মাফিয়া কত কঠিন?

Question

পার্টিতে মাফিয়া একটি জনপ্রিয় ভূমিকা বাজানো গেম, এর বিস্তারিত বিবরণ উইকিপিডিয়াতে পাওয়া যায় http://en.wikedia.org/wiki/Mafia_%28game%29 ।

মূলত, এটি নিম্নলিখিত হিসাবে কাজ করে:

• শুরুতে, প্রতিটি খেলোয়াড়কে গোপনে একটি ভূমিকা অর্পণ করা হয়, তা হয় মাফিয়ার সাথে বা টাউনটির সাথে একত্রিত। প্রতিটি ভূমিকার বিশেষ ক্ষমতা থাকতে পারে; যে সম্পর্কে আরও পরে।$N$

• দুটি গেম পর্ব রয়েছে: দিন এবং রাত। রাতে, মাফিয়া একে অপরের সাথে গোপনে যোগাযোগ করতে পারে; এবং তারা সেই রাত্রে যে কোনও খুনি খেলোয়াড়কে হত্যা করে তার সাথে একমত হতে পারে। ডে-তে, সমস্ত (জীবিত) খেলোয়াড় একটি মুক্ত ফোরামে যোগাযোগ করে। খেলোয়াড়রা কোনও খেলোয়াড়কে লঞ্চ দিতে সম্মত হতে পারে, সমস্ত খেলোয়াড়ের নিখুঁত সংখ্যাগরিষ্ঠতা প্রয়োজন।

• খেলাটি যদি শেষ হয় কেবল মাফিয়া বাকি আছে, বা কেবল টাউনটি বাকি আছে। বেঁচে থাকা দল জিতল।

• আসুন ধরে নেওয়া যাক যে তিনটি ভূমিকা রয়েছে: নাগরিক, তদন্তকারী এবং মাফিওসো। নাগরিকদের কোনও ক্ষমতা নেই। রাতের বেলা একে অপরের সাথে যোগাযোগ করতে সক্ষম হওয়া এবং প্রতি রাতে একজন খুনের শিকার হয়ে ভোটদানের পক্ষে ভোট দেওয়ার বাইরেও মাফোসির কোনও দক্ষতা নেই। তদন্তকারীরা প্রতি রাতে অন্য একজন খেলোয়াড়ের তদন্ত করতে পারেন, তাদের সঠিক ভূমিকা খুঁজে বের করে।

• ধরে নিন গেমটি দিনের শুরু হয় এবং মৃত্যুর পরে একজন খেলোয়াড়ের ভূমিকা প্রকাশিত হয়

জয়ী কৌশল

একটি সেট আপ দেওয়া এর আমি তদন্তকারীরা, গ সিটিজেন, এবং মি মাফিয়সী, আমরা বলতে যে সেটআপ করা আছে টাউন-এর জন্য বিজয়ী , যদি সেখানে টাউন খেলোয়াড়দের জন্য কৌশল, যেমন যে তারা win, সেটা ব্যাপার হল কিভাবে মাফিয়া খেলে।$(i,c,m)$$i$$c$$m$

নোট করুন যে আমরা ধরে নিতে পারি যে মাফিয়া পুরো তথ্য নিয়ে খেলে, যেহেতু তারা যে কোনও সিদ্ধান্ত নিতে পারে তার জন্য আমরা দায়বদ্ধ করতে চাই ।

উদাহরণ: সেটআপ টাউনটির জন্য জিতেছে।$(4,1,1)$

প্রথম দিন: সমস্ত টাউন খেলোয়াড় সত্যই ওপেন চ্যাটে তাদের ভূমিকার কথা জানান। মাফিয়া খেলোয়াড়কে তদন্তকারী বা নাগরিক বলে দাবি করতে হবে।

তিনি যদি নাগরিক দাবি করেন, তবে মাফিওসো কথিত দুটি নাগরিকের মধ্যে একজন। প্রতিটি তদন্তকারী উভয়কেই তদন্ত করতে পারে এবং সত্যিকারের সন্ধান করবে। বেশিরভাগ একজন তদন্তকারী রাতে মারা যেতে পারেন, এবং অন্য দুজন কেবল মাফিওসোকে ঝুলিয়ে রাখেন।

