কার্ড গেম বিজয়ীর একটি সরলীকৃত সংস্করণ

Question

আমি ম্যাথওভারফ্লোতে এই সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করেছি , কোনও সন্তোষজনক উত্তর ছাড়াই।

নিম্নলিখিত দুই খেলোয়াড়ের খেলাটি বিবেচনা করুন, যা বিজয়ী নামক কার্ড গেমটির সরলীকরণ । (ম্যাথওভারফ্লোতে গিলিয়াম ব্রুনেরির একটি মন্তব্য থেকে নিম্নলিখিত সূত্রটি নেওয়া হয়েছিল))

এ এবং বি দুটি খেলোয়াড় রয়েছে প্রতিটি খেলোয়াড়ের কার্ডের সেট থাকে (একটি উপসেট) $\{1,\dots,n\}$), উভয় প্লেয়ারের থেকে দৃশ্যমান। গেমের উদ্দেশ্যটি তার নিজের কার্ডগুলি থেকে মুক্তি পাওয়া। প্রথম প্লেয়ারটি টেবিলে কোনও কার্ড খেলেন, তারপরে অন্য খেলোয়াড়কে অবশ্যই (কঠোরভাবে) আরও বড় কার্ড খেলতে হবে এবং যতক্ষণ না কোনও খেলোয়াড় খেলতে বা পাস করার সিদ্ধান্ত না নেয়। তারপরে টেবিলের কার্ডগুলি বাতিল করে দেওয়া হবে, এবং অন্য খেলোয়াড়টি কোনও কার্ড খেলে আবার শুরু করুন (যা একটি বৃহত্তর কার্ড অনুসরণ করবে)। এবং তাই এই পর্যন্ত দু'জন খেলোয়াড়ের মধ্যে কার্ডের বাইরে চলে যাওয়া এবং গেমটি জিততে হবে।

আমি খেলোয়াড়দের জন্য সেরা কৌশল জানতে চাই (যদি সে জিততে পারে)।

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা

দ্বারা চিহ্নিত করুন $w(i,A,B)$ গেমটির কনফিগারেশন যেখানে প্রথম প্লেয়ারের কার্ডের সেট রয়েছে $A$দ্বিতীয় প্লেয়ারের কার্ডের সেটটি $B$, এবং টেবিলের বৃহত্তম কার্ড $i$, কোথায় $i=0$তার মানে টেবিলে কোনও কার্ড নেই। আমি গণনা করতে একটি অ্যালগরিদম চাই, দেওয়া$i,A,B$, কনফিগারেশনে প্রথম খেলোয়াড়ের বিজয়ী কৌশল রয়েছে কিনা $w(i,A,B)$।

সাধারণভাবে, আমি ফাংশনটি গণনা করতে একটি অ্যালগরিদম চাই m $f$ নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত:

দিন $\mathbb{Z}_n = \left\{1, 2, \cdots, n\right\}$, $\mathrm{Bool} = \left\{\mathrm{False}, \mathrm{True}\right\}$।

ক্রিয়া $f:\;\left\{ 0, 1, \cdots, n \right\} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \times 2^{\mathbb{Z}_n} \to \mathrm{Bool}$

কোথায়

$$f ( i, A, B ) = \begin{cases} \mathrm{False} & B = \emptyset \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land \exists j \in A: j > i, f(j, B, A - \left\{j\right\}) = \mathrm{False} \\ \mathrm{True} & B \ne \emptyset \land f(0, B, A) = \mathrm{False} \\ \mathrm{False} & \textrm{otherwise} \end{cases}$$

ভুল কৌশল

এখানে কিছু ভুল কৌশল রয়েছে:

1. সর্বদা সবচেয়ে ছোট কার্ড খেলুন। দিন$n = 3, A = \{1,3\}, B = \{2\}$, কনফিগারেশনে প্লেয়ার এ জন্য বিজয়ী কৌশল $w(0, A, B)$ কার্ড খেলতে হয় $3$। প্লেয়ার এ খেললে কার্ড 1, তিনি হারাবেন।
2. অন্য খেলোয়াড়ের কেবল একটি কার্ড না থাকলে সবচেয়ে ছোট কার্ডটি খেলুন। এটি কৌশল 1 এর চেয়ে শক্তিশালী কৌশল, তবে এটিও ভুল। শুধুমাত্র কনফিগারেশন সম্পর্কে চিন্তা করুন$w(0, \{1, 4, 6, 7\}, \{2, 3, 5, 8\})$। যদি প্লেয়ার এ কৌশল 2 ব্যবহার করে তবে সে হারাবে:$1\rightarrow2\rightarrow4\rightarrow5\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\textrm{pass}\rightarrow3$, এইভাবে প্লেয়ার একটি হেরে।

