গডেলের বক্তব্যটির পুনরাবৃত্তিমূলক ফর্মগুলি কি সম্ভব?

Question

পি / এনপি সমস্যার স্ব-রেফারেন্সিয়ালিটিটিকে মাঝে মাঝে এর সমাধানের প্রতিবন্ধক হিসাবে তুলে ধরা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, স্কট অ্যারনসনের কাগজ, পি বনাম এনপি কি আনুষ্ঠানিকভাবে স্বাধীন ? পি / এনপি-র অনেকগুলি অনুমেয়যোগ্য রেজোলিউশনের একটি হ'ল একটি বিক্ষোভ হবে যে সমস্যাটি জেডএফসি থেকে আনুষ্ঠানিকভাবে স্বতন্ত্র বা সত্য তবে অপ্রতিরোধ্য।

এটা অনুমেয় যে সমস্যার স্ব-প্রাসঙ্গিকতা স্বাধীনতার প্রমাণগুলিতে একটি গভীর চ্যালেঞ্জ তৈরি করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যদি এর সম্ভাব্যতা সম্পর্কে বিবৃতিগুলি নিজেরাই অপ্রতিরোধ্য বা অন্যথায় যুক্তিযুক্ত অসম্ভব হয়।

ধরুন আমরা যদি কোনও উপপাদ্য টি গডেল_0 বলে থাকি তবে এটি যদি গডেলের উপপাদ্যটি বিবেচনা করে সত্য তবে অভাবনীয় হয়। "T is Godel_0" বিবৃতিটি যদি সত্য হয় তবে তা অসম্পূর্ণযোগ্য হলে টি Godel_1 কে কল করুন। "টি গডেল _ {(আই -১) statement উক্তিটি সত্য হলে টি গডেল_আইকে কল করুন।

আমরা জানি যে Godel_0 বিবৃতি বিদ্যমান এবং কয়েকটি নিদর্শন "বন্যের মধ্যে" পাওয়া গেছে যা এই নিবন্ধে যেমন এই উদ্দেশ্যে স্পষ্টভাবে নির্মিত হয়নি ।

---

আমার প্রশ্ন হ'ল: এখানে কোনও গডেল_1 বিবৃতি বা উচ্চতর কি আছে? এই জাতীয় বিবৃতিগুলি কি গডেলের উপপাদ্যের প্রাকৃতিক পরিণতি?

একটি বিবৃতি সম্পর্কে যা আমরা একেবারে কিছুই প্রমাণ করতে পারি না: অর্থাত্, প্রতিটি কে <0 এর জন্য টি, গডেল_ কে?

আমি আনুষ্ঠানিক স্বাধীনতার জন্য একটি সাদৃশ্যমূলক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারি, যদিও আমার সন্দেহ আছে যে উত্তরটি সেখানে "না" আছে।

পি বনাম এনপি প্রশ্নে ফিরে আসতে, আমাকে জিজ্ঞাসা করতে দাও যে গডেলের উপপাদ্যটি বর্গ বিচ্ছিন্নতার প্রশ্নগুলির সাথে প্রাসঙ্গিক কিনা a জটিলতার ক্লাসগুলির সাথে সম্পর্কিত কোনও সত্য কিন্তু অপ্রতিরোধ্য বক্তব্যকে চিহ্নিত করা হয়েছে - অবশ্যই, থামানো সমস্যা এবং গডেলের উপপাদ্যের মধ্যে সুস্পষ্ট সংযোগ?