সুতরাং, মাফিওসোকে অবশ্যই তদন্তকারী দাবি করতে হবে। সেখানে ৫ জন কথিত ইনভেসিগেটর রয়েছে। খোলা আড্ডায়, তদন্তকারীরা একে অপরকে পরীক্ষা করার অনুমতি দেওয়ার উপর একমত হন।

রাত ১: তদন্তকারীরা তাদের লক্ষ্যগুলি পরীক্ষা করে এবং মাফিওসো একজনকে হত্যা করে।

দ্বিতীয় দিন: সেখানে 3 জন তদন্তকারী রয়েছেন। সমস্ত অভিযুক্ত তদন্তকারীরা তাদের অনুসন্ধানের কথা জানিয়েছেন। কে মারা গিয়েছিল তা বিবেচনা না করে, তাদের মধ্যে কমপক্ষে একজনেরও একজন অন্য জীবিত তদন্তকারী দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছে। যেহেতু মাফিওসো তদন্তকারীকে দাবী করেছে, তাই তাকে আরও বলা দরকার যে তার নির্ধারিত লক্ষ্য মাফিয়া ছিল কি না। যদি সে কাউকে ফ্রেম দেয়, তবে টাউনটি জানে যে তিনি বা ফ্রেমড একজন মাফিয়া, অন্যটি নিশ্চিত হওয়া 3 টি শহরের বিরুদ্ধে। যদি সে কাউকে ফ্রেম না করে তবে সেখানে 3 টি কনফার্মেশন টাউনও থাকবে। যেভাবেই হোক, কাউকে ফাঁসি না দিয়ে এবং কেবলমাত্র 2 জন বাম সন্দেহভাজনকে তদন্ত করার জন্য টাউন জিততে পারে।

প্রশ্নাবলি

• কোনও প্রদত্ত সেটআপটি টাউনটির জন্য একটি বিজয়ী কৌশল স্বীকার করে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া কতটা কঠিন? স্বজ্ঞাতভাবে, এটি একটি কমপ্লিট সমস্যার মতো মনে হচ্ছে। কেউ কি হ্রাস নিয়ে আসতে পারে?$PSPACE$
• আমরা কি ন্যূনতম বিজয়ী সেটআপগুলি খুঁজে পেতে পারি? হিসাবে আমরা অনুপাত বা ( i + c ) হ্রাস করতে পারি : মি ?$i:m$$(i+c):m$

Comments

মৃত্যুর পরে কি পরিচয় প্রকাশিত হয়?

— পাইওটর মিগডাল

ওহ, হ্যাঁ তারা, আমি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি।

— সিজিজি

মজাদার. আমি এই গেমটির এমন একটি সংস্করণ খেলেছি যেখানে মৃত্যুর পরে পরিচয় প্রকাশ করা হয় না। বিশ্বাসযোগ্য গল্প এবং মিথ্যা সনাক্তকরণের কারুকাজ করা সম্পর্কে এটি আরও তৈরি করে।

— লুকাস কুক

$m$

@ লুকাসকুক হ্যাঁ, দেখুন arxiv.org/abs/1009.1031 (মাফিয়া গেম সম্পর্কিত আমার কাগজ)। একটি খেলায় যখন দু'জন খেলোয়াড়কে এক পাল্টে হত্যা করা যায় তখন মোট খেলোয়াড়ের সংখ্যার সমতা গুরুত্বপূর্ণ। তবে, প্রভাবটি সঠিক নিয়মের উপর নির্ভর করে (যেমন যদি লিঞ্চিং ynচ্ছিক হয় বা না হয়); এবং অ-সম্ভাব্য পরিস্থিতিগুলিতে উপস্থিত নাও হতে পারে (যেমন, উইনিং স্ট্র্যাটেজি সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি, না - বিজয়ী সম্ভাবনার বিষয়ে)।

