মাস্টার সমীকরণ এবং অপারেটরের সমষ্টি ফর্ম

Question

আমি কোয়ান্টাম তথ্য লোকের চেয়ে কোয়ান্টাম অপটিক্স লোক, এবং মূলত মাস্টার সমীকরণগুলিতেই ডিল করি। আমি অপারেটর-যোগফলের ফর্মটিতে আগ্রহী এবং আমি এই ফর্মের ত্রুটিগুলি একটি ছোট কোয়ান্টাম সিস্টেমের জন্য উত্পন্ন করতে চাই যা আমি অনুকরণ করছি।

ক্যাচ: কোয়ান্টাম সিস্টেমটি সাইনোসয়েডাল ফাংশন সহ মডেলিংযুক্ত একটি বাহ্যিক (ধ্রুপদী) ক্ষেত্র দ্বারা চালিত হয় এবং স্যাঁতসেঁতে হার কম হয়, তাই এই সময়ের নির্ভরতা দূর করতে আমি কোনও ঘোরানো তরঙ্গ অনুমান করতে পারি না। প্রদত্ত যে আমি ইন্টিগ্রেশন দ্বারা সংখ্যাসূচকভাবে মাস্টার সমীকরণ সমাধান করতে হবে, এবং সময়ে প্রতিটি ইন্টিগ্রেশন ফলে এই ত্রুটিগুলি জিনিসটা যথেষ্ট তথ্য নয়, এবং আমি superoperator ম্যাট্রিক্স করে একটি vectorised ঘনত্ব পরিচালিত হয়েছে পুনরুদ্ধার করতে কিছু কাজ যা করতে হবে ম্যাট্রিক্স। অর্থাত আমি 1 একটি একক এন্ট্রি এবং বাকি শূন্য দিয়ে মাস্টার সমীকরণ একটি vectorised ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স খেতে দাও, এবং একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য যে ভালো ম্যাট্রিক্স গড়ে তুলতে τ । আমি কি এখানে সঠিক পথে রয়েছি (স্যানিটি পরীক্ষা)? আরও স্পষ্টভাবে, যদি ভি ই সি$t$$\tau$ হল ভেক্টরাইজড (সুতরাং এটি একটি কলাম ভেক্টর) ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের ফর্ম i , j ,1 = 1 তে একক প্রবেশেরসাথে t = 0 যা সময়ের সাথে বিবর্তিত হয়েছে τ , তারপরে একটি ম্যাট্রিক্স থেকে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স ভেক্টর ফর্ম নিতে টন = 0 থেকে টি = τ হিসাবে দেওয়া হয় এম = Σ আমি , ঞ বনাম ই গ ( ρ আমি ঞ , T = 0$\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})$$i,j$$t=0$$\tau$$t=0$$t=\tau$ ।$\mathbf{M}=\sum_{i,j}\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=0})\mathrm{vec}(\rho_{ij,t=\tau})^\dagger$

প্রশ্ন: এই সুপারওরেটর যা $\mathbf{M}$ , আমি কীভাবেকার্যকর রূপে এম এর অপারেটর-সমমানের জন্য ক্রাউস অপারেটরদের পেতে পারি? অর্থাত্ প্রশ্নযুক্ত সিস্টেমটি হ'ল এক কোয়েট বা কুত্রিট এবং অন্য কোবিট বা কুত্রিত। আমি যদি সম্ভব হয় তবে প্রতিটি চ্যানেলে স্পিন ম্যাট্রিক্সের টেনসর পণ্য আকারে অপারেটর যোগফল করতে সক্ষম হতে চাই।$\mathbf{M}\,\mathrm{vec}(\rho_0)=\mathrm{vec}(\rho_\tau)$$\mathbf{M}$

সাইড প্রশ্ন: হল একটি চোই ম্যাট্রিক্স?$\mathbf{M}$

চূড়ান্ত দ্রষ্টব্য: আমি পিঞ্জার প্রস্তাবিত কাগজটি ব্যবহার করায় আমি পিনজার কাছে গ্রহণযোগ্যতাটি প্রদান করেছি। আমি নীচে নিজেই একটি উত্তর সরবরাহ করেছি যা বিশদটি পূরণ করে।