Comments

এটি এমও-তে লজিস্টদের জন্য আরও উপযুক্ত হতে পারে - যদি এটি হয় তবে নির্দ্বিধায় নির্দ্বিধায়।

— আনন্দ কুলকারনী

Answer 1

অন্যরা যেমন উল্লেখ করেছে, আপনার প্রশ্নের বিবৃতি নিয়ে কিছু প্রযুক্তিগত সমস্যা রয়েছে। এগুলি সোজা করার জন্য, আসুন যোগ্যতা ছাড়াই "অপ্রতিরোধ্য" শব্দের ব্যবহার এড়িয়ে শুরু করা যাক এবং আপনার বিবৃতি টিটি কোন অক্ষরের সেট থেকে অপ্রতিরোধ্য বলে মনে করা হচ্ছে সে সম্পর্কে স্পষ্ট হয়ে উঠুন। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক যে আমরা টি স্টেটমেন্টগুলিতে আগ্রহী যেগুলি পিএ থেকে অপ্রতিরোধ্য, প্রথম-আদেশের পেরানো পাটিগণিতের অণুজীব।

প্রথম বিরক্তিটি হ'ল "টি সত্য সত্য" পাটিগণিতের প্রথম-আদেশের ভাষায় তারস্কির উপপাদ্য দ্বারা প্রকাশযোগ্য নয়। আমরা গাণিতিক বক্তব্যটির সত্যতা সংজ্ঞায়িত করার পক্ষে যথেষ্ট শক্তিশালী এমন একটি মেটাথেরিতে কাজ করে এটি পেতে পারি, তবে আমি মনে করি আপনার উদ্দেশ্যগুলির জন্য এটি গ্রহণ করা অযথা জটিল পথ। আমি মনে করি আপনি প্রতি সত্যের প্রতি এতটা আগ্রহী নন তবে সম্ভাব্যতার প্রতি। এটি হ'ল, আমি সন্দেহ করি যে টিএর সত্যতা থাকলেও তিনি পিএতে অপ্রতিরোধ্য, তবে টি কে গডেল_1 বলে সংজ্ঞায়িত করে সন্তুষ্ট হবেন, এবং টি পিএতে অপ্রতিরোধ্য, তবে "টি পিএতে অপ্রতিরোধ্য," পিএতে অপ্রতিরোধ্য, এবং টি কে গডেল 2 হতে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি টি পিএতে অপ্রতিরোধ্য হয় এবং "টি পিএতে অভাবনীয় হয়" পিএতে অপ্রতিরোধ্য হয় তবে "'টি পিএতে অপ্রতিরোধ্য হয়" পিএতে অপ্রতিরোধ্য হয় "ইত্যাদি, আমরা এইভাবে করি না'

এটি আপনার প্রশ্নটিকে সুনির্দিষ্ট করে তুলতে যথেষ্ট, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে একটি বরং তুচ্ছ সমাধান রয়েছে। টি = নিন "PA সামঞ্জস্যপূর্ণ" " তারপরে টি সত্য কারণ PA সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং টি Goedel এর 2 য় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য দ্বারা পিএ তে অভাবনীয়। তদ্ব্যতীত, "টি পিএ তে অভাবনীয়" কিছুটা নির্লজ্জ কারণে পিএতেও অপ্রতিরোধ্য হয়: "এক্স পিএর ক্ষেত্রে অপ্রতিরোধ্য" ফর্মের কোনও বিবৃতি পিএতে অপ্রতিরোধ্য হয় কারণ "এক্স পিএতে অপ্রতিরোধ্য হয়" তুচ্ছভাবে বোঝায় "পিএ সামঞ্জস্যপূর্ণ "(যেহেতু অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমগুলি সমস্ত কিছু প্রমাণ করে )। সুতরাং টি সমস্ত এন এর জন্য Godel_n, কিন্তু আমি সত্যিই এটি আপনার উদ্দেশ্য প্রশ্নে আসে না।

