বুলিয়ান ভেরিয়েবল NP এর একটি তালিকা সন্তুষ্ট করতে অপারেটরদের সমস্যাটি কি সম্পূর্ণ?

Question

এটি স্যাট এর সাথে সমান, আমরা প্রতিটি ভেরিয়েবলের অ্যাসাইনমেন্ট জানি, তবে কোনও বুলিয়ান অপারেটরের অ্যাসাইনমেন্ট জানি না। সেক্ষেত্রে, প্রতিটি অপারেটরের অ্যাসাইনমেন্ট সন্ধান করা হচ্ছে যাতে অভিব্যক্তিটি একটি প্রদত্ত বুলিয়ান মান একটি এনপিসি সমস্যার মূল্যায়ন করে?

আসলে, আমি ভাবছিলাম যে পাটিগণিত অপারেটরগুলির একটি পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক অভিব্যক্তি (যেমন, = 10) সন্তুষ্ট করার জন্য অ্যাসাইনমেন্ট সন্ধান করা এনপি সম্পূর্ণ?ও পি 1 3 ও পি 2 7 ও পি 3 ও পি $1$ $op_1$ $3$ $op_2$ $7$ $op_3$ $op_4$

Comments

সুতরাং, যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আপনি জানেন যে সূত্রটি সন্তুষ্টিজনক এবং আপনি বুলিয়ান অপারেটরগুলির একটি নিয়োগ জানতে চান। সমস্ত operator অপারেটর ভেরিয়েবলগুলিকে কেবল $\vee$ অপারেটরকে নিয়োগ করুন এবং আপনার কাজ শেষ। দ্বিতীয় সমস্যাটি সম্পর্কে আমি জানি না, তবে এটি আকর্ষণীয় দেখাচ্ছে।

— জর্জ

@ জর্জিবি: আমি মনে করি না যে সমাধানটি সঠিক। তাহলে কি বুলিয়ান মানগুলি সমস্ত মিথ্যাতে সেট করা আছে? এই প্রশ্নটি আকর্ষণীয়, তবে কিছুটা কাজের প্রয়োজন হতে পারে। বুলিয়ান অপারেটরগুলির মধ্যে আমরা কোন সেটটি বেছে নিচ্ছি? সম্ভবত আপনার মত বাইনারি বুলিয়ান অপারেটরদের একটি আকর্ষণীয় উপসেট মানে $\{ \lor, \land, \Leftrightarrow \}$ । আপনি যদি সমস্ত বাইনারি বুলিয়ান অপারেটরগুলি অন্তর্ভুক্ত করেন তবে সমস্যাটি নগণ্য - কেবল ধ্রুব মানচিত্রটিকে 'সত্য' বাছাই করুন।

— হ্যাক বেনেট

হ্যাক যেমন বলেছিলেন, সমস্ত i এর জন্য বাছুন । তবে আপনি যদি অপারেটরগুলিকে কোনও নির্দিষ্ট সেটে সীমাবদ্ধ করেন তবে প্রশ্নটি আরও আকর্ষণীয় হবে। একইভাবে গাণিতিক ক্ষেত্রে। $x \mathop{op_i} y = 1$$i$

— কাভেহ

দেখে মনে হচ্ছে এটির কিউবিএফগুলির সাথে কিছু সংযোগ থাকতে পারে বা সম্ভবত এটিতে হ্রাস পেয়েছে। সম্ভবত একটি কিউবিএফ তৈরি করা যেতে পারে যা সমাধানের পরে অপারেটরদের দেয়। ঠিক আছে? দ্রুত পরিদর্শন করার সময় দেখে মনে হচ্ছে এটি স্পেস সম্পূর্ণ হতে পারে ... এছাড়াও যদি কোন বন্ধনী না থাকে তবে আপনাকে অগ্রাধিকারও নির্ধারণ করতে হবে। এবং ওআর এর চেয়ে বেশি? সমস্যাটি আরও স্বাভাবিক বলে মনে হয় সম্ভবত যখন প্রথম বন্ধনী / গ্রুপিং সংজ্ঞায়িত করা যায়।

— vzn

@GeorgeB। আমি দুঃখিত আমি এটি পরিষ্কার করেছিলাম না। বুলিয়ান অভিব্যক্তিটির মূল্যায়ন 0 বা 1 হয় যে কোনও বুলিয়ান মান হতে পারে