Comments

"প্রশ্নে থাকা সিস্টেমটি হ'ল একটি কুইবিট বা কুত্রিট এবং অন্য একটি কোয়েট বা কুত্রিত" " - "অন্যান্য সিস্টেম" কি? আপনি কি ইউনিটরিটিস + ট্রেস আউট ব্যবহার করে এই চ্যানেলটি বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজনীয় এনসিলার কথা বলছেন? সেক্ষেত্রে মনে রাখবেন যে আনসিলার মাত্রা ডি ^ 2 পর্যন্ত হতে পারে, সুতরাং কোয়েটগুলি তা করবে না।

— নরবার্ট শুচ

না, এই মুহূর্তে এটি কেবল একটি খেলনা মডেল যা দুটি ছোট কোয়ান্টাম সিস্টেমের সমন্বয়ে গঠিত, এবং বিভিন্ন টি 1 এবং টি 2 বার রয়েছে। এই প্রশ্নের উত্তর গুরুতর উদ্বেগের নয়। এটি আরও আগ্রহের বিষয়, কারণ ভবিষ্যতে কীভাবে এটি করা যায় সে সম্পর্কে আরও জানার পক্ষে কাজ করা সহজ।

— qubyte

আমি কি এই প্রশ্নটি পদার্থ বিজ্ঞানের চেয়ে সিএস থিওরিতে স্থানান্তরিত করতে পারি?

— qubyte

ঠিক আছে ... আমি মনে করি এটি এখানে ভাল হত, তবে ঠিক আছে।

— ডেভিড জেড

ধন্যবাদ। দুঃখিত, পদার্থবিদ্যা.এসই-র কেবল কোনও বড় অনুরাগী নন, এবং যাইহোক, আমি মনে করি গবেষণা ভিত্তিক কিউআই প্রশ্নগুলি এখানে (নিশ্চিত হওয়ার পরে) আরও ভাল ফিট করে।

— qubyte

Answer 1

আমি আমার মাস্টার্স থিসিসে খুব অনুরূপ একটি সমস্যা নিয়ে কাজ করেছি, যেখানে আমি একটি বিপর্যস্ত পরিবেশে চালিত কুইটের নন-মার্কোভিয়ান গতিবিদ্যা সম্পর্কে অধ্যয়ন করেছি। আমার আগ্রহ যাচাই করা ছিল যে আমি যে মাস্টার সমীকরণটি পেয়েছি তা সম্পূর্ণ ইতিবাচক ছিল তবে এটি আপনার সমস্যার মাত্র একটি দিক। কোনও আরডাব্লুএ তৈরি না করা হলে প্রশ্নটি খুব অ-তুচ্ছ বলে প্রমাণিত হয়েছে, তবে আমি রেফ ব্যবহার করে কিছু ফলাফল পেতে সক্ষম হয়েছি। [ জে মোড। নির্বাচন করুন। 54, 1695 (2007) ] এবং পরিবেশটি কোয়েটটি দুর্বল হয়ে গেছে এই সত্যটি কাজে লাগিয়ে। আমি আমার ড্রামকে মারব এবং রেফও দেব। একটি নিবন্ধে যেখানে আমি এই ফলাফলগুলির কয়েকটি উপস্থাপন করি, [পি। হাইক্কা এবং এস। ম্যানিসিস্কো, ফিজ। রেভ। এ 81, 052103 (2010)] , আপনি এটি দরকারী খুঁজে পেতে পারেন।

Comments

আহ! দেখা যাচ্ছে যে আমি কয়েকদিন ধরে অ্যান্ডারসন পেপারের দিকে তাকিয়ে আছি। এটি খুব প্রতিশ্রুতিবদ্ধ বলে মনে হচ্ছে, এবং সবচেয়ে কংক্রিট রেসিপি দেয়। আমি সমস্যাগুলি প্রয়োগ করার জন্য একটি পদ্ধতি থাকা পছন্দ করি । সত্যি কথা বলতে, সত্যিকার অর্থে বসতে এবং এটি দেখার জন্য আমার সময়সীমার সন্ধান করা উচিত। এই মুহূর্তে এটি আরও একটি ব্যক্তিগত প্রকল্প।

