উইনসারের কোয়ান্টাম টাকার জন্য কঠোর সুরক্ষা প্রমাণ?

স্টিফেন উইসনার তার উদযাপিত কাগজ "কনজুগেট কোডিং" (১৯ 1970০ সালের দিকে লেখা) -তে জালিয়াতি করা নিঃশর্তভাবে অসম্ভব এমন কোয়ান্টাম টাকার জন্য একটি প্রকল্প প্রস্তাব করেছিলেন, ধরে নিলেন যে ইস্যুকারী ব্যাংকের এলোমেলো সংখ্যার একটি বিশাল টেবিলের অ্যাক্সেস রয়েছে এবং ব্যাংক নোটগুলি আনা যেতে পারে যাচাইয়ের জন্য ব্যাঙ্কে ফিরে যান। উইসনারের স্কিমে, প্রতিটি নোটটি একটি ধ্রুপদী "সিরিয়াল নম্বর" এবং কোয়ান্টাম অর্থের রাজ্যের সাথে নিয়ে থাকে গঠিত unentangled qubits, প্রতিটি এক হয় $s$ $|\psi_s\rangle$ $n$

| 0 ⟩, | 1 ⟩, | + ⟩ = (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / \sqrt{2}, or | - ⟩ = (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) / \sqrt{2} .

$|0\rangle,\ |1\rangle,\ |+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2},\ \text{or}\ |-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}.$

একটি ধ্রুপদী বর্ণনা ব্যাংক মনে আছে যে জন্য । এবং তাই, যখন যাচাইয়ের জন্য ব্যাংকে ফিরিয়ে আনা হয়, ব্যাংকের প্রতিটি qubit পরিমাপ করতে পারেন সঠিক ভিত্তিতে (হয় বা ), এবং চেক করুন যে এটি সঠিক ফলাফল পায়। $|\psi_s\rangle$ $s$ $|\psi_s\rangle$ $|\psi_s\rangle$ $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ ${|+\rangle,|-\rangle}$

অন্যদিকে, অনিশ্চয়তার সম্পর্কের কারণে (বা বিকল্পভাবে, নো-ক্লোনিং উপপাদ্য), এটি "স্বজ্ঞাতভাবে সুস্পষ্ট" যে, যদি সঠিক ভিত্তি না জেনে কোনও জালিয়াতি অনুলিপি করার চেষ্টা করে , তারপর সম্ভাব্যতা যে উভয় নকলকারী এর আউটপুট রাজ্যের পাস ব্যাংকের যাচাইকরণ পরীক্ষা সর্বাধিক হতে পারে , কিছু ধ্রুবক জন্য । উপরন্তু, এই নির্বিশেষে সত্য হওয়া উচিত কি কৌশল নকলকারী ব্যবহার করে, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ (যেমন, এমনকি যদি নকলকারী উপর অভিনব বিজড়িত পরিমাপ ব্যবহার )। $|\psi_s\rangle$ $c^n$ $c<1$ $|\psi_s\rangle$

যাইহোক, অন্যান্য কোয়ান্টাম অর্থের স্কিমগুলি সম্পর্কে একটি কাগজ লেখার সময়, আমার সহকারী এবং আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আমরা কোথাও উপরের দাবিটির কঠোর প্রমাণ, বা উপর একটি স্পষ্টভাবে উপরের আবদ্ধ দেখতে পাই না : উইসনারের মূল কাগজে বা পরে কোনওটিতে নেই । $c$

সুতরাং, এই জাতীয় প্রমাণ ( উপরের একটি আবদ্ধ সঙ্গে ) প্রকাশিত হয়েছে? যদি তা না হয় তবে নো-ক্লোনিং উপপাদ্যের আনুমানিক সংস্করণগুলি থেকে (বলুন) বা বিবি 84 কোয়ান্টাম কী বিতরণ প্রকল্পের সুরক্ষা সম্পর্কিত ফলাফলগুলি থেকে আরও বেশি বা কম সোজা উপায়ে এই জাতীয় প্রমাণ পাওয়া যাবে? $c$