— ডিএসাউন্ডাররা

Answer 1

সংযোজন এবং বিয়োগের সাথে, আমি মনে করি পার্টিশনের সমস্যাটি , যা এনপি-হার্ড, আপনার দ্বিতীয় সমস্যা হ্রাস করে।

একটি সেট আমরা সমস্যাটি তৈরি করি$S = \{s_1, s_2, \ldots, s_n\}$

ও পি 1 এস 2 ও পি 2 এস 3 ও পি 3 … ও পি এন - 1 এস এন = 0 । $s_1$ $op_1$ $s_2$ $op_2$ $s_3$ $op_3$ $\ldots op_{n-1}$ $s_n = 0$

যদি কোনও সমাধান বিদ্যমান থাকে, আমরা দুটি সেট তৈরি করি:

$S_1 = \{s_1\}\cup \{s_i | op_{i-1} = +\}$

$S_2 = \{s_i | op_{i-1} = -\}$

এই দুটি সেটটিতে আমাদের মূল সমস্যাটি সেটআপ করে একই সমষ্টি করতে হয়, তাই পার্টিশন সমস্যাটি সমাধান করা হয়। এটি দেখায় যে কেবলমাত্র এই সমস্যার প্রকৃত সমাধানই কঠিন নয়, আসলে কোনও সমাধান বিদ্যমান কিনা তা নির্ধারণ করা অবশ্যই এনপি কঠিন (অন্তত সংযোজন এবং বিয়োগের জন্য)।

এমন কিছু ক্রিয়াকলাপের জন্য যা নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা তৈরি করতে দেয় না, বলুন এবং সংযোজন এটি এতটা পরিষ্কার নয়। এছাড়াও, এটি কেবল দেখায় যে সমস্যাটি দুর্বলভাবে এনপি-হার্ড; এর চেয়ে আরও শক্তিশালী ফলাফল হ্রাস হতে পারে।

Comments

আমি মনে করি আপনার প্রমাণটি মোটামুটি সহজেই কেসের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়া যেতে পারে, কেবল লক্ষ্য সমস্যাটিকে এস 1 ... এস এন = 1 তে সেট করুন । তারপর একটি সমাধান বোঝা হর লব (অভিমানী হিসাবে একই গুলি আমি > 0 সকলের জন্য আমি )। অবশ্যই এটি চারটি অপারেটরের কেস দেয় না, তবে তারপরে আমাদের অপারেশনগুলির অর্ডারও পরিচালনা করতে হবে। $\times/\div$$s_{1}\ldots s_{n} = 1$$s_{i} > 0$$i$

— লুক ম্যাথিসন

ধন্যবাদ, @ সাম এবং লুক। যদি আমরা চারটি অপারেটরকে মিশ্রিত করি? স্বজ্ঞাতভাবে আরও বেশি অপারেটর থাকলে সমস্যা আরও জটিল হয়ে উঠবে, তবে আমি সরাসরি-প্রমাণের প্রমাণ দেখতে পাচ্ছি না।

— ডিএসাউন্ডার

এখনও চারজনের কথা ভাবছি। আমরা পেতে পারেন সহজে, কিন্তু যে এখনও মাত্র দুটি একটি সময়ে হয়েছে। $+/\div$

— লুক ম্যাথিসন

এছাড়াও, (শক্তিশালী) জন্য একটি রেফারেন্স পণ্য পার্টিশনের -completeness: "" পণ্য বিভাজন "এবং সিডিউলিং এবং সিস্টেম নির্ভরযোগ্যতা সংশ্লিষ্ট সমস্যা মন্তব্য: কম্প্যুটেশনাল জটিলতা এবং পড়তা" sciencedirect.com/science/article/pii/S0377221710003905$NP$

— লুক Mathieson

Answer 2

সংক্ষিপ্ত উত্তর. স্যাটের অপারেটর সংস্করণটি দক্ষতার সাথে সমাধানযোগ্য - কমপক্ষে, আমরা যদি গেট-সেটের কোনও পছন্দসই পছন্দ পছন্দ না করে, কোনও ফ্যান-আউট ছাড়াই দুটি ইনপুট গেটের স্বেচ্ছাসেবী সার্কিটগুলি ধরে নিই।

দীর্ঘ উত্তর. আমি বুলিয়ান সমস্যার নিম্নলিখিত রূপটি ধরে নিয়েছি:

2-গাছ OPSAT। এন ⩾ 2 এর জন্য একটি ইনপুট দেওয়া হয়েছে এবং একটি গেট সেট জি 2-ইনপুট এক-আউটপুট গেটের সমন্বয়ে রয়েছে, সেখানে কি জি-তে গেটের সমন্বিত একটি সার্কিট সি রয়েছে যা x গ্রহণ করে , যা, সন্তুষ্ট যখন ইনপুট দেওয়া এক্স (এর ম্যাপিং বিট এক্স বর্তনী পাতা থেকে সি ইন-অর্ডার)?$x \in \{0,1\}^n$$n \geqslant 2$$\mathcal G$$C$$\mathcal G$ $x$$x$$x$$C$

বিশেষত, আমরা সার্কিট (বাইনারি গাছ হওয়া বাদে) কোনও নির্দিষ্ট কাঠামো চাপিয়ে দেই না , ফ্যান-আউটকে অনুমতি দেব না (যাতে প্রতিটি বিট এক্স একবার ব্যবহার করা হয়), এবং গেটগুলি অসামান্য হতে পারে। মাত্র দুটি বিট গেটস, যার ফলে দ্বারা, আমি বাদ না গেট (কিন্তু যা যেমন একাধিক দরজা যা negations দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত হয়, না থাকার কৃত্রিম হতে পারে এবং / NAND আর আমিও দরজা বাদ কোনো ইনপুট সঙ্গে কেবল আউটপুট ধ্রুবক , যাতে প্রকৃত অর্থে সার্কিটের ফটকগুলির সংখ্যাটি সর্বদা n - 1 হয়ে যায় একটি এন- বিট ইনপুটটির জন্য bre ব্রেভিটির জন্য, আমি নীচে কেবল 2-ট্রি-ওপ্যাস্যাটটি উল্লেখ করব$C$$x$$n-1$$n$ওপস্যাট ; যদিও সমস্যার বিশ্লেষণটি সার্কিটগুলির পক্ষে স্বেচ্ছাসেবক কে- ইনপুট গেটগুলি ( কে-ট্র্রি-ওপ্যাস্যাট ) মঞ্জুরি দেওয়ার বা ফ্যান-আউট (যা আমরা কে-ফ্যানআউট-ওপ্যাস্যাট বলতে পারি ) মঞ্জুরি দেওয়ার জন্য আরও জটিল হয়ে উঠতে পারে ।

[ সম্পাদিত যোগ করার জন্য : আমরা সহজে আপনার প্রশ্নের বর্তমান সংস্করণ, যা আমরা একটি প্রদত্ত ম্যাপ প্রচেষ্টা আরো সাধারণ সমস্যা বিবেচনা করার জন্য অভিযোজিত করতে পারে একটি লক্ষ্য মান খ ∈ { 0 , 1 } , ভূমিকা interchanging দ্বারা 0 এবং 1 এর নিচে বিশ্লেষণে; এই ভূমিকা interchanging এর প্রভাব রয়েছে এবং এবং বা , NAND এবং নর , ইত্যাদি ] $x \in \{0,1\}^\ast$$b \in \{0,1\}$$0$$1$$\def\et{\wedge}\def\ou{\vee}\def\AND{\mathop{\text{AND}}}\def\NAND{\mathop{\text{NAND}}}\def\OR{\mathop{\text{OR}}}\def\NOR{\mathop{\text{NOR}}}\def\EQUAL{\mathop{\text{EQUAL}}}\def\PARITY{\mathop{\text{PARITY}}}$

এর একটি স্থির পছন্দের জন্য উপযুক্ত দরজা দিয়ে উপযুক্ত গাছ বেছে নেওয়ার সমস্যাটি যৌক্তিক বিযুক্তির মতো নয়: আমরা সহজ (এবং শক্তিশালী) গেট সেটগুলিতে আরও জটিল গেট সেট সম্পর্কিত সংগ্রহগুলির মধ্যে হ্রাস করতে পারি; ক একটি গেট সেটটি সেটটি অন্তর্ভুক্ত না করে অন্য গেটগুলি অনুকরণ করতে সক্ষম বলে কথা বলতে পারে, বুদ্ধিমানের সাথে এর কিছু উপাদান বেছে নিন যা একই প্রভাব (কোনও নির্দিষ্ট ইনপুট সহ উপস্থাপিত হয়) গেট । বিশেষত, গেটগুলির নির্দিষ্ট সংমিশ্রণ (যেমন$x \in \{0,1\}^n$ G G ∉ G { OR , Nand }