Comments

এই প্রশ্নটি আকর্ষণীয় তবে দয়া করে এটি যথাসম্ভব পাঠযোগ্য করার চেষ্টা করুন। উদাহরণস্বরূপ, "আমি মনে করি এটি এমন একটি যা প্লেয়ারের জানা উচিত ..." অংশ সহ, যা আপনার প্রশ্নের ধারণা থেকে আলাদা এবং এটি কেবল পাঠকদের বিভ্রান্ত করতে পারে including এছাড়াও, দয়া করে তিনটির প্রথম সূত্রটি সরিয়ে নেওয়ার বিষয়টি বিবেচনা করুন: দ্বিতীয় সূত্রটি একটি স্বজ্ঞাত ধারণা দেয়, তৃতীয়টি একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দেয়, এবং আমি মনে করি না যে প্রথমটি কোনও উদ্দেশ্য করে।

— Tsuyoshi Ito

সম্ভবত এটি বিশ্লেষণের সর্বোত্তম উপায় হ'ল এমন একটি প্রোগ্রাম লিখুন যা কোনও অবস্থানের জন্য অনুকূল চালগুলি খুঁজে বের করে এবং নিদর্শনগুলি সন্ধান করে। এই গেমটির একটি দুর্দান্ত কৌশল হওয়া উচিত এমন কোনও প্রাথমিক কারণ নেই ।

— পিটার শোর

আমি একটি কৌশল স্বল্প সংখ্যক কার্ড নিয়ে শুরু করব এবং সেখান থেকে কাজ করব। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রতিটি খেলোয়াড়ের 2 টি কার্ড থাকে তবে যেকোন খেলোয়াড়ের পরবর্তী টার্নটি নির্বিশেষে যে কোনও খেলোয়াড়ের সর্বোচ্চ কার্ড জিতেছে। তিনি সর্বোচ্চ কার্ড খেলেন, অন্য খেলোয়াড়কে অবশ্যই পাস করতে হবে, তারপরে সে তার শেষ কার্ডটি খেলবে।

— জো

পোস্টস্ক্রিপ্ট 1 অনুসরণ করার জন্য কি কেউ আমাকে জিবি-র ডিক্রিপশন পুনর্নির্মাণ করতে সহায়তা করতে পারে? আমি দুঃখিত যে আমি কোনও স্থানীয় বক্তা নই এবং এ জাতীয় জটিল গেমের বর্ণনা দেওয়া আমার যোগ্যতার বাইরে।

— ইয়েফফাহ

@ শুয়োশি: প্লেয়ার এ যদি সর্বদা ক্ষুদ্রতম কার্ড খেলেন, প্লেয়ার বি জিতেন। যদি প্লেয়ার এ কার্ডটি 1 খেলেন এবং সর্বদা ক্ষুদ্রতম কার্ড না খেলেন তবে প্লেয়ার এ জিততে পারে। এর অর্থ এই যে কৌশল 2 এর সর্বদা জয়ের পক্ষে একটি ছোট কাউন্টারিক্স নমুনা রয়েছে।

— পিটার শোর

Answer 1

এটি সম্ভবত একটি মন্তব্য হওয়া উচিত, তবে এটি খুব দীর্ঘ।

জেফ কান, জেফ লাগারিয়াস এবং হান্স উইটসেনহাউসনের সাথে সম্পর্কিত একটি খেলা অধ্যায়, একক-স্যুট দ্বি-ব্যক্তি কার্ড খেলুন I, II, III, এবং লস্করের কার্ড গেমের ধারাবাহিকতায় was তারা যে গেমটি অধ্যয়ন করেছে, প্রতিটি খেলোয়াড়ের রয়েছে$n$ কার্ড, থেকে ডিল $2n$ নম্বরযুক্ত কার্ড $1$ $\ldots$ $2n$। প্রতিটি কৌশল দুটি কার্ড নিয়ে গঠিত, উচ্চতর কার্ডটি কৌশলটি জিততে এবং বিজয়ী নেতৃত্ব দেয়। অবজেক্টটি সবচেয়ে কৌশল অবলম্বন করা হয়।

তারা অনুকূল কৌশল সম্পর্কে বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় তথ্য প্রমাণ করেছেন, তবে অনুকূল খেলার জন্য একটি কার্যকর অ্যালগরিদম খুঁজে পেতে পারেন নি এবং এটি এনপি-হার্ড প্রমাণ করতেও অক্ষম ছিলেন।

দু: খজনক গেমের জন্য, যেখানে প্রতিটি ব্যক্তি কয়েকটি সংখ্যক কৌশল অবলম্বন করার চেষ্টা করে, তারা অনুকূল কৌশলটি দিতে সক্ষম হয়েছিল।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এই ফলাফলগুলি প্রথমে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রামের ফলাফলগুলি দেখে নেওয়া হয়েছিল যা ছোট উদাহরণগুলির জন্য অনুকূল কৌশল খুঁজে পেয়েছিল, তারপরে অনুমানগুলি প্রাপ্ত করার জন্য নিদর্শনগুলি অনুসন্ধান করেছিল এবং শেষ পর্যন্ত এই অনুমানগুলি প্রমাণ করে। আমি সন্দেহ করি যে এটি ওপি এর গেমটি গ্রহণের জন্য কার্যকর ফলও হবে।