আপডেট: নীচে জো ফিট্জসিমনসের সাথে আলোচনার আলোকে, আমার স্পষ্ট করা উচিত যে আমি বিবি 84 এর সুরক্ষা থেকে কেবলমাত্র হ্রাসের চেয়ে বেশি খুঁজছি। পরিবর্তে, আমি সফল জালিয়াতির সম্ভাবনার উপর একটি স্পষ্টভাবে উপরের আবদ্ধের সন্ধান করছি (অর্থাত্ তে ) --- এবং আদর্শভাবে, সর্বোত্তম জালিয়াতির কৌশলটি কেমন দেখাচ্ছে তার কিছুটা বোঝা। অর্থাৎ, সর্বোত্তম কৌশলটি কি প্রতিটি কুইবাটকে সহজেই পরিমাপ করে স্বাধীনভাবে, ভিত্তি বলে $c$ $|\psi_s\rangle$

{\cos (π / 8) | 0 ⟩ + \sin (π / 8) | 1 ⟩, \sin (π / 8) | 0 ⟩ - \cos (π / 8) | 1 ⟩} ?

$\{ \cos(\pi/8)|0\rangle+\sin(\pi/8)|1\rangle, \sin(\pi/8)|0\rangle-\cos(\pi/8)|1\rangle \}?$

বা এমন কোনও জড়িয়ে পড়া জাল কৌশল যা আরও ভাল করে?

আপডেট 2: এই মুহুর্তে, আমি জানি সেরা জাল কৌশলগুলি হ'ল (ক) উপরের কৌশল এবং (খ) কৌশল যা কেবল প্রতিটি কুইবিটকে ভিত্তি এবং " জন্য আশা"। মজার বিষয় হল, এই কৌশলগুলি উভয়ই (5/8) ^{এন এর} সাফল্য সম্ভাব্যতা অর্জনে পরিণত হয় । সুতরাং, আমার এই মুহুর্তের অনুমানটি হ'ল (5/8) ^এন সঠিক উত্তর হতে পারে। যাইহোক, 5/8 সত্য যে একটি কম $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ সি'র উপর আবদ্ধ থাকা উইনসনার স্কিমের যে কোনও "খুব সহজ" এর জন্য কোনও সুরক্ষার যুক্তির বিধি নিষেধ করে (উদাহরণস্বরূপ, কোনও জালিয়াতি করতে পারে এমন অদক্ষীয় কিছু নেই এমন প্রভাবের কোনও যুক্তি, এবং তাই সঠিক উত্তরটি সি = 1/2)।

আপডেট 3: না, সঠিক উত্তরটি (3/4) ^এন ! আবেল মোলিনার উত্তরের নীচে আলোচনার সূত্রটি দেখুন।

quantum-computing

— স্কট অ্যারনসন
সূত্র

টিপি.এসই স্কটকে স্বাগতম! তোমাকে এখানে দেখে ভাল লাগল।

— জো ফিটজসিমনস

দেখে মনে হচ্ছে উইসনারের স্কিমটি বিবি to৮ এর সাথে ঠিক মিল রয়েছে যেখানে আপনি ববকে নির্বাচন করা পোস্টের জন্য যেমন এলিসের প্রস্তুতির জন্য মাপার একই ঘাঁটি বেছে নিয়েছেন (যেহেতু ব্যাংক অ্যালিস এবং বব উভয়)। স্পষ্টতই ব্যাঙ্কটি এলোমেলোভাবে পরিমাপের ভিত্তিটি বেছে নিতে পারে এবং বিবি 84 অনুকরণ করতে পারে, যা কঠোরভাবে দুর্বল সুরক্ষা পেতে পারে (যেহেতু আপনি ঠিক একই পরিমাপটি বিবেচনা করবেন তবে কেবল কুইটসের উপসেটে), তাই আপনি অবশ্যই বিবি 84 এর প্রমাণ ব্যবহার করতে পারেন কোয়ান্টাম মানি স্কিমের সুরক্ষা সীমাবদ্ধ। যদিও আমি কিছু মিস করছি।

— জো ফিৎসসিমনস

স্বাগত এবং উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, জো! এফডাব্লুআইডাব্লু, আমি আপনার স্বজ্ঞাততাটি শেয়ার করি যে বিবি 84 এর সুরক্ষা প্রমাণের চেয়ে উইসনারের স্কিমের জন্য সুরক্ষা প্রমাণ "কঠোরতর সহজ" হওয়া উচিত। যাইহোক, সেই যুক্তি দিয়ে (প্রতিটি অন্যের মতো), আমি আবার একই প্রশ্নে ফিরে আসতে থাকি: "তাহলে কি উপরের গন্ডিতে আবদ্ধ হবে?"