— qubyte

Answer 2

মার্কোভ প্রক্রিয়া হিসাবে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের উত্তরে প্রদত্ত রেফারেন্সগুলি  - বিশেষত কার্লটন গুহাগুলির অন-লাইন " সম্পূর্ণরূপে ইতিবাচক মানচিত্র, ইতিবাচক মানচিত্র এবং লিন্ডব্ল্যাড ফর্ম " - জরিপ শারীরিক ধারণা এবং গাণিতিক সরঞ্জাম যা প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে সহায়ক।

$M$$M$$M$$M$ সংখ্যায় সম্পূর্ণভাবে দেওয়া হয়।

$M$

যদি এই জাতীয় প্রশ্নের দক্ষতার সাথে "একটি অ্যালগোরিদমিক ক্র্যাঙ্ক ঘুরিয়ে" উত্তর দেওয়া যেতে পারে তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানটি এত কম আকর্ষণীয় বিষয় হতে পারে! :)

Comments

এটি আমি যা আশা করছিলাম তা বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ঘটনাটি ছিল না, তবে ভাবা হবে। দুঃখের বিষয় হ'ল ডিপোপুলেশন ছাড়াই কেবল ডিফেসিংয়ের ক্ষেত্রে সিস্টেমটির কেবল শোষণমূলক প্রতিসাম্য রয়েছে। লিন্ডব্ল্যাড মাস্টার সমীকরণের খুব আকর্ষণীয় ফর্ম রয়েছে যা ক্রাউস ফর্ম নয় এমন এক শর্ত সংগ্রহ করে যা হ্যামিলটোনিয়ান হ্যামিলটোনিয়ানের কোনও সময়-নির্ভরতার ক্ষেত্রে হ্যামিলটোনিয়ায় কোনও সময় নির্ভরতা না রেখে প্রাকৃতিক ক্ষয়কে প্রকাশ করে এমন ভিত্তি বেছে নিতে পারে বাকি Krauss পদ হিসাবে। ঝরঝরে, তবে আমার জন্য কোনও সাহায্য নেই।

— qubyte

গুহাগুলির নোটগুলির মধ্যে একটি উল্লেখ হ'ল ওল্ফ এবং সিরাক ডিভিডিং কোয়ান্টাম চ্যানেলগুলি (আরএক্সআইভি: গণিত-পিএইচ / 0611057), যা আমি এই নিবন্ধটিতে আলোচিত (বহু এবং সূক্ষ্ম) কোয়ান্টাম ইনফরম্যাটিক বিষয়গুলিকে ব্যক্তিগতভাবে উপলব্ধি করার ন্যূনতম ওয়্যারেন্টি ছাড়াই সুপারিশ করি! :)

$\mathbf{M}$$\mathbf{M}$

Answer 3

আমি মনে করি আপনি যা খুঁজছেন তা হ'ল: রিয়েল ডেনসিটি ম্যাট্রিক্স । এটি আপনাকে বিভিন্ন সুপারপোজারেটর উপস্থাপনাগুলির মধ্যে রূপান্তর করার জন্য একটি রেসিপি দেয় (পলিসের একটি সেন্সর পণ্য ভিত্তি সহ)। ফলাফলগুলি ব্যবহার করে একটি বিশদ কোয়ান্টাম প্রক্রিয়া টমোগ্রাফি পরীক্ষা এখানে রয়েছে: কোয়ান্টাম ফুয়েরিয়ার ট্রান্সফর্মের কোয়ান্টাম প্রক্রিয়া টমোগ্রাফি । আরও সাধারণভাবে, হাভেল এখানে ন্যূনতম ক্রাউসের উপস্থাপনায় রূপান্তর করতে অ্যালগরিদমও পেয়েছে: কোয়ান্টাম ডায়নামিকাল সেমিগ্রুপের লিন্ডব্লাড, ক্রাউস এবং ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনার মধ্যে রূপান্তর করার পদ্ধতি ।