$$\OR(x,y) \;\equiv\;\Bigl(\AND(x,y) \;\ou\; \PARITY(x,y)\Bigr)$$ $\mathcal G$$G \notin \mathcal G$$\{ \OR, \NAND \}$ ) ধ্রুবক ক্রিয়াকলাপ অনুকরণ করতে পারে : আমরা বলি যে এই জাতীয় গেট-সেটগুলি টাউটোলজাস ।$1$

আমরা বিভিন্ন ধরণের গেট সহ গেট সেটগুলি বিবেচনা করে এগিয়ে , পরবর্তীকালে বিশ্লেষণের পরবর্তী কেসগুলি থেকে এই গেটগুলি বাদ দিয়ে, গেটের যে কোনও একটিতে জড়িত গেট-সেটগুলি ট্র্যাক্টিবল সমস্যা হতে পারে তা দেখানোর জন্য। আমরা স্থির গেট থেকে ধ্রুবক গেট থেকে শুরু করে, দ্বি-বিট স্ট্রিংয়ের সংখ্যার ক্রম অনুসারে যা প্রশ্নে গেটটি পূরণ করে ।1 $G$$1$$0$

1. যে কোনও গেট সেট যার জন্য ধ্রুবক গেট , আমরা কেবল সেই গেটটি ব্যবহার করে একটি সার্কিট তৈরি করতে পারি, সেক্ষেত্রে যে কোনও গ্রহণ করে । জি ( এক্স , Y ) = 1 সি সি $\mathcal G$$G(x,y) = 1$$C$$C$$x$

2. বা এবং নন্দ। কোনো গেট সেট জন্য যা রয়েছে যদি সব অন্যান্য গেটস সন্তুষ্ট তাহলে, কোন সুবিধা অন্য কোন গেট নির্বাচন হয় কিন্তু সার্কিট । কেবলমাত্র গেটগুলির একটি সার্কিট ব্যতীত যে কোনও স্ট্রিং গ্রহণ করে । তা না হলে, সেখানে একটি গেট বিদ্যমান যেমন যে দ্বিরূক্ত হয়। সুতরাং ম্যাথ্যাকাল PS সহ ওপাস্যাট-এর যে কোনও উদাহরণ সহজ; এবং অনুরূপ মন্তব্যগুলি for এর জন্য প্রযোজ্যবা G ∈ G G ( x , y $\mathcal G$$\OR$$G \in \mathcal G$বা সি বা x ∈ 0 ∗ জি ∈ জি { জি , বা } বা ∈ জি নান্দ ∈ $G(x,y) \implies \OR(x,y)$$\OR$$C$$\OR$$x \in 0^\ast$$G \in \mathcal G$$\{G, \OR\}$$\OR \in \mathcal G$$\NAND \in \mathcal G$ ।

3. জড়িত মত গেটস। গেটটি বিবেচনা করুন যা কেবলমাত্র ( x , y ) = ( 1 , 0 ) হলে শূন্য হয় । নিম্নলিখিত কিসের জন্য, অনুরূপ বিশ্লেষণ G ′ ( x , y ) = x ∨ ¬ y গেটের জন্য প্রযোজ্য । বিবেচনা করুন কোন স্ট্রিং এক্স ∈ { 0 , 1 } এন । যদি $G(x,y) = \neg x \ou y$$(x,y) = (1,0)$$G'(x,y) = x \ou \neg y$
   
   $x \in \{0,1\}^n$$x$ শেষ হয় , এক্স ফর্মের সাবস্ট্রিংগুলিতে বিভক্ত করুন w j = 1 ∗ 0 ; এই জাতীয় প্রতিটি ডব্লু জে আমরা বারবার ডান থেকে বামে জি প্রয়োগ করি যা প্রতিটি ডব্লু জে এর জন্য আউটপুট 0 দেয় । (দৈর্ঘ্য 1 এর একটি স্ট্রিংয়ের জন্য, আমরা তুচ্ছ সার্কিট ব্যবহার করি, অর্থাত্ ইনপুটটি একা রেখে দেই)) একইভাবে, x 1-এ শেষ হলে , w j = 0 ∗ 1 ফর্মের সাবস্ট্রিংগুলিতে x কে বিভক্ত করুন এবং পুনরাবৃত্তভাবে জি থেকে বাম দিকে প্রয়োগ করুন ঠিক প্রতিটি$0$$x$$w_j = 1^\ast 0$$w_j$$G$$0$$w_j$$x$$1$$x$$w_j =0^\ast 1$$G$ , যাপ্রতিটি ডব্লু জে এর জন্যআউটপুট 1 দেয় । সুতরাং আমরা সার্কিটগুলি 0 মি বা 1 মিটার দ্বারা সন্তুষ্ট যেখানে বিল্ডিংয়ের ক্ষেত্রে সমস্যা হ্রাস করতে পারি, যেখানে মি সাবস্ট্র্রিংগুলির সংখ্যা 1 ∗ 0 বা 0 ∗ 1 হয় । জন্য মি ⩾ 2 , আমরা যেকোন একটি ব্যবহার করে গ্রহণ করতে পারে জি যাও recursively প্রয়োগের দ্বারা গেটস জি বাঁ দিক থেকে ডানদিকে। এটি কেবল মি = 1 কেসটি ছেড়ে দেয়, যার জন্য সমস্যাযুক্ত কেস x ∈ 1 ইনপুট হয়$w_j$$1$$w_j$$0^m$$1^m$$m$$1^\ast0$$0^\ast 1$$m \geqslant 2$$G$$G$$m = 1$ । জন্য এক্স = 1 * 0 , কোনো শুধুমাত্র গঠিত বর্তনী জি শুধুমাত্র ফর্মের খাটো স্ট্রিং সমর্পণ করা হবে গেটস 1 * 0 শেষ পর্যন্ত একক বিট স্ট্রিং ফলনশীল 0 : যাতে কোন বর্তনী জি গেটস এই ইনপুট সন্তুষ্ট করা যাবে না। তাহলে সেখানেআরোএকটি গেট এইচ ∈ জি , যার জন্য এইচ ( 1 , 0 ) = 1 , তারপর { জি , এইচ } দ্বিরূক্ত হয়; বা, যদি একটি গেট$x \in 1^\ast 0$
   
   $x= 1^\ast 0$$G$$1^\ast 0$$0$$G$$H \in \mathcal G$$H(1,0) = 1$$\{G,H\}$ , যার জন্য এইচ ( 1 , 1 ) = 0 , আমরা ফর্মের স্ট্রিং কমিয়ে দিতে পারে 11 * 0 ফর্মের স্ট্রিং ( 1 * 0 ) * , প্রয়োগের দ্বারা এইচ প্রথম দুই বিট এক্স । অন্যথায়, এমন কোনও সার্কিট তৈরি করা যাবে না যা x ∈ 1 ∗ 0 গ্রহণ করে। সুতরাং, যে কোনও গেট-সেট জি এর মধ্যে অন্তর্নিহিত-মত গেট রয়েছে,তারজন্যওপিএস্যাটসহজeasy$H \in \mathcal G$$H(1,1) = 0$$11^\ast 0$$(1^\ast 0)^\ast$$H$$x$$x \in 1^\ast 0$
   
   $\mathcal G$

4. অনুমানের নেতিবাচকতা। গেটস এবং ¬ π 2 ( x , y ) = Consider y বিবেচনা করুন । আমরা ¬ π 1 বিবেচনা করি , ¬ π 2 সহ বিশ্লেষণ একই রকম। নিজস্ব, অন ¬ π 1 যে কোন স্ট্রিং গ্রহণ করতে পারে 0 ( 0 | 1 ) এন - 1 জন্য এন ⩾ $\neg \pi_1(x,y) = \neg x$$\neg \pi_2(x,y) = \neg y$$\neg \pi_1$$\neg \pi_2$$\neg \pi_1$$0(0|1)^{n-1}$$n \geqslant 2$চূড়ান্ত বিটকে একক বিট করে এবং তারপরে ¬ π 1 প্রয়োগ করে ; এবং এটি একভাবে গ্রহণ করতে পারে 1 ( 0 | 1 ) এন - 1 জন্য এন ⩾ 3 চূড়ান্ত কমিয়ে এন - 2 একটি একক বিট বিট, এবং তারপর আবেদন সার্কিট ¬ π 1 ( ¬ π 1 ( এক্স 1 , x 2 ) , এক্স 3 ) । একমাত্র ইনপুট যে $n-1$$\neg \pi_1$$1(0|1)^{n-1}$$n \geqslant 3$$n-2$$\neg \pi_1(\neg \pi_1(x_1, x_2),x_3)$ সার্কিটগুলি 10 বা 11 এর পরে গ্রহণ করতে পারে না; কোনও পরিপূরক গেট এগুলি গ্রহণ করে কিনা তা নির্ধারণ করা তুচ্ছ। সুতরাং,অনুমানের অবহেলারজন্যওপিএস্যাটসহজ।$\neg \pi_1$$10$$11$

5. সমতা এবং সমতা । গেটটি । গেট সেট জি = { সমতা } স্পষ্টত শুধুমাত্র স্ট্রিং দ্বারা অবিকল সন্তুষ্ট করা যাবে এক্স ∈ { 0 , 1 } এন 1s এর একটি বিজোড় সংখ্যা সঙ্গে; আমরা অন্য কোনও গেট যুক্ত করার সুবিধা বিবেচনা করি।$\PARITY(x,y) = (x \ou \neg y) \et (\neg x \ou y)$$\mathcal G = \{\PARITY\}$$x \in \{0,1\}^n$

   • কোন গেট সেট যা উভয় রয়েছে এবং হয় এবং বা নর ( এক্স , Y ) = ¬ ( এক্স ∨ Y ) সার্কিট যা ধারণ করে ভান করতে বা অথবা NAND সংশোধন ইনপুট, যার সহজ ক্ষেত্রেই তাদের জন্য দরজা (যথাক্রমে) OPSAT ।$\PARITY$$\AND$$\NOR(x,y) = \neg(x \ou y)$$\OR$$\NAND$
   • হয় বা π 2 ( x , y ) = y উভয় সমতুল্যের দুটি বিট সাবস্ট্রিংগুলিতে AND বা NOR অনুকরণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে , যাতে আমরা এই গেটগুলির সাথে গেট-সেটগুলি হ্রাস করতে পারি এবং পূর্ববর্তী মামলার $\pi_1(x,y) = x$$\pi_2(x,y) = y$$\AND$$\NOR$$\PARITY$
   • সঙ্গে একসঙ্গে সমান = ¬ সমতা দ্বিরূক্ত হয়।$\PARITY$$\EQUAL = \neg \PARITY$
   • আমরা সম্পূরক তাহলে গেট দিয়ে জি 01 = ¬ এক্স ∧ Y , আমরা ছাড়া কোনো এমনকি-সমতা স্ট্রিং গ্রহণ করতে পারে এক্স ∈ ( 11 ) * 0 * প্রয়োগের দ্বারা জি 01 একটি থেকে 01 এর -substring এক্স এবং তারপর একটি আবেদন সমতা বর্তনী বাকী একইভাবে, সমতা একসঙ্গে সঙ্গে জি 10 = এক্স ∧ ¬ Y ফর্ম সেই ব্যতীত কোন স্ট্রিং গ্রহণ করতে পারে এক্স ∈ 0 *$\PARITY$$G_{01} = \neg x \et y$$x \in (11)^\ast 0^\ast$$G_{01}$$01$$x$$\PARITY$$\PARITY$$G_{10} = x \et \neg y$ । জি 01 এবং জি 10 উভয়ের সাথে পরিমিতি পরিপূরকআমাদের সার্কিট তৈরি করতে দেয় যা x ∈ 0 ∗ এবং x = 11 ব্যতীত সমস্ত ইনপুট গ্রহণ করে।$x \in 0^\ast (11)^\ast$$\PARITY$$G_{01}$$G_{10}$$x \in 0^\ast$$x = 11$
   • পরিশেষে, আমরা সম্পূরক যদি ধ্রুবক গেট দিয়ে টু Z ( এক্স , Y ) = 0 , আমরা ছাড়া কোনো ইনপুট গ্রহণ করতে পারে এক্স ∈ ( 11 ) * বা এক্স ∈ 0 * একটি প্রয়োগের দ্বারা জি একটি সাবস্ট্রিং গেট 01 বা 10 , হ্রাস অদ্ভুত সমতা ক্ষেত্রে।$\PARITY$$Z(x,y) = 0$$x \in (11)^\ast$$x \in 0^\ast$$G$$01$$10$

   সুতরাং, OPSAT কোন সহজ ধারণকারী সমতা । অনুরূপ একটি বিশ্লেষণের জন্য প্রযোজ্য সমান হিসাবে গেট সমতা গেট কারণ সমান ( এক্স , Y ) = ¬ সমতা ( এক্স , Y ) = ¬ সমতা ( ¬ এক্স , ¬ Y ) , এর সার্কিট সমান দরজা মূলত এর সমতা গণনা ইনপুটটিতে 0 এর সংখ্যা । এরপরে আমরা EQUAL এর বিশ্লেষণ হ্রাস করতে পারি$\mathcal G$$\PARITY$
   
   $\EQUAL$$\PARITY$$\EQUAL(x,y) = \neg \PARITY(x,y) = \neg \PARITY(\neg x, \neg y)$$\EQUAL$$0$$\EQUAL$যে বিনিময় দ্বারা 0 এবং 1 ।$\PARITY$$0$$1$

6. প্রজেকশন গেট গেটস এবং π 2 ( x , y ) = y , নিজেরাই নেওয়া, কেবলমাত্র এমন সার্কিট তৈরি করতে পারে যা স্ট্রিংগুলি যথাক্রমে 1 এ শুরু বা শেষ হয় accept অন্য কোনও গেটের সাথে গেট π 1 বাড়ানোর প্রভাব বিবেচনা করুন (অনুরূপ বিশ্লেষণ π 2 এর জন্য ধারণ করে ):$\pi_1(x,y) = x$$\pi_2(x,y) = y$$1$$\pi_1$$\pi_2$

   • উভয় অনুমতি এবং π 2 একটি "নির্বাচন" বর্তনী, যা কেবল ইনপুট থেকে কোন একক বিট আউটপুট নির্মাণ দেয়; এগুলি যে কোনও x ≠ 0 n গ্রহণ করতে পারে এবং জি ( 0 , 0 ) = 1 এর জন্য কোনও গেট জি দিয়ে পরিপূরক করে যে কোনও এক্সের জন্য একটি সন্তুষ্ট সার্কিট তৈরি করতে দেয় ।$\pi_1$$\pi_2$$x \ne 0^n$$G$$G(0,0) = 1$$x$
   • আমরা যদি সম্পূরক পারেন সঙ্গে নর বা জি 01 = ¬ এক্স ∧ Y , আমরা ভান করিতে পারিবেন বা অথবা একটি ইঙ্গিত মত নির্দিষ্ট ইনপুট জন্য গেট; ওপাস্যাট এই দুটি ক্ষেত্রেই সমাধান করা হয়েছে।$\pi_1$$\NOR$$G_{01} = \neg x \et y$$\OR$
   • আমরা যদি AND , G 10 = x ∧ ¬ y , ধ্রুবক গেট জেড ( x , y ) = 0 বা তাদের কোনও সংমিশ্রণ সহ পরিপূরক করি তবে আমরা কোনও অতিরিক্ত গ্রহণযোগ্য শক্তি পাই না, যাতে আমরা এখনও কেবল স্ট্রিং গ্রহণ করতে পারি 1 দিয়ে শুরু ।$\pi_1$$\AND$$G_{10} = x \et \neg y$$Z(x,y) = 0$$1$

   সুতরাং, অন্য যে কোনও গেটের জন্য আমরা (বা π 2 ) এর সাথে পরিপূরক করতে পারি , আমরা হয় টোটোলজাস সেট পাই, কেবলমাত্র π 1 (বা π 2 ) এর চেয়ে অতিরিক্ত গ্রহণযোগ্য ক্ষমতা পাই না , বা ওপিএসএটি এর আগের কোনও সহজ ক্ষেত্রে হ্রাস করতে পারি । তারপর কোন দৃষ্টান্ত OPSAT সঙ্গে π 1 ∈ জি বা π 2 ∈ জি সহজ।$\pi_1$$\pi_2$$\pi_1$$\pi_2$$\pi_1 \in \mathcal G$$\pi_2 \in \mathcal G$