— স্কট অ্যারনসন

অবশ্যই এটি বিবি 84-তে কী নির্ধারণের সম্ভাবনার দ্বারা উপরের দিকে আবদ্ধ।

— জো ফিৎসসিমনস

এছাড়াও, যদিও বিবি 84 এর একমাত্র / সর্বোত্তম বিকল্পের সুরক্ষা থেকে উইনসনারের প্রকল্পের সুরক্ষা ব্যয় করা ঠিক হবে, তবে আমি আরও আশা করি যে আরও একটি প্রত্যক্ষ এবং তথ্যমূলক প্রমাণ হওয়া উচিত। তদ্ব্যতীত, এটি প্রশংসনীয় বলে মনে হয় যে গ এর উপর স্পষ্টভাবে উপরের আবদ্ধ হওয়ার জন্য, বা "যুক্তিসঙ্গত" এ জাতীয় আবদ্ধ হওয়ার জন্য (০.৯৯৯৯-এর মতো ০.৯ এর মতো) সরাসরি প্রমাণের প্রয়োজন হবে।

— স্কট অ্যারনসন

উত্তর:

দেখে মনে হচ্ছে এই মিথস্ক্রিয়াটি নিম্নলিখিত উপায়ে মডেল করা যেতে পারে:

অ্যালিস একটি রাজ্য প্রস্তুত , , $|000\rangle$ $|101\rangle$ , $(|0\rangle+|1\rangle)|10\rangle/\sqrt{2}$ , একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা বিতরণ অনুযায়ী এবং প্রথম ববিট ববকে প্রেরণ করে। $(|0\rangle-|1\rangle)|11\rangle/\sqrt{2}$
বব একটি স্বেচ্ছাসেবী কোয়ান্টাম চ্যানেল সঞ্চালন করে তার কোয়েট দুটি কুইবিটে প্রেরণ করে, যা পরে এলিসে ফিরে আসে।
অ্যালিস তার দখলে থাকা চারটি কুইবিটে একটি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক পরিমাপ সম্পাদন করে।

আমি যদি এই সম্পর্কে ভুল না হয়ে থাকি (এবং আমি দুঃখিত তবে আমি), এটি গুটোস্কি এবং ওয়াটারাসের এখানে এবং এখানে উপস্থাপিত ফর্মালিজমের মধ্যে পড়ে , যা বোঝায় যে:

এইগুলির মধ্যে দ্বিতীয়টির থিওরেম ৪.৯ থেকে, বব যখন স্বাধীনভাবে বিভিন্ন পদ্ধতিতে পুনরায় পুনরায় পুনরায় প্রয়োগ করেন তখন ববকে স্বাধীনভাবে কাজ করা অনুকূল, যদি ববের উদ্দেশ্য সর্বদা অ্যালিসকে বোকা বানানো হয়।
একটি ছোট সেমাইডাইফিনেট প্রোগ্রাম থেকে গ এর মান পাওয়া সম্ভব। এই প্রোগ্রামটি কীভাবে পাবেন তা আপনি এখানে বিভাগ 3 এ আরও বিস্তারিত জানতে পারেন । প্রোগ্রামটির সিভিএক্স কোড এবং এর মানটির জন্য মন্তব্যগুলি দেখুন।

— আবেল মোলিনা
সূত্র

আবেলের পরামর্শ অনুসরণ করে, এটি প্রদর্শিত হবে যে সর্বোত্তম মান সি = 3/4।

আমি ঠিক 3/4 এর সমান মূল্য পেয়েছি। এর ব্যাখ্যামূলক শক্তি ছোট, তবে কম্পিউটার কোডটি cs.uwaterloo.ca/~amolinap/scriptWeisner.m এবং cs.uwaterloo.ca/~amolinap/prtrace.m এ রয়েছে ।

— আবেল মোলিনা 21

কৌশলটি এমন একটি কোয়ান্টাম চ্যানেল দ্বারা দেওয়া হয়েছে যার চোই-জামিল্কোভস্কি উপস্থাপনাটি সেমিডেফিনাইট প্রোগ্রামের একটি সর্বোত্তম সমাধান। এই জাতীয় সমাধানের লিঙ্কের জন্য cs.uwaterloo.ca/~amolinap/optSolution.txt দেখুন (কমপক্ষে উল্লেখযোগ্য কুইবিট বব দ্বারা প্রাপ্ত একটি, এবং অন্য দুটি তিনি এলিসকে প্রেরণ করেছেন)। যদি আমার গণনাগুলি সঠিক হয়, তবে সংশ্লিষ্ট চ্যানেলটি <0> থেকে (| 01> + | 10>) / √2 কে সম্ভাব্যতার সাথে 1/6, এবং (3 | 00> + | 11>) / √10 কে সম্ভাব্যতার 5 সহ প্রেরণ করে / 6। | 1> সম্ভাব্যতা 1/6 এর সাথে (| 01> + | 10>) / √2, এবং (| 00> +3 | 11>) / √10 এ 5/6 সম্ভাব্যতার সাথে পাঠানো হয়