— পাইটর মিগডাল

Answer 1

এখানে আপনি দেখতে চাইবেন এমন একটি উল্লেখ: http://www.jstor.org/stable/10.2307/25442651

মাফিয়া: আংশিক তথ্য পরিবেশে খেলোয়াড় এবং জোটের একটি তাত্ত্বিক অধ্যয়ন ব্র্যাভারম্যান, এম। এবং এটসামি, ও। এবং মোসেল, ই। ফলিত সম্ভাব্যতা ২০০৮ এর অ্যানালস

Comments

আমি বুঝতে পারি না যে সমস্যাটি ইতিমধ্যে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। আশা করি আমি যখন মাফিয়া খেলছিলাম তখন এটি জানতাম :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

ধন্যবাদ, আমি এটি খতিয়ে দেখব ... তবে, মনে হয় যে তারা নির্দ্বিধায়িক কৌশলগুলি যেখানে মাফিয়া পুরো তথ্য নিয়ে খেলেছে তার চেয়ে বরং র্যান্ডমাইজড কৌশলগুলিতে মনোনিবেশ করে

— সিজেজি

এই কাগজটি সম্ভাব্যতার সাথে কাজ করে এবং তাই একেবারে অন্যরকম সমস্যার সমাধান করে।

— ডোমোটরপ

@ ডমোটরপ: অসম্পূর্ণ জ্ঞান সহ যেভাবে মাফিয়া সেট আপ করা হয়েছে, সম্ভাব্য কৌশলটিই এটি সর্বোত্তম কৌশল হিসাবে সম্ভব। যদি কোনও মাফিওসো সর্বদা নাগরিক হিসাবে দাবি করে (বা সর্বদা তদন্তকারী হিসাবে দাবী করে) তবে টাউনকে যে সন্দেহজনক সন্দেহ করতে হবে তার সংখ্যা যথেষ্ট হ্রাস পেয়েছে।

— পিটার শর

@ পিটার: আমি আপনার সাথে একমত কিন্তু এই প্রশ্নটি হতাশাবাদী সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে জয়ের কৌশল সম্পর্কে, যেমন সিজিজিও তার মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন।

— ডোমোটরপ

Answer 2

প্রথমত, মনে রাখবেন যে আমরা যদি জনপদের জনগণের জন্য জৈবিক কৌশল অবলম্বন করি তবে প্রতিটি নাগরিককে তাদের ভূমিকা জিজ্ঞাসা করে খেলাটি শুরু করা সর্বদা সুবিধাজনক। এর কারণ এটি যদি মাফিয়োসিরা নিজেদেরকে টাউন জিতে ঘোষণা করে তবে তা জিজ্ঞাসা করা কোনও ক্ষতি নয়। এবং যদি মাফিয়োসিরা নিজেকে কিছু ঘোষণা করতে পারে এবং সেই ক্ষেত্রে জিততে পারে, তবে তারা ভান করে যে তারা ঘোষণাটি করেছে এবং সে অনুযায়ী কাজ করে।

এছাড়াও, কোনও অন্তর্নিহিত কাঠামো না থাকায় এর মতো একটি খেলা সম্ভবত PSPACE- সম্পূর্ণ হবে না। আমি দৃ strongly়ভাবে বিশ্বাস করি যে আই, সি, এম এর সমস্ত মানের জন্য গেমটি বিশ্লেষণ করা কঠিন নয়। নীচে আমি মি = 1 এর জন্য এটি করি। সুতরাং এখন থেকে ধরা যাক যে কেবলমাত্র একটি মাফিও, এম, এবং গেমগুলি ভূমিকা জিজ্ঞাসা করে শুরু হয় starts এখন এম হয় হয় তদন্তকারী বা নাগরিক দাবি করেছেন। আসুন উভয় কেস পরীক্ষা করা যাক।

মামলা 1: তদন্তকারী দাবি করেছেন এম

যদি i = 0 হয়, তবে সি কমপক্ষে 2 হলে টাউন জিতবে।

যদি i = 1 হয়, তবে সি কমপক্ষে 4 হলে টাউন জিতবে ছোট সংখ্যার জন্য তারা হারাবে কারণ এম প্রতি রাতে একটি নাগরিককে হত্যা করতে পারে।