এই জাতীয় তুচ্ছতা এড়ানোর জন্য আমরা আপনার প্রশ্নটিকে "প্যাচ" দেওয়ার চেষ্টা করতে পারি, তবে পরিবর্তে আমাকে আপনার অভিপ্রায়িত প্রশ্নটি কী বলে মনে করার চেষ্টা করার চেষ্টা করি। স্পষ্টতই, আমি বিশ্বাস করি যে আপনি মনস্তাত্ত্বিক অসুবিধায় একটি উপপাদ্য প্রমাণের জন্য প্রয়োজনীয় যৌক্তিক শক্তিকে বিভক্ত করছেনএটি প্রমাণ করার। এটি হ'ল, আপনি "T টি এক্স মধ্যে অপরিবর্তনীয়" ফর্মের একটি ফলাফলটি ব্যাখ্যা করে বলেছেন যে টি কোনওভাবে আমাদের বুঝতে সক্ষমতার বাইরে। এই রাক্ষসী অনুমানগুলি এখানে আছে এবং আমরা মানুষকে পিএ-হুইপস বা জেডএফসি-হুইপস বা তাদের কীভাবে হিংস্র জন্তুদের কাছে রেখার চেষ্টা করছি তাদের শাস্তি দেব। তবে আমি মনে করি না যে "X টি টি টি অপ্রতিরোধ্য, এক্স এর অর্থ" হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত, "টি সম্পর্কে তর্ক করা অসম্ভব" " বরং এটি টি সম্পর্কে একটি নির্দিষ্ট প্রযুক্তিগত সম্পত্তি পরিমাপ করছে, এটির যৌক্তিক শক্তি। সুতরাং আপনি যদি ওবার-দানব নিয়ে আসার চেষ্টা করছেন, আমি মনে করি না যে এমন কিছু সন্ধান করা যা কেবল অভাবনীয় নয়, তবে যার অযোগ্যতা ইত্যাদি অপ্রতিরোধ্য, সেগুলি সঠিক দিকনির্দেশনা।

অবশেষে, জটিলতা শ্রেণীর পৃথকীকরণের সাথে অপ্রতিরোধ্যতাটি আদৌ সম্পর্কিত কিনা তা সম্পর্কে আপনার প্রশ্নের বিষয়ে, আবদ্ধ গাণিতিকের নির্দিষ্ট সিস্টেমে কম্পিউটেশনাল ইন্ট্র্যাকটেবিলিটি এবং অপ্রাপ্তির মধ্যে কিছু সংযোগ রয়েছে। এর কিছু কাগজটিতে আ্যারনসন উল্লেখ করেছেন যে আপনি উদ্ধৃত করেছেন; প্রুফ কমপ্লেক্সটির লজিকাল ফাউন্ডেশনসের কুক এবং এনগুইনের বইটিও দেখুন ।

Comments

প্রকৃতপক্ষে, আপনার তুচ্ছ উদাহরণটি সমস্যার সমাধান করে এবং আমি এটি দেখতে পেয়ে খুব খুশি হয়েছি যে এর এত সরল রেজোলিউশন হয়েছিল - আমার সন্দেহ হয়েছিল যে এই জাতীয় বক্তব্য সম্ভবত সমতুল্য। তবে আমি কেবল যৌক্তিক শক্তিতেই আগ্রহী, জিনিসগুলি সম্পর্কে প্রমাণ বা যুক্তির মানসিক অসুবিধা নয়। আমার প্রশ্নের উদ্দেশ্যটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল, "কোনও বিবৃতি অপ্রত্যাশিত দেখানোর চেয়ে কোনও বক্তব্যের অপ্রতিরোধ্যতার অযোগ্যতা প্রদর্শন করা কি কখনও আনুষ্ঠানিকভাবে শক্ত?" আপনার উদাহরণটি উত্তরটি "না" বলে মনে হচ্ছে।

— আনন্দ কুলকারনী

আমি আপনার পুনঃব্যবহৃত প্রশ্নটি পুরোপুরি বুঝতে পারি না, কারণ আপনি এখনও যোগ্যতা ছাড়াই "অপ্রতিরোধ্য" শব্দটি ব্যবহার করছেন। টি 1 টি এক্স 1-এ অপ্রতিরোধ্য। তারপরে "টি 1 এক্স 1 এ অপ্রতিরোধ্য হয়" (এই বিবৃতিটি টি 2 কল করুন) কিছু সিস্টেমে প্রযোজ্য, অন্যকে নয়। আপনি কি এক্স 1 এর মধ্যে টি 2 এর (আন) প্রবণতা সম্পর্কে আগ্রহী বা অন্য কোনও সিস্টেম এক্স 2 তে আগ্রহী? যদি দ্বিতীয়টি হয়, তবে সাধারণভাবে সেখানে সিস্টেম এক্স 3 উপস্থিত থাকবে যা টি 2 প্রমাণ করে তবে "টি 2 এক্স 2 তে প্রবর্তনযোগ্য নয়।"

— টিমোথি চৌ চৌ

Answer 2

Godel_1 এর সংজ্ঞা সম্পর্কে আমি এতটা নিশ্চিত নই। আপনি কি আরও কিছুটা আনুষ্ঠানিক করার চেষ্টা করতে পারেন?