— আবেল মোলিনা

একইভাবে, (| 0> + | 1>) / √2 সম্ভাব্যতা 1/6 এর সাথে (| 11> - | 00>) / √2, এবং (| 00> +1/2 | 01> +1 এ পাঠানো হয় / 2 | 10> + | 11>) / prob (5/2) সম্ভাবনা 5/6 সহ। একইভাবে, (| 0> - | 1>) / √2 সম্ভাব্যতা 1/6 এর সাথে (| 11> - | 00>) / √2 এবং (| 00> -1/2 | 01> -1) এ প্রেরণ করা হচ্ছে / 2 | 10> + | 11>) / prob (5/2) সম্ভাবনা 5/6 সহ।

— আবেল মোলিনা

যেহেতু @ আবেলমোলিনার উত্তরটি একটি আরক্সিব পেপারে রূপান্তরিত হয়েছে, arxiv.org/abs/1202.4010 , আমি ভবিষ্যতের পাঠকদের জন্য এই লিঙ্কটি যুক্ত করছি।

— ফ্রেডেরিক গ্রোহান্সস 21

$\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ $\alpha$ $\beta\in \mathbb{R}\:$

{(\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{8}})}^{2 n} \approx {.72855}^{n}

$\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{\sqrt{8}}\right)^{2n} \approx .72855^n$

n

$n$

(\frac{5}{8})^{n}

$(\frac{5}{8})^n$

$\sum_{i=1}^2 A_i \rho A_i^\dagger$

A_{1} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{8}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{8}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{8}} \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{8}} & 0 \end{array}) A_{2} = (\begin{array}{cc} 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{8}} \\ \frac{1}{\sqrt{8}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{8}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{8}} \end{array}) .

$A_1 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{8}} & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{8}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{8}}\\ \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{8}} & 0 \end{array} \right) \ \ \ \ A_2 = \left(\begin{array}{cc} 0& \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{8}} \\ \frac{1}{\sqrt{8}}&0\\ \frac{1}{\sqrt{8}}&0\\ 0&\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{8}} \end{array} \right) .$

$\sum_{i=1}^2 A_i \rho A_i^\dagger$

A_{1} = \frac{1}{\sqrt{12}} (\begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}) A_{2} = \frac{1}{\sqrt{12}} (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}) .

$A_1 = \frac{1}{\sqrt{12}}\left( \begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \ \ \ \ A_2 = \frac{1}{\sqrt{12}}\left(\begin{array}{cc} 0& 1 \\ 1&0\\ 1&0\\ 0&3 \end{array} \right) .$

এগুলি পরিষ্কারভাবে একই পরিবার থেকে এসেছে, তবে বিভিন্ন উদ্দেশ্যমূলক ক্রিয়াকলাপগুলি সন্তুষ্ট করতে অনুকূলিত হয়েছে। সমবায় রূপান্তরগুলির এই পরিবারটি প্রদত্ত বলে মনে হয়

A_{1} = \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 4 y^{2}}} (\begin{array}{cc} x + y & 0 \\ 0 & y \\ 0 & y \\ x - y & 0 \end{array}) A_{2} = \frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 4 y^{2}}} (\begin{array}{cc} 0 & x - y \\ y & 0 \\ y & 0 \\ 0 & x + y \end{array}) .

