বিপরীতমুখী এলোমেলো পদক্ষেপের জন্য সময় এবং বর্ণালী ফাঁক কভার করুন

Question

আমি এমন একটি উপপাদ্য সন্ধান করছি যা এই জাতীয় কিছু বলে: যদি কোনও বিপরীতমুখী মার্কভ চেইনের প্রচ্ছদ সময়টি ছোট হয় তবে বর্ণালীর ফাঁক বড় is এখানে বর্ণালী ফাঁক মানে$1-|\lambda_2|$, যা, আমরা চেইনের ক্ষুদ্রতম এগেনুয়ালুটিকে উপেক্ষা করি।

এই দিকটিতে আমি যে ফলাফলটি খুঁজে পেতে পেরেছি তা হ'ল কভার টাইম , ব্রোডার এবং কার্লিন, এফওসিএস ৮৮ এর সীমানা থেকে। মোটামুটিভাবে বললে, কাগজটি দেখায় যে প্রচ্ছদ সময় হলে এই অনুমানগুলির অধীনে$O(n \log n)$তাহলে $1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$অন্তত হয় ।$n^{-1}$

স্বজ্ঞাতভাবে, এটি খুব প্রশংসাসূচক বলে মনে হয় যে আপনি যদি কোনও গ্রাফের সমস্ত শীর্ষকে দ্রুত coverেকে রাখতে পারেন তবে মিশ্রণের সময়টি ছোট হওয়া উচিত। বিশেষত, যদি আপনি of সময় গ্রাফের সমস্ত শীর্ষকে coverেকে রাখতে পারেন তবে অবশ্যই আপনার বর্ণনামূলক ফাঁকটি রায় দিতে সক্ষম হবেন, বলুন, ?$n^2$$n^{-1000}$

একটি সম্ভাব্য বাধা যা ছোট কভারের সময় এবং বৃহত বর্ণাল ফাঁকির মধ্যে জড়িত অংশটি দ্বিপক্ষীয়তা: দ্বিদলীয় গ্রাফের উপর, আপনার স্থানীয় মূল্য দিয়ে একটি ছোট কভার সময় থাকতে পারে । আমার প্রশ্নে, আমি স্বল্পতম ইগন্যাল্যু উপেক্ষা করে এই বিষয়টিকে বাইপাস করছি।$-1$

Answer 1

মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, মিশ্রণের সময়টি অর্ধেকটি শীর্ষে অবস্থানের সবচেয়ে খারাপ সময় হিট। কভার সময় হ'ল একটি বিরতি দেওয়ার সময় যখন শীর্ষেগুলির সমস্ত উপসেট হিট হয়। অন্য কথায়, এটি মিক্সিং সময়ের চেয়ে সর্বদা বড়। এইভাবে আপনার উদাহরণটি মেশানোর সময় থাকতে পারে না$n^{1000}$ এবং কভার সময় $n^2$।

এই স্বজ্ঞাততাটি নির্ভুলভাবে তৈরি করার জন্য আমাদের কিছুটা যত্নের প্রয়োজন, যেহেতু আমাদের মিশ্র সময়কে ইগুভ্যালু ফাঁক দিয়ে সম্পর্কিত করতে হবে, অর্ধিক কোণটি না নিয়ে আধিক্য স্থিতিশীল বিতরণ করুন $\pi$, ইত্যাদি। এগুলির কোনওটিই কঠিন নয়। লোভাস এবং উইঙ্কলারের এই কাগজটি দিয়ে শুরু করুন , যা মিক্সিং সময়ের উপরের সংস্করণ দেয় এবং এটি সম্পূর্ণ ভিন্নতার সাথে আরও মানক মিশ্রণের সময়টির সাথে সম্পর্কিত।