঙ্খলা অংশটি "বাঁক" করতে পারে আরও অঞ্চল প্যাক করা।