এই আচ্ছাদন সমস্যা জটিলতা কি?

Question

সম্পাদনা: আমি প্রথমে আমার প্রতিবন্ধকতা (2) ভুল করেছিলাম, এটি এখন সংশোধন করা হয়েছে। আমি আরও তথ্য এবং উদাহরণ যুক্ত করেছি।

কিছু সহকর্মীদের সাথে, কিছু অন্যান্য অ্যালগরিদমিক প্রশ্ন অধ্যয়ন করে আমরা আমাদের সমস্যাটি নীচের আকর্ষণীয় সমস্যার মধ্যে কমিয়ে আনতে সক্ষম হয়েছি, তবে আমরা এর জটিলতার প্রশ্নটি সমাধান করতে সক্ষম হইনি। নিম্নরূপ সমস্যা হয়।

ইন্সটান্স: একটি পূর্ণসংখ্যা , একটি পূর্ণসংখ্যা ট < এন , এবং একটি সেট এস = { { গুলি 1 , T 1 } , ... , { গুলি এন , টি এন } } এর এন জোড়া সেট থেকে { 1 , ... , এন } ।$n$$k<n$$S=\{\{s_1,t_1\},\ldots,\{s_n,t_n\}\}$$n$$\{1,\ldots,n\}$

প্রশ্ন: একটা সেট করা হয় আকারের ট এমন প্রতিটি উপাদানের জন্য আমি এর { 1 , ... , এন } : (1) যদি আমি < এন , ব্যবধান [ আমি , আমি + + 1 ] কিছু ব্যবধান মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা হয় [ এস আই , টি আই ] একটি জুটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে , এবং (২) কমপক্ষে , কিছু জোড়ের অন্তর্ভুক্ত$S'\subseteq S$$k$$i$$\{1,\ldots,n\}$
$i<n$$[i,i+1]$$[s_i,t_i]$আমি আমি + + 1 এস '$S'$
$i$$i+1$$S'$?
(২) কিছু জোড়ায় অন্তর্ভুক্ত ।এস $i$$S'$

উদাহরণ
সেট একটি সম্ভবপর সমাধান (অভিমানী হয় এন এমনকি): যুগল { 1 , এন } যেহেতু অন্য সব জোড়া শর্ত (2) নিশ্চিত করা, শর্ত (1) নিশ্চিত করে।$\{\{i,i+1\}~|~i~\text{ is odd}\}\cup\{1,n\}$$n$$\{1,n\}$

মন্তব্যসমূহ
(আই) যেহেতু প্রতিটি জোড়ের মধ্যে ঠিক দুটি উপাদান থাকে, শর্ত (2) পূরণ করতে আমাদের কমপক্ষে এন প্রয়োজন need জোড়া। বিটিডব্লিউ এর দ্বারা পুরোএসকেফেরত দিয়ে একটি তুচ্ছ 2-অনুমানের বোঝায়, যেহেতু আমরা ধরে নিই| এস| ≤এন।$\frac{n}{2}$$S$$|S|\leq n$

(দ্বিতীয়) সমস্যা দিকে তাকিয়ে আরেকটি পথ সঙ্গে একটি মই বিবেচনা হয় পদক্ষেপ (যেমন এক হিসাবে নিচে ,) একসঙ্গে একটি সেট এস এর এন মই দুষ্টচক্র। মইয়ের প্রতিটি পদক্ষেপ কোনও না কোনও উপাদানের সাথে মিলে যায় এবং প্রতিটি পাশের প্রান্তটি একটি বিরতি [ i , i + 1 ] হয় । সহ পদক্ষেপ একটি চক্র গুলি , T অনুরূপ ঠিক একজোড়া থেকে { গুলি , T } : এটা মধ্যে সব পরপর অন্তর জুড়ে গুলি এবং টন , এবং এটি উভয় এ স্টপ গুলি এবং টন ।$n$$S$$n$$[i,i+1]$$s,t$$\{s,t\}$$s$$t$$s$$t$
প্রশ্ন একটি সেট আছে কিনা তারপর এর ট চক্র যার ইউনিয়ন কভার (ধাপ প্রান্ত এবং পার্শ্ব প্রান্ত সহ) মই সব প্রান্ত।$S'\subseteq S$$k$

(III) যদি কেউ কেবল শর্তের জন্য জিজ্ঞাসা করে (1), সমস্যাটি অতিরিক্ত ক্ষুদ্র অন্তরগুলির সাথে এস এর জোড়গুলির দ্বারা প্রদত্ত অন্তরগুলি [ s i , t i ] থেকে বিভক্ত কিছু অন্তরের গ্রাফের উপর প্রভাবশালী সেট সমস্যার সাথে মিল রাখে [ আমি + + ε , আমি + + 1 - ε ] প্রত্যেকের জন্য আমি এ { 1 , ... , এন - 1 } । এই সমস্যাটি রৈখিক সময়ে শাস্ত্রীয়ভাবে সমাধানযোগ্য (যেমন এখানে দেখুন ) see$[s_i,t_i]$$S$$[i+\epsilon,i+1-\epsilon]$$i$$\{1,\ldots, n-1\}$
একইভাবে, যদি কেউ শর্তের জন্য জিজ্ঞাসা করত (2), তবে এটি প্রান্ত কভার সমস্যাতে হ্রাস করা যেতে পারে (শীর্ষগুলি হ'ল উপাদানগুলি, প্রান্তগুলি জোড়া হয়), এটি সর্বাধিক মিলে যাওয়া পদ্ধতির দ্বারা বহু-কালীন দ্রবণীয়ও।

---

সুতরাং আমার প্রশ্নটি শিরোনামে রয়েছে:

এই সমস্যা কি পি? এটি কি এনপি-সম্পূর্ণ?