যদি i = 2 হয়, তবে সি কমপক্ষে 3 হলে টাউন জিতবে alleged অভিযুক্ত তদন্তকারীরা একে অপরকে একটি বিজ্ঞপ্তি ক্রমে জিজ্ঞাসা করতে পারে। এম প্রকাশিত হয় যতক্ষণ না তাদের একজন মারা যায়, সুতরাং তাকে অবশ্যই তদন্তকারীকে হত্যা করতে হবে। এটি আই = 1 কেটে গেমটি হ্রাস করে।

যদি i = 3 হয়, তবে সি কমপক্ষে 1 হলে টাউন জিতবে alleged অভিযুক্ত তদন্তকারীরা একে অপরকে একটি বিজ্ঞপ্তি ক্রমে জিজ্ঞাসা করতে পারে। এম প্রকাশিত হয় যতক্ষণ না তাদের একজন মারা যায়, সুতরাং তাকে অবশ্যই তদন্তকারীকে হত্যা করতে হবে। এখন এম এর জন্য দুটি (সম্ভাব্য) দুটি সম্ভাবনা রয়েছে এবং কমপক্ষে 5 জন লোক রয়ে গেছে, যাতে তারা উভয়কে হত্যা করতে পারে। যদি সি = 0 হয় তবে তারা একে অপরকে কীভাবে জিজ্ঞাসা করে না কেন, এম সর্বদা কাউকে হত্যা করতে পারে এবং লুকিয়ে থাকতে পারে (কেস বিশ্লেষণ করে), সুতরাং টাউনটির কোনও প্রতিরোধমূলক জয় নেই।

যদি i> = 4 হয়, তবে টাউনটি তদন্তকারীরা একে অপরকে বৃত্তাকার ক্রমে জিজ্ঞাসাবাদ করে জিতবে, যেমন i = 3।

কেস ২: এম নাগরিক দাবি করেছেন

এখানে খেলাটি অনেক সহজ, তদন্তকারীরা প্রতি রাউন্ডে বিভিন্ন লোককে জিজ্ঞাসা করে এবং এম তাদের প্রতি রাতে একটি করে হত্যা করে (নাগরিকের চেয়ে তদন্তকারীকে হত্যা করা সবসময় ভাল)। এছাড়াও, কখনও কখনও তারা কোনও নাগরিককে হত্যা করার পক্ষে ভোট দিতে পারে (আসলে, i = 2 এবং c = 1 না হলে এটি করা সর্বদা ঠিক আছে)। পুনরাবৃত্তি ব্যবহারের কারণে, নাগরিকদের নির্দোষ প্রমাণিত করার অনুমতি দেওয়া এবং এন দ্বারা তাদের সংখ্যা চিহ্নিত করা ভাল।

টাউন জিতলে

i = 0, n> = c + 2, i = 1, n> = c + 1, i = 2, n> = c-2, এবং এখান থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি (এবং সহজেই প্রমাণ করতে পারি) আমি সাধারণ শহরটির জন্য জয়যুক্ত হলে এবং কেবল যদি এন> = সি + ২-আই ^ 2। যেহেতু আসল খেলায় শুরুতে কোনও নিরীহ নাগরিক নেই, এর অর্থ হ'ল আমি ^ 2> = সি + 2 হলে টাউন জিতে যায়।

এটি একসাথে রাখছি: যদি আমি <= 2 হয় তবে শহরে কোনও নির্বিরোধী জয় নেই। আই = 3 এর জন্য, টাউন 1 <= সি <= 7 এর জন্য জিতেছে (0 এম হিসাবে তদন্তকারী দাবি করতে পারে এবং সি> = 8 এর পক্ষে, তিনি নাগরিক দাবি করতে পারেন)। I> = 4 এর জন্য সিটি <= i ^ 2-2 এর জন্য টাউন জিতেছে।