ম্যাট্রিক্স গুণনের গুণগত জটিলতা

আমি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্সের গুণনের গুণগত জটিলতার তথ্য অনুসন্ধান করছি। উইকিপিডিয়া যে গুন জটিলতা দ্বারা হয় (পাঠ্যপুস্তক গুণ)। $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$ $O(mnp)$

আমি একটি মামলা যেখানে আছে এবং তুলনায় অনেক ছোট , এবং আমি রৈখিক বেশী ভালো জটিলতা পেতে আশা করছিলাম , উপর নির্ভরতা তৈরীর ব্যয় উপর এবং রৈখিক চেয়ে খারাপ। $m$ $n$ $p$ $p$ $m$ $n$

কোন ধারনা?

ধন্যবাদ।

নোট: কারণ আমি এটা সম্ভব জন্য প্রত্যাশী করছি কিউবিক নির্ভরতা কম সুপরিচিত ফলাফলের কারণ যদি (যখন ম্যাট্রিক্স সব স্কোয়ার আছে)। $p$ $m=n=p$

— জিজ্ঞাসু
সূত্র

একটি (অনুক্রমিক) অ্যালগরিদমের জটিলতা তার আউটপুট আকারের চেয়ে ছোট হতে পারে না। আপনার সমস্যার জন্য আপনি ইনপুট এবং আউটপুট উপস্থাপন করতে পারেন যা পিতে সাবলাইনার রয়েছে?

— কলিন ম্যাককুইলান

উপাদানগুলি বেশিরভাগ ননজারো বা প্রায়শই শূন্য হয়? অর্থাত্ স্পারস? এটি অবশ্যই বিভিন্ন অপ্টিমাইজেশনের দিকে নিয়ে যায়। এছাড়াও দেখে মনে হচ্ছে এসভিডি [একক মান পচন] আনুমানিকতার উল্লেখ করে বর্তমান প্রতিক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে প্রাসঙ্গিক হতে পারে।

— vzn

কপারস্মিথ শো যে কিছু জন্য শাস্ত্রীয় কাজ , এক একটি সংখ্যাবৃদ্ধি করতে পারেন একটি সঙ্গে ম্যাট্রিক্স মধ্যে ম্যাট্রিক্স গাণিতিক অপারেশন। এটি রায়ান উইলিয়ামসের সাম্প্রতিক উদযাপিত ফলাফলের একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। $\alpha > 0$ $n \times n^\alpha$ $n^\alpha \times n$ $\tilde{O}(n^2)$

ফ্রাঙ্কোইস লে গল সম্প্রতি কপারস্মিথের কাজের উন্নতি করেছে এবং তার কাগজটি সবেমাত্র FOCS 2012 এ স্বীকৃত হয়েছে this এই কাজটি বোঝার জন্য আপনার বীজগণিত সংক্রান্ত জটিলতার তত্ত্ব সম্পর্কে কিছু জ্ঞানের প্রয়োজন হবে। ভার্জিনিয়া উইলিয়ামসের কাগজে কিছু প্রাসঙ্গিক পয়েন্টার রয়েছে। বিশেষত, কপারস্মিথের কাজটি পুরোপুরি বিবরণিত হয়েছে বীজগণিত কমপ্লেক্সিটি থিওরিতে ।

কাজের একটি ভিন্ন স্ট্র্যান্ড প্রায় গুণমানের ম্যাট্রিকগুলিতে মনোনিবেশ করে । আপনি এই কাজটি ম্যাগেন এবং জাউজিয়াস দ্বারা পরীক্ষা করতে পারেন । এটি সত্যিই বড় ম্যাট্রিক্স পরিচালনার জন্য দরকারী, একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণিত করুন যেখানে । $n \times N$ $N \times n$ $N \gg n$

মৌলিক পদ্ধতিটি ম্যাট্রিক্সের নমুনা করা (এটি একটি এলোমেলো মাত্রিক হ্রাসের সাথে মিলে যায়), এবং আরও ছোট নমুনাযুক্ত ম্যাট্রিকগুলিকে গুণ করে। কৌশলটি হ'ল এটি কখন এবং কী অর্থে এটি একটি ভাল আনুমানিক দেয় find কাজের পূর্ববর্তী স্ট্র্যান্ডের বিপরীতে যা সম্পূর্ণ অবৈজ্ঞানিক, স্যাম্পলিং অ্যালগরিদমগুলি ব্যবহারিক এবং এমনকি প্রচুর পরিমাণে ডেটা পরিচালনা করার জন্য প্রয়োজনীয়।

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

কেবলমাত্র একটি নোট: এটি জানা গেছে (নভেম্বর ২০১০ পর্যন্ত) যে দুদক স্যাট সমাধানের জন্য আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের গুণটি প্রয়োজনীয় নয়। (যা ভাল, কারণ আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স বহু "গ্যালাকটিক" এবং জটিল।)

— রায়ান উইলিয়ামস