কোনও ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ নিয়মিত কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা

Question

কোনও ম্যাট্রিক্সকে সম্পূর্ণ নিয়মিত বলা হয় যদি এর সমস্ত বর্গ সাবম্যাট্রিকগুলিতে পূর্ণ পদ থাকে। এ জাতীয় ম্যাট্রিকগুলি সুপার কনসেন্টেটর নির্মাণে ব্যবহৃত হত। কোনও প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স যৌক্তিকর উপর সম্পূর্ণ নিয়মিত কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা কী? সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ওপরে?

আরও সাধারণ, কল একটি ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণভাবে -regular যদি সর্বাধিক মাপ এর সমস্ত তার বর্গ submatrices পূর্ণ রেঙ্ক। একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি প্যারামিটার , ম্যাট্রিক্স সম্পূর্ণ নিয়মিত কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতা কী?ট ট $k$$k$$k$$k$

Comments

একটি প্রাথমিক প্রশ্ন: আপনি নিয়মিত ম্যাট্রিক্স বলার অর্থ কী? ধন্যবাদ!

— হেনরি ইউয়েন

আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে প্রতিটি সাবম্যাট্রিক্স অ-একবচন? আমার মনে আছে এখানে একটি অনুরূপ প্রশ্ন ছিল যা আমি এখনই খুঁজে পাচ্ছি না

— সাশো নিকোলভ

প্রকৃতপক্ষে, নিয়মিত তিনটি পৃথক অর্থ রয়েছে: en.wikedia.org/wiki/Regular_matrix

— সুরেশ ভেঙ্কট

আহ, সম্পর্কিত প্রশ্নটি খুঁজে পেয়েছেন: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… । আপনার প্রশ্নটি আমি সেখানে যে মন্তব্য করেছি তার চেয়ে বেশি ঘনিষ্ঠভাবে ফিট করে: এটি সীমিত আইসোমেট্রি পার্টির পরীক্ষার প্রশ্নটির (বিস্তৃত ওপেন এএফআইকে) একটি সহজ রূপ।

— সাশো নিকোলভ

সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে, একটি গুণমানের ম্যাট্রিক্স নিয়মিত কিনা তা পরীক্ষা করে দেখার জন্য যে কোড জেনারেটর ম্যাট্রিক্সের ন্যূনতম দূরত্ব (যেমন এটি এমডিএস কিনা) checking এমনকি সর্বনিম্ন কোড দূরত্ব সন্ধানের জন্য ধ্রুবক ফ্যাক্টর অনুমানগুলিও শক্ত। এই কাগজটি ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf এবং ভিতরে উল্লেখগুলি দেখুন। কে এন × কে এন - কে + $n\times k$$k$$n\times k$$n-k+1$

— দিমিত্রিস

Answer 1

আলেকজান্ডার চিস্তভ, হার্ভো ফোরনিয়ার, লিওনিড গুরভিটস এবং পাস্কেল কোইরান রচিত কাগজ ভ্যান্ডারমনডে ম্যাট্রিকেস, এনপি-কমপ্লিটনেস এবং ট্রান্সভার্সাল সাবস্পেসেস [পিএস] আপনার প্রশ্নের সাথে প্রাসঙ্গিক হতে পারে (যদিও এটি এর উত্তর দেয় না)।

তারা নীচের সমস্যার প্রমাণ করেছেন: ( ) এর উপরে একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া , সিদ্ধান্ত নিন যে কোনও সাবমেট্রিক্স রয়েছে যার নির্ধারক অদৃশ্য হয়ে যায়। এন × এম জেড এন ≤ এম এন × $\mathsf{NP}$$n\times m$$\mathbb Z$$n\le m$$n\times n$

Comments

ধন্যবাদ, ব্রুনো! আমরা কি এলোমেলোভাবে হ্রাস (যুক্তি ছাড়াই) দ্বারা আমার সমস্যার উত্তর দেওয়ার সমস্যাটি হ্রাস করতে পারি না? শুধু এলোমেলো সারি যুক্ত করুন। যদি নতুন ম্যাট্রিক্স পুরোপুরি নিয়মিত না হয় তবে এটিতে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে প্রথম সারিতে একটি একক সুবমাট্রিক্স থাকে । আহ .... না. সাবম্যাট্রিক্স আরও ছোট হতে পারে। তবে হতে পারে যে কেউ এই কাজটি করতে পারেন ...n × n $m-n$$n \times n$$n$

— মার্কাস ব্লুজার

Answer 2

হ্যাঁ, আপনার সমস্যাটি মূলত আলেকজান্ডার চিস্তভ, হার্ভো ফোরনিয়ার, লিওনিড গুরভিটস এবং পাস্কেল কোয়রান পেপারের সমান (জেনারেল পজিশন) সমান ।

একটি ম্যাট্রিক্স , । সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া, অনুমান এবং প্রথম এর কলাম স্বাধীন আছেন: , যেখানে একটি nonsingular হয় ম্যাট্রিক্স। এখন, একটি একবচন রয়েছে যদি এবং কেবল যদি submatrix সম্পূর্ণভাবে নিয়মিত নয়।এ এন < এম র‌্যাঙ্ক ( এ ) = এন এন এ এ = [ বি | ডি ] বি এন × n এ এন × n বি - 1$n \times m$$A$$n < m$$\text{rank}(A) = n$$n$$A$$A =[B\ |\ D]$$B$$n \times n$$A$$n \times n$$B^{-1}D$

Answer 3

একই স্পিরিটে আরও একটি এনপি-কমপ্লিট সমস্যা রয়েছে: স্কয়ার ম্যাট্রিক্সের সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য যে তার সমস্ত মূল সাবমেট্রিকগুলি (অর্থাত্ একই সেট থেকে সারি এবং কলামগুলি) অদ্বিতীয় কিনা। আর একটি কৌতূহলজনক সত্য: সমস্ত বর্গ submatrices নির্ধারকগুলির বর্গাকার যোগফল সহজ (কেবল ডেট (I + AA ^ {T})), তবে পরম মানগুলির যোগফল # পি-সম্পূর্ণ।