"T is Godel_0" সূত্রটি কীভাবে আপনি এনকোড করতে পারেন? তার জন্য আপনাকে কোনওভাবে এনকোড করতে হবে যে প্রমাণের ধারণাটি উল্লেখ না করেই "টি শব্দার্থগতভাবে সত্য"। তুমি কিভাবে অমনটা করতে পারলে?

Comments

দুর্দান্ত পয়েন্ট। সত্যের ধারণাটি একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ "যথেষ্ট শক্তিশালী" যুক্তি দিয়ে এনকোড করা অসম্ভব।

— রিপার 234

আপনার পরামর্শ অনুসারে, আমি এতটা নিশ্চিত নই যে সত্য এবং সম্ভাব্যতার স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত ধারণাগুলি ছাড়াই বিবৃতিটি আনুষ্ঠানিক হতে পারে। আমি অনুমান করি যে এটি অনানুষ্ঠানিক অর্থে আমি কী বোঝাতে চাইছি: একটি বিবৃতি টি গডেল_1 যদি "টি সত্য, তবে অপ্রতিরোধ্য" বিবৃতিটি সত্য তবে অপ্রতিরোধ্য। যদি গোডেলের বাক্যটি যদি স্বল্পভাবে হয় তবে "এই উপপাদ্যের কোনও প্রমাণ নেই", তবে একটি গডেল_1 বাক্য হতে পারে, "এই উপপাদকের কোনও প্রমাণ নেই 'এই উপপাদ্যের কোনও প্রমাণ উপস্থিত নেই"। "এটি সঠিক ধারণাটি পুরোপুরি গ্রহণ করে না। ভেতরের বিবৃতির সত্য হচ্ছে, তবে।

— আনন্দ কুলকার্নি

Answer 3

Godel_n বিবৃতি প্রতিটি এন এর জন্য বিদ্যমান। জর্জ বুলোসের একটি বই অসম্প্র্যাবিলিটি অব কনসেসটেন্সি সম্পর্কে আপনার আগ্রহী হতে পারে। তিনি একটি মোডাল যুক্তি সংজ্ঞায়িত করেছেন যার মধ্যে বক্সের অর্থ "প্রমাণযোগ্য," ডায়মন্ডের অর্থ "সামঞ্জস্যপূর্ণ" এবং তারপরে গডেল-টাইপের বাক্যগুলির আচরণ তদন্ত করতে এগিয়ে যায়। (তিনি একটি লগনিক অফ প্রব্যাবিলিটিও অনুসরণ করেছিলেন)

Comments

আপনি কি বুলোসের ফলাফল সম্পর্কে বিস্তারিত বলতে পারবেন? তিনি কি প্রমাণ করেন যে এই জাতীয় বক্তব্য রয়েছে?

— আনন্দ কুলকারনী

আহা। আমি প্রথম বইটি পড়েছিলাম, দ্বিতীয়টি নয়, এটি মিলিয়ন বছর আগে যখন আমি ভেবেছিলাম যখন আমি বড় হয়েছি তখন যুক্তি করব। এমনকি আমার বইয়ের অনুলিপি একটি বইয়ের দোকানে বিক্রি করে দিয়েছি। আমি এটি এখানে লাইব্রেরিতে আছে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখতে পারি। আমি যদি আবার এটি তাকাই তবে আমি সম্ভবত যুক্তিসঙ্গত দ্রুত জিনিসগুলি মনে করতে পারি। যদিও কোন প্রতিশ্রুতি নেই, এবং দুঃখিত আমি আরও সাহায্য করি না।

— অ্যারন স্টার্লিং