সাধারণ এলপি সলভার ব্যবহার না করেই 1 এর সমান সকল সহগ সহ কঠোর রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেম দক্ষতার সাথে সমাধান করুন?

Question

সাধারণ উদ্দেশ্যে এলপি সলভার ব্যবহার ব্যতীত শিরোনাম অনুসারে, ভেরিয়েবলের তুলনায় বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধানের জন্য কি কোনও পদ্ধতির উপস্থিতি রয়েছে? $x_i, \ldots, x_k$ যেখানে অসমতার ফর্ম রয়েছে $\sum_{i \in I} x_i < \sum_{j \in J} x_j$? অসমতার বিশেষ ক্ষেত্রে যেটি পাওয়ার সেট এর সদস্যদের মোট অঙ্কের উপরে মোট অর্ডার দেয়$\{x_i, \ldots, x_k\}$?

Comments

@ অঙ্কুর: এটি পূর্ণসংখ্যার বা বাস্তবের বিষয় নয়। এগুলি যদি কঠোর বৈষম্য হয় তবে আপনি এগুলি যুক্তিগুলিতে পরিণত করতে পারেন এবং তারপরে একটি পূর্ণসংখ্যার সমাধান পেতে সর্বনিম্ন সাধারণ ডিনোমিনেটর দ্বারা এগুলি গুণ করতে পারেন।

— পিটার শোর

আপনি 30 মিনিটে কী কোড করতে পারবেন তা কোন ধারণা নেই (কোন ভাষায়?) যদি এটি "সরল" এর মানদণ্ড হয় তবে এটি কি আসলেই তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের একটি প্রশ্ন?

— সোসোশি ইটো

শুভ পয়েন্ট পিটার শোর। jonderry, আমি আমার বিবৃতি ফিরে। আমি ভাবছিলাম যে এই কঠোর বৈষম্যগুলি সন্তুষ্ট করার সম্মিলিত সমস্যা এবং শঙ্কুটির অভ্যন্তরীণ বিন্দু সন্ধান করার উত্তল বিশ্লেষণমূলক সমস্যাটি গুণগতভাবে পৃথক। আমি ভৃল ছিলাম.

— অঙ্কুর

@ শুয়োশি: এটি তুচ্ছ হওয়ার দরকার নেই, তবে আমি জানতে আগ্রহী যে পুরো এলপি সলভারের অতিরিক্ত সমস্ত শক্তি ব্যবহার না করে প্রথম নীতিগুলি থেকে এটি করা যায় কিনা, বিশেষত আমাদের বিশেষ আদেশে যা আমাদের অর্ডার দিচ্ছে সাবসেট-অঙ্কের সমস্তগুলির মধ্যে (এই ক্ষেত্রে দ্রষ্টব্য যে বহুত্বরের সময় ভেরিয়েবলের সংখ্যায় তাত্পর্যপূর্ণ)।

— jonderry

তারপরে আমি মনে করি যে "লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের জন্য সাধারণ অ্যালগরিদম ব্যবহার না করে এই সমস্যাটি কী দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে?" আপনার প্রশ্নটি আরও ভাল সূত্রিত করার একটি ভাল উপায়।

— সোসোশি ইটো

Answer 1

মোট অর্ডার ব্যতীত আপনার প্রথম প্রশ্নের জন্য, আপনার প্রশ্নের উত্তর হ'ল এটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের মতো প্রয়োজনীয় hard এখানে একটি প্রমাণের একটি রূপরেখা রয়েছে।

প্রথমে একটি ভেরিয়েবল প্রতিষ্ঠা করা যাক $x_1>0$যাকে আমরা ডাকি $\epsilon$। এখন, আরেকটি পরিবর্তনশীল চয়ন করা যাক$x_i$, যা আমরা কল করব $1$। আমরা তা নিশ্চিত করতে চাই

$$\epsilon \ll 1\, .$$ এটি করার জন্য, অসমতা বিবেচনা করুন $$x_1 < x_2,$$ $$x_1 + x_2 < x_3,$$ $$x_2+x_3 < x_4,$$ ইত্যাদি। দীর্ঘ পর্যাপ্ত শৃঙ্খলযুক্ত, এটি আমাদের তা বলবে$Nx_1 < x_i$, বা $\epsilon < 1/N$, কিছু খুব বড় জন্য $N$ ($N$ এটি একটি ফিবোনাচি নম্বর, এবং তাই এটিতে দ্রুত বৃদ্ধি পায় $i$)।

আমরা এখন পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি রৈখিক প্রোগ্রাম প্রস্তুত করতে পারি। আমরা যদি 3 অনের গুণন করতে চাই$x_t$, আমরা বৈষম্য যোগ

$$x_t < x_{t'} < x_{t''} < x_t + \epsilon$$ এবং যাক $x_t + x_{t'} + x_{t''}$ 3 জন্য দাঁড়ানো$x_t$। আপনি যদি বৃহত্তর সহগগুলি চান, তবে আপনি বাইনারি স্বরলিপিটিতে সহগের প্রকাশ করে এবং অসমত্ব তৈরি করে তা নিশ্চিত করতে পারেন$x_u \approx 2x_t$, $x_v \approx 2x_u$, ইত্যাদি। ডান হাত পেতে, আমরা চলক সঙ্গে একই কাজ$x_i = 1$। এই কৌশলটি আমাদের ওপেনের ফর্মের রৈখিক প্রোগ্রামগুলি ব্যবহার করতে দেয় পূর্ণসংখ্য সহগের সাথে নির্বিচারে লিনিয়ার প্রোগ্রামগুলির প্রায় সম্ভাব্যতা যাচাই করার জন্য, এটি একটি কার্য যা লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের মতোই কঠোর।

আমি জানি না কীভাবে দ্বিতীয় প্রশ্নটিকে বিশ্লেষণ করতে হবে, যেখানে সমস্ত সাবসেটের উপর মোট অর্ডার রয়েছে সেই ক্ষেত্রে জিজ্ঞাসা করুন।