সাবসেট নম্বর

Question

ফিক্স $k\ge5$ । কোনো যথেষ্ট বড় জন্য $n$ , আমরা সব সাব-সেট নির্বাচন লেবেল চাই $\{1..n\}$ আকারের ঠিক $n/k$ থেকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা $\{1...T\}$ । নিম্নলিখিত সম্পত্তিটি সন্তুষ্ট করার জন্য আমরা এই লেবেলটি চাই: এখানে পূর্ণসংখ্যার একটি সেট $S$ , স্ট্যান্ডার্ড

1. যদি n / k আকারের $k$ উপসেটগুলি ছেদ না করে (যেমন এই সেটগুলির ইউনিয়নটি সমস্ত সেট { 1 .. n } গঠন করে ), তবে তাদের লেবেলের যোগফল এস ।$n/k$$\{1..n\}$$S$
2. অন্যথায়, তাদের লেবেলের যোগফল $S$ ।

সেখানে কি $k\ge5$ এবং একটি লেবেলিং রয়েছে, সেন্ট $T\cdot|S|=O(1.99^n)$ ?

উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও $k$ আমরা নিম্নলিখিত উপায়ে সাবসেটগুলি লেবেল করতে পারি। $T=2^n$ , প্রতিটি উপসেট রয়েছে $n$ তাদের সংখ্যা বিট: প্রথম বিট সমান $1$ iff উপসেট রয়েছে $1$ , দ্বিতীয় বিট সমান $1$ iff উপসেট রয়েছে $2$ ইত্যাদি এটি দেখতে সহজ, যে $S$ শুধুমাত্র একটি উপাদান রয়েছে $2^n-1$ । তবে এখানে $T\cdot|S|=\Theta(2^n)$ । আমরা কি এটি আরও ভাল করতে পারি?

Comments

কেন 5 এবং 3 নয়?

— ডমোটরপ

@ ডমোটরপ: আপনি কী ছোট এটি করবেন তা জানেন $k$?

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

মিলিয়ন ডলারের প্রশ্নের জন্য এটি গঠনমূলক প্রমাণ দেবে! এত দ্রুত নয়! :)

— তাইফুন বেতন

@ জিফিকস্টার: আপনি দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

T = O (1.99 ^ n) তৈরি করা কি সম্ভব? প্রশ্নটি মনে হয় যে এটি সম্ভব, তবে এটি কীভাবে করা যায় তা আমার কাছে অস্পষ্ট।

— সোসোশি ইতো

Answer 1

একটি আংশিক উত্তর হ'ল এমনকি জন্যও এ জাতীয় লেবেল উপস্থিত নেই।$k$

একটি সেট জন্য টুকরো করা সাব-সেট নির্বাচন এস 1 , ... , এস টি (আকার এন / ট যাক চ ( S 1 , ... , এস টি ) তাদের মানের সমষ্টি বোঝাতে)।$t$$S_1, \ldots, S_{t}$$n/k$$f(S_1, \ldots, S_t)$

দাবি: যদি এবং এস 1 ∪ … ∪ এস টি ≠ এস ′ 1 ∪ … ∪ এস ′ টি তবে চ ( এস 1 , … , এস টি ) ≠ চ ( এস ′ 1 , … , এস ′ টি ) ।$t < k$$S_1 \cup \ldots \cup S_t \ne S'_1 \cup \ldots \cup S'_t$$f(S_1, \ldots, S_t) \ne f(S'_1, \ldots, S'_t)$

একটি সেট কেন দাবি সত্য দেখার জন্য, পছন্দ করে যেমন যে ⋃ k আমি = 1 S আমি = [ এন ] কিন্তু তারপর এই নতুন সেট ছেদ করে এক এক এস ' আমি ', যাতে গুলি চ ( এস 1 , ... , এস ট ) হিসাবে একই হতে মঞ্জুরিপ্রাপ্ত নয় চ ( এস ' 1 , ... , এস ' টন , $S_{t+1}, \ldots, S_{k}$$\bigcup_{i=1}^{k} S_i = [n]$$S'_i$$f(S_1, \ldots, S_k)$।$f(S'_1, \ldots, S'_t, S_{t+1}, \ldots, S_k)$

উত্তোলন: ।$T > {n \choose tn/k}/t$

সেট একটি বাউন্ড LOWER দেয় টি ≥ 2 ($t = k/2$।$T \ge 2{n \choose n/2}/k = \Omega(2^n/\sqrt{n})$

নোট করুন যে বিজোড় একজন একটি নিম্ন সীমানার অর্ডার পায় ($k$। ইতিমধ্যেকে=5 এর জন্যআমাদেরH((1-1/কে)/2)=${n \choose n(1-1/k)/2} \approx 2^{H((1-1/k)/2)n} = 2^{n(1-O(1/k^2))}$$k = 5$ সুতরাং ঘনিষ্ঠটি খুব দ্রুত 1 তে ঝুঁকে পড়ে।$H((1-1/k)/2) = H(0.4) \approx 0.97$$1$

আমি অনুমান করব যে বিজোড় জন্য কোনও সমাধান নেই তবে এটি কীভাবে প্রমাণ করা যায় তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই।$k$

Comments

ধন্যবাদ, খুব সুন্দর সমাধান! তবে আমরা নিশ্চিত নই যে আমরা এটিকে কী বিজোড় সাধারণীকরণ করতে পারি । $k$

— অ্যালেক্স গোলভনেভ

Answer 2

এটি কোনও উত্তর নয়, কেন কেবল কে -২ এর জন্য এ জাতীয় কোনও লেবেল উপস্থিত থাকতে পারে না (আমি নিশ্চিত যে এটি ইতিমধ্যে অ্যালেক্সের কাছে জানা ছিল, সুতরাং এটি আমার মতো অন্যান্য পাঠকদের জন্য কেবল একটি লেখার বিষয় ...)

কে = 2 এর জন্য আমাদের । এটি কারণ রয়েছে($T\ge {n \choose n/2}\ge 1.99^n$ n / 2 আকারের সাবসেটগুলি। যদি কোনও দু'জন একই লেবেল প্রাপ্ত করে, যেমন এ এবং বি, তবে হয় এ এর ​​লেবেলের যোগফল এবং এর পরিপূরক এস তে নয়, বা বি এর লেবেলের যোগফল এবং এ এর ​​পরিপূরক এস এ রয়েছে এটিটিবোঝায়≥(${n \choose n/2}$(বৃহত্তর এন এর জন্য)।$T\ge {n \choose n/2}$

বৃহত্তর কা অনুরূপ আর্গুমেন্টের জন্য দেখায় যে সমস্ত লেবেল পৃথক হওয়া উচিত, তবে এটি কেবল একটি দুর্বল তাত্পর্যপূর্ণ নিম্ন বাউন্ড দেয়। সুতরাং ইতিমধ্যে কে = 3 অজানা বলে মনে হচ্ছে।

Comments

হ্যাঁ, আপনাকে ধন্যবাদ! যদি কেউ বৃহত্তর কেন এমন কোনও লেবেল না থাকে বা কেন এই জাতীয় লেবেল খুঁজে পাওয়া শক্ত হয় তবে কোনও অন্তর্দৃষ্টি দিতে পারলে এটি দুর্দান্ত হবে । $k$

— অ্যালেক্স গোলভনেভ