কয়েকটি "তীক্ষ্ণ" শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কন অঙ্কন?

Question

প্লেনের গ্রাফকে সোজা প্রান্ত সহ প্ল্যানার এম্বেডিংয়ের জন্য, একটি প্রান্তিককে একটি তীক্ষ্ণ প্রান্ত হিসাবে চিহ্নিত করুন যদি তার চারপাশে দুটি ধারাবাহিক প্রান্তের সর্বাধিক কোণ 180 এর বেশি হয়। বা অন্য কথায়, যদি সেখানে একটি লাইন অতিক্রম করে থাকে এমবেডিংয়ের মধ্যে ভার্টেক্স যেমন লাইনটির একপাশে সেই প্রান্তের সমস্ত প্রান্তের ঘটনাটি পড়ে থাকে, তারপরে এটি শীর্ষবিন্দুটি "তীক্ষ্ণ" হয় অন্যথায় এটি হয় না। এছাড়াও, আসুন আমরা কমপক্ষে 3 ডিগ্রি সহ কেবল উল্লম্বগুলি নিয়েই উদ্বেগ করি।

আমি কয়েকটি তীক্ষ্ণ প্রান্ত দিয়ে প্ল্যানার গ্রাফ আঁকতে চাই। এর আগে কেউ কি এরকম আঁকা নিয়ে পড়াশোনা করেছে?

বিশেষ করে, আমি সর্বোচ্চ ডিগ্রী 3 প্ল্যানার গ্রাফ আঁকা এমবেডিং ডিগ্রী 3 ধারালো ছেদচিহ্ন সংখ্যা যেমন যে চান এবং ছেদচিহ্ন এর স্থানাঙ্ক বিট একটি বহুপদী সংখ্যা সঙ্গে নিচে লেখা যেতে পারে।$O(\log n)$

---

গুগল স্কলারে কিছু সময় ব্যয় করার পরে আমি যা খুঁজে পেতে পারি তা এখানে:

আমার একটি ভার্টেক্সের তীক্ষ্ণতার পরিমাপটি ইতিমধ্যে অংগুলার রেজোলিউশন নামে অধ্যয়ন করা ধারণার সাথে সম্পর্কিত । উইকিপিডিয়া থেকে:

গ্রাফের অঙ্কনটির কৌণিক রেজোলিউশন বোঝায় যে কোনও দুটি প্রান্ত দ্বারা আঁকানো তীক্ষ্ণ কোণকে বোঝায় যা অঙ্কনের একটি সাধারণ প্রান্তে দেখা যায়।

সুতরাং কৌনিক রেজোলিউশন with / 2 প্রায় 3 ডিগ্রি প্রায় সহ একটি প্ল্যানার অঙ্কন আমার উদ্দেশ্যে ভাল হবে।$\pi/2$

$d$$2\pi/d$

$d$$\alpha^d$$d=3$

Comments

এর মানে কি নিশ্চিত না. আপনি যদি কোনও নিয়মিত উত্তল বহুভুজ আঁকেন তবে এর চারপাশের সর্বোচ্চ কোণটি 180 এর বেশি হয় And এবং বড় এন সহ একটি নিয়মিত উত্তল বহুভুজ "তীক্ষ্ণ" থেকে অনেক দূরে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি তীক্ষ্ণতা পুরো অঙ্কন নয়, একটি শীর্ষবিন্দুর সম্পত্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করছি। সুতরাং যদি একটি প্রান্তবিন্দুর জন্য, একটি সরল রেখাটি এমনভাবে আঁকতে পারে যে সেই শীর্ষবিন্দুতে সমস্ত প্রান্তের ঘটনাটি সোজা রেখার একপাশে থাকে, তবে প্রান্তিকটি "তীক্ষ্ণ" হয় অন্যথায় এটি হয় না। হুম, হতে পারে আমার মূল প্রশ্নটিতে এটি লেখা উচিত।

— বিনায়ক পাঠক

@ বিনায়াক: 1 এবং 2 ডিগ্রি নিয়ে উল্লম্ব কি হবে?

— মারজিও দে বায়াসি

এগুলি উপেক্ষা করা যেতে পারে।

— বিনায়ক পাঠক

যদি কৌণিক রেজোলিউশনটি আপনি চান তবে তা বোঝা যায় কারণ এটি সংলগ্ন প্রান্তগুলির মধ্যে MINIMUM কোণের দিকে তাকিয়ে থাকে। আপনি এর আগে যা সংজ্ঞা দিয়েছিলেন তার থেকে এটি সম্পূর্ণ আলাদা।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

$\Theta(n)$

অন্যদিকে, যদি আপনার উচ্চ স্তরের সংযোগের প্রয়োজন হয় তবে আপনি অনেকগুলি তীক্ষ্ণ শীর্ষকে আটকাতে পারবেন। বিশেষত, যদি আপনার কাছে 3-সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফ থাকে তবে এটি আঁকতে পারে (উদাহরণস্বরূপ স্টিণীটসের উপপাদ্যটি পলিহেড্রাল উপস্থাপনার জন্য ব্যবহার করে এবং তারপর একটি দৃষ্টিভঙ্গি প্রক্ষেপণ গঠনের মাধ্যমে) এমনভাবে যে সমস্ত মুখগুলি উত্তল, যা কেবলমাত্র বাইরের মুখটি তীক্ষ্ণ হতে হবে। তবে প্রতি 3-সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফটি এমনভাবে এমবেড করা যেতে পারে যে বাহ্যিক মুখের সর্বাধিক পাঁচটি শীর্ষা রয়েছে (সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে একটি ডডেকাহেড্রন হচ্ছে) যাতে আপনি প্রতি 3-সংযুক্ত প্ল্যানার গ্রাফ আঁকতে পারেন (3 নিয়মিত বা না) সর্বাধিক পাঁচ তীক্ষ্ণ শীর্ষ