অনুরূপ সমস্যার জন্য কোনও রেফারেন্স স্বাগত।

Comments

এটি কোথাও কোথাও হতে পারে… কে জানে যে এটি গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের সমতুল্য হতে পারে না? :)

— সোসোশি ইতো

অবশ্যই, এটিও একটি বিকল্প ... তবে আসলে আমি এই "গন্ধ" পি-তে থাকতে অনুভব করি - কারণ এটি আশা করি বলেই হতে পারে :)

— ফ্লোরেন্ট ফৌকড

যে কোনও সম্ভাব্য সমাধানের আকার অবশ্যই ? আপনি, দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন জোড়াগুলির সেট1[1,n-1],[2,n]fe সম্ভব নয় কেন? $\geq \frac{n}{2}$$[1, n-1], [2, n]$

— এইচবিএম

@ এইচবিএম: আপনি যে সমাধানটি প্রস্তাব করছেন তা শর্তটি পূরণ করে না (২) (এমনকি আমার আপডেটের আগে সীমাবদ্ধতার সাথেও)। আমি এখন আরও ব্যাখ্যা অন্তর্ভুক্ত করেছি, আমি আশা করি এটি আরও পরিষ্কার হয়ে গেছে।

— ফ্লোরেন্ট ফাউডাউড

কে = এন / 2 সম্পর্কে কী? আমরা কি এই বিশেষ ক্ষেত্রে সমস্যার সমাধান করতে পারি?

— ডোমোটরপ

Answer 1

যদিও এটি আপনার উত্থাপিত প্রশ্নটির সমাধান করে না, পূর্ববর্তী কয়েকটি মন্তব্য প্রায় অনুসারে আলগোরিদিম বিবেচনা করে। এফডাব্লুআইডাব্লু, আমি মনে করি গতিশীল প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে একটি পিটিএএস (বহু-সময়ের আনুমানিক পরিকল্পনা) সম্ভব। এখানে ধারণা।

যে কোনও উদাহরণ দেওয়া হয়েছে এবং , নীচে একটি সমাধান তৈরি করুন। প্রতিটি ( 1 / ϵ ) 'তম শীর্ষটি চিহ্নিত করুন। প্রতিটি প্রান্তবিন্দু হিসাবে চিহ্নিত করার জন্য আমি প্রান্ত সব থেকে ( ঞ , ট ) যে "বিঘত" আমি (অর্থাত, যে জন্য বাধ্যতা (1) সন্তুষ্ট আমি ), একটি প্রান্ত যে ছোট চয়ন ঞ এবং এক যে ছোট maximizes ট । সমাধানগুলিতে এই 2 ϵ n প্রান্ত যুক্ত করুন।$\epsilon > 0$$(1/\epsilon)$$i$$(j,k)$$i$$i$$j$$k$$2 \epsilon n$

এই প্রান্তগুলি বহু অংশের জন্য (1) ধরণের সীমাবদ্ধতাগুলি পূরণ করে। ইতিমধ্যে তারা প্রান্তটি সমাধানে অবদান রাখে , যা কেবলমাত্র O ( ϵ OPT ) । শেষ করতে, আমরা প্রান্তগুলির একটি সেট খুঁজে বের করার অবশিষ্ট সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান খুঁজে পাব যা সমস্ত অবশিষ্ট প্রকার (1) এবং টাইপ (2) সীমাবদ্ধতা পূরণ করে।$2n\epsilon$$O(\epsilon \mbox{OPT})$

শীর্ষে অবস্থিত একটি "ব্লক" সংজ্ঞায়িত করুন ধারাবাহিক উল্লম্বের একটি সেট যা এর ধরণের (1) সীমাবদ্ধতা এখনও পর্যন্ত যুক্ত প্রান্তগুলি দ্বারা পূরণ করা হয়। যে কোনও দুটি টানা অবরুদ্ধ ব্লকের মধ্যে, এমন একটি অনুক্রমের ক্রম রয়েছে যার প্রকারের (1) সীমাবদ্ধতা পূরণ হয় না। (এই জাতীয় যে কোনও অনুক্রমের দৈর্ঘ্য সর্বাধিক , কারণ চিহ্নিত উল্লম্বগুলি তাদের প্রকারের (1) সীমাবদ্ধতা ইতিমধ্যে যুক্ত প্রান্তগুলি দ্বারা পূরণ করা হয়েছে)) এই জাতীয় কোনও ক্রম দুটি সংলগ্ন ব্লকের একটি "প্রতিবেশ" বলুন (সুতরাং প্রতিটি ব্লকের একটিতে একটি রয়েছে এর বাম দিকে এবং তার ডানদিকে একটি পাড়া)।$1/\epsilon$