$A_1 = \frac{1}{\sqrt{2x^2+4y^2}}\left( \begin{array}{cc} x+y & 0\\ 0 & y\\ 0 & y\\ x-y & 0 \end{array} \right) \ \ \ \ A_2 = \frac{1}{\sqrt{2x^2+4y^2}}\left(\begin{array}{cc} 0& x-y \\ y&0\\ y&0\\ 0&x+y \end{array} \right) .$

— পিটার শোর
সূত্র

ধন্যবাদ, পিটার! তাদের ক্লোনারের অনুকূলতা বা নিকট-অনুকূলতা প্রদর্শন করা দুর্দান্ত হবে। তার জন্য, আমি অনুমান করি যে প্রথম পদক্ষেপটি দেখাবে যে সর্বোত্তম আক্রমণটি সমষ্টিগত নয় বরং ব্যক্তিগত।

— স্কট অ্যারনসন

যদি আবেল মোলিনার দৃষ্টিভঙ্গি কাজ করে তবে এটি এটি প্রদর্শন করা উচিত। যদি তা না হয় তবে উপরের বাউন্ডটি পেতে আপনার অনুকূল ক্লোনার পেপারগুলিতে কৌশলগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়া উচিত তবে এটি কী হবে তা আমি তাত্ক্ষণিকভাবে জানি না।

— পিটার শর

(| 0 ⟩ + i | 1 ⟩) / \sqrt{2}

$(|0\rangle + i |1\rangle)/\sqrt{2}$

(| 0 ⟩ - i | 1 ⟩) / \sqrt{2}

$(|0\rangle - i |1\rangle)/\sqrt{2}$

c = 2 / 3

$c = 2/3$

x = y = 1

$x = y = 1$

x = y = 1

$x=y=1$

আমি প্রকাশিত সুরক্ষা প্রমাণ সম্পর্কে জানি না। আমি মনে করি সবচেয়ে সহজ উপায় এবং শক্তিশালী আবদ্ধতা আনুমানিক নো-ক্লোনিং থেকে আসবে তবে আমি অনুমান করি যে আপনার বিবি 84 স্টেটগুলির জন্য বিশেষ সংস্করণ প্রয়োজন need এমনকি বিবি 84 থেকে হ্রাসও সুস্পষ্ট নয়, যেহেতু বিবি 84 এর সুরক্ষার শর্তটি আলাদা।

আমি মনে করি না আপনি অনাবৃত এনক্রিপশনের ( কোয়ান্ট-পিএইচ / 0210062 ) সুরক্ষা প্রমাণের ফলস্বরূপ আপনি সরাসরি প্রমাণ পেতে পারেন । এটি প্রতারণার সম্ভাবনার উপর একটি শক্ত ওপেন বাউন্ড পাবেন না, তবে কমপক্ষে এটি সুরক্ষা দেয়।

$\rho_k$

এটি কোয়ান্টাম মানি স্কিম তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে: একটি এলোমেলো এনক্রিপশন ব্যাঙ্ক এ একটি এলোমেলো স্ট্রিং "বার্তা" এলোমেলো স্ট্রিং ব্যবহার করে। একটি অপ্রকাশিত এনক্রিপশন স্কিম রয়েছে যা মূলত বিবি 84, সুতরাং এটি ওয়েইনসারের স্কিমটি দিতে পারে। ইভটি অর্থ আটকে দেয়, এর সাথে যোগাযোগ করে এবং পরিবর্তিত মূলটি ব্যাংক বি তে প্রেরণ করে She , এবং যদি তারা সঠিক র্যান্ডম "বার্তা" স্ট্রিংটি ডিকোড করে। অভাবনীয় এনক্রিপশন সম্পত্তি বি বলেছে যে উচ্চ সম্ভাবনার সাথে, বি এর অনুলিপিটি শোনার পরীক্ষায় ব্যর্থ হয় বা সি এর অনুলিপিতে বার্তা সম্পর্কে প্রায় কোনও তথ্য নেই। এটি প্রয়োজনের চেয়ে শক্তিশালী তবে সুরক্ষা প্রমাণ করার পক্ষে এটি যথেষ্ট।

সেরা অ্যাসিম্পোটিক আক্রমণটির জন্য, আমি কল্পনা করব, কোয়ান্টাম ডি ফিনেটির কারণে, সেরা সম্মিলিত আক্রমণটি সর্বোত্তম ব্যক্তিগত আক্রমণ হিসাবে একই।

অনেক অনেক ধন্যবাদ, ড্যানিয়েল! আমি একটি যুক্তির সন্ধান চালিয়ে যাব যা গ এর উপর একটি স্পষ্ট আবদ্ধ দেয় তবে এর মধ্যে, এটি অত্যন্ত সহায়ক। আমি এগিয়ে গিয়েছিলাম এবং আপনার উত্তরটিকে "স্বীকৃত" হিসাবে চিহ্নিত করেছি।

— স্কট অ্যারনসন