${\rm vec}(\rho)$$\rho$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|i\rangle\otimes|j\rangle$${\rm vec}(|i\rangle\langle j|)=|j\rangle\otimes|i\rangle$${\rm col}(\rho)$${\rm \bf M}^{\rm row}{\rm vec}(\rho_0)={\rm vec}(\rho_t)$${\rm \bf M}^{\rm col}{\rm col}(\rho_0)={\rm col}(\rho_t)$

$${\rm\bf C} = \sum_{i,j} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|) {\rm \bf M}^{\rm row} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}),$$ $${\rm\bf C} = \sum_{i,j} (|i\rangle\langle j|\otimes {\rm\bf 1}) {\rm \bf M}^{\rm col} ({\rm\bf 1}\otimes |i\rangle\langle j|).$$ $\{|i\rangle\langle j|\otimes |k\rangle\langle l|\}$

Comments

এটি আকর্ষণীয়, আমি ঠিক যা খুঁজছিলাম তা হতে পারে ...

— কোবিটি

আমি কেবল আপনার সংযোজনটি দেখেছি। আপনাকে ধন্যবাদ, এটি খুব দরকারী। আমি প্রথমে আপনার ভিসার সংস্করণটি নিয়েছি, কিন্তু এখন আমি স্ট্যাক করা কলামগুলি ব্যবহার করছি। এই জন্য উইকিপিডিয়া ধন্যবাদ । স্পষ্টতার জন্য সম্ভবত আপনার স্বরলিপিটি গ্রহণ করা উচিত।

— qubyte

Answer 4

পিনজা যেমন উল্লেখ করেছেন, অ্যান্ডারসন এট আল-র একটি কাগজ। ( আরএক্সআইভি ) ( ডিওআই ) বিশেষভাবে কার্যকর হয়েছে। কাগজটি একটি বিশদ বিবরণে যায় এবং অবশেষে আমি আজ এটিতে সঠিকভাবে নজর দিতে বসেছিলাম। উদাহরণস্বরূপ সমস্যা হিসাবে, আমি যা যা বিবেচনা করছি তার একটি সর্বনিম্ন সংস্করণ এটি যাচাই করতে আমি এক্সচেঞ্জ ইন্টারঅ্যাকশন সহ দুটি কুইবিট বাছাই করেছি। শুরু করার জন্য, মাস্টার সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

$$\dot\rho = \Lambda(\rho).$$

$\sigma_i = \mathbf{1},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$1/2$$G_i$$G_5 = G_{xx} = (\sigma_x\otimes\sigma_x)/2$

$L$

$$L_{n,m} = \mathrm{Tr}[G_n\Lambda(G_m)].$$

যদি আমরা প্রশ্নে আলোচিত ভেক্টরাইজড ডেনসিটি অপারেটরের ম্যাট্রিক্সের অভিনয় হিসাবে মাস্টার সমীকরণের সাথে কথা বলি, তবে এটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

$$L_{n,m} = \mathrm{vec}(G_n)^\dagger\,\Lambda\,\mathrm{vec}(G_m),$$

যা এলকে একক ম্যাট্রিক্স সমীকরণে উত্পন্ন করতে সহায়তা করে তবে এটি সামান্য বিষয় ছেড়ে চলেছে।

$L$$F$$\phi$

$$F(t) = \exp(Lt).$$

$F$$S$

$$S_{a,b} = \sum_{n,m}F_{m,n}\mathrm{Tr}[G_nG_aG_sG_b].$$

অবশেষে, দুর্দান্ত অংশ।

$$\rho_t=\phi_{n,m}(\rho_0,t) = S_{n,m}(t)G_n\rho_0 G_m^\dagger$$

$S$$\Lambda$$\phi(t)=\exp(\Lambda t)$

এটি প্রত্যাশার মতো ছাড়ার এবং কুত্রিতদের জন্য স্বাধীন সময়ে ক্ষেত্রে কাজ করে। আমার এটি যাচাই করা দরকার সময় নির্ভরতার ক্ষেত্রে এটি কাজ করে।