প্রতিটি পাড়া মধ্যে, পাড়া প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য, প্রতিটি প্রান্ত প্রান্তবিন্দু ধারন অধিকাংশ সময়ে একটি দূরত্ব রেখে (কারণ প্রান্ত কোনো চিহ্নিত প্রান্তবিন্দু জুড়ে না)। সুতরাং, প্রান্তবিন্দু সর্বাধিক ডিগ্রী আছে 1 / ε । সুতরাং, প্রতিটি প্রতিবেশীর সর্বাধিক 1 / ϵ শীর্ষ কোণ রয়েছে এবং সর্বাধিক 1 / ϵ 2 প্রান্তগুলি স্পর্শ করে । এই প্রান্তগুলির যে কোনও উপসেটকে আশেপাশের "কনফিগারেশন" বলুন। যদি কোনও কনফিগারেশন সমস্ত ধরণের (1) পূরণ করে এবং প্রতিবেশে অবস্থিত শিকাগুলির জন্য (2) সীমাবদ্ধতাগুলি টাইপ করে তবে কনফিগারেশনটিকে "বৈধ" বলুন।$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon^2$

প্রতিটি ব্লকের জন্য , ব্লকের দুটি পাড়াগুলির বৈধ কনফিগারেশনের প্রতিটি জোড়ার জন্য ( সি আই , সি আই + 1 ) গণনা করুন (বহুপক্ষীয় সময়ে, সর্বাধিক মিলে যাওয়া ইত্যাদি ব্যবহার করে), সর্বনিম্ন আকার এফ আই ( সি আই , সি আই +) 1 ) প্রান্তের যে কোনও সেট এস (যদি বিদ্যমান থাকে) যেমন সি আই ∪ এস ∪ সি আই + 1 এর প্রান্তগুলি ব্লকের শীর্ষকোষের জন্য টাইপ (2) সীমাবদ্ধতার সাথে মিলিত হয়। যেহেতু সর্বাধিক 2 $i$$(C_i, C_{i+1})$$F_i(C_i,C_{i+1})$$S$$C_i\cup S \cup C_{i+1}$কনফিগারেশনগুলি, এটি বহুপক্ষীয় সময়ে (ফিক্সড ইপিএসের জন্য) করা যেতে পারে। $2^{1/\epsilon^2} = O(1)$

এখন আপনি সিকোয়েন্সটি খুঁজে বের করে আসল উদাহরণটি সমাধান করতে পারেন । । , বৈধ কনফিগারেশনের ডি কে , প্রতিটি পাড়ার জন্য একটি, যা im i | হ্রাস করে ডি আই | + F i ( D i , D i + 1 ) , যেখানে F i পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বর্ণিত হয়েছে। এই মূল্য একজন প্রান্ত সঙ্গে, গ্রাফ সকল বৈধ কনফিগারেশন দ্বারা গঠিত একটি সংক্ষিপ্ত পথ খোঁজার দ্বারা করা সম্ভব | ডি আই | $D_1, D_2, .., D_k$$\sum_i |D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$F_i$ প্রতিটি কনফিগারেশন থেকে ডি আমি আশপাশ জন্য আমি প্রতিটি কনফিগারেশনে ডি আমি + + 1 আশপাশ জন্য আমি + + 1 । (এই গ্রাফ আকার হে ( 2 1 / ε 2 এন ) , যা হে ( ঢ ) সংশোধন করা হয়েছে জন্য ε ।)$|D_i| + F_i(D_i, D_{i+1})$$D_i$$i$$D_{i+1}$$i+1$$O(2^{1/\epsilon^2} n)$$O(n)$$\epsilon$

Comments

খুশী হলাম। এবং cstheory স্বাগতম!

— সুরেশ ভেঙ্কট

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, নিল (এবং দুঃখিত, আমার এটি আগে যাচাই করার সময় ছিল না)! যদিও এটি আমার প্রশ্নের পুরোপুরি উত্তর দেয় না, এটি এখনও এক ধাপ এগিয়ে। মাত্র দুটি মন্তব্য: আমি মনে করি এটি "মিনিমাইজ কে" (২ য় অনুচ্ছেদ) এর চেয়ে "সর্বাধিক কে" হওয়া উচিত। এছাড়াও, ভালো হবে যদি এক একটি (চায় ) -approximation, এক চিহ্নিত করা উচিত যে ট = 4 / ε 'ম প্রান্তবিন্দু (যেহেতু হে পি টি ≥ এন / 2 এবং তখন আমরা নিতে 2 এন / ট ≤ ε হে পি টি প্রথম ধাপে প্রান্ত)। $1+\epsilon$$k=4/\epsilon$$OPT\geq n/2$$2n/k\leq\epsilon OPT$

— ফ্লোরেন্ট ফৌকাড