7. ডেল্টা-ফাংশন গেটস। দ্বি-বিট গেটগুলি বিবেচনা করুন যার জন্য কেবলমাত্র একটি ইনপুট রয়েছে যা তাদের সন্তুষ্ট করে: , NOR , G 10 ( x , y ) = x ∧ ¬ y , এবং জি 01 ( x , y ) = ¬ x ∧ y । সার্কিট একমাত্র প্রণীত এবং দরজা শুধুমাত্র স্ট্রিং গ্রহণ করতে পারে 1 * তাদের অন্য কোন ব-দ্বীপ-ফাংশন গেট দিয়ে প্রতিস্থাপিত পারবেন তাদের অনুকরণ পারেন সমান , π 1 , বা$\AND$$\NOR$$G_{10}(x,y) = x \et \neg y$$G_{01}(x,y) = \neg x \et y$$\AND$$1^\ast$$\EQUAL$$\pi_1$ , যা সমাধান করা মামলাগুলি; অনুরূপ মন্তব্যগুলি NOR এর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। পাশাপাশি, গেট সেট { জি 01 , জি 10 } ব্যবহার করা যেতে পারে এছাড়া ভান সমতা গেট। আমরা এইভাবে ফোকাস করিতে পারিবেন গেট জি 10 বা জি 01 , সম্ভবত গেট দিয়ে supplemented জেড ( এক্স , Y ) = 0 । জি 01 এর ক্ষেত্রেএকই রকম হওয়ারসাথেআমরা জি 10 তে মনোনিবেশ করি। একা জি 10 দিয়ে তৈরি সার্কিটগুলিগ্রহণ করার জন্য তৈরি করা যেতে পারে$\pi_2$$\NOR$$\{G_{01}, G_{10}\}$$\PARITY$$G_{10}$$G_{01}$$Z(x,y) = 0$$G_{10}$$G_{01}$
   
   $G_{10}$ , স্ট্রিং 11 ব্যতীত, চূড়ান্ত এন - 2 বিটগুলিতেএকটি স্বেচ্ছাসেবী সার্কিটপ্রয়োগ করে এবং তারপর জি 10 ( x 1 , জি 10 ( এক্স 2 , এক্স 3 ) ) সার্কিট প্রয়োগ করে। স্পষ্টতই, 11 টি স্ট্রিং জি 10 বা জেড দ্বারাগ্রহণ করা যাবে না; এবং আমরা যে কোনও জি 10 প্রবর্তন করে দেখিয়ে দিতে পারি$1(0|1)^{n-1}$$11$$n-2$$G_{10}(x_1, G_{10}(x_2, x_3))$$11$$G_{10}$$Z$$G_{10}$যে সার্কিট একটি স্ট্রিং গ্রহণ করে তার অবশ্যই বাম-সর্বাধিক শাখায় ফটকগুলির মধ্যবর্তী ফলাফল থাকতে হবে সমস্ত বাম-সর্বাধিক ইনপুট পর্যন্ত উপার্জন করে। জেড গেটস যুক্ত করে কোনও অতিরিক্ত সুবিধা পাওয়া যায় না । অতএব, জি 10 সার্কিট শুধুমাত্র গ্রহণ করতে পারে এক্স ∈ 1 ( 0 | 10 | 11 ) ( 0 | 1 ) * ।$1$$Z$$G_{10}$$x \in 1(0|10|11)(0|1)^\ast$

8. অবশেষে, কেবল গেটগুলির সমন্বয়ে তৈরি সার্কিটগুলি কোনও ইনপুট গ্রহণ করে না।$Z$

প্রতিটি গেট যেমন একটি সংজ্ঞায়িত এবং সাধারণত বেশ বড় শ্রেণীর ইনপুটকে উত্সাহ দেয় যা সমস্যাটিকে তুচ্ছ করার জন্য অতিরিক্ত গেটগুলি প্রবণ করে , আমরা দেখতে পেলাম যে 2-গাছের-ওপ্যাস্যাট পি তে রয়েছে ।

Comments

@DSounders: সমস্যা আপনার সাম্প্রতিক সংস্করণ থেকে সম্মান সঙ্গে নির্ধারণ করতে যদি একটি বর্তনী হয় যা মানচিত্র এক্স কিছু লক্ষ্য মান খ ∈ { 0 , 1 } শুধু বিশেষ ক্ষেত্রে চেয়ে বরং খ = 1 , এ হিসাবে একই বিশ্লেষণ আমার বর্তমান উত্তর এখনো দেখাতে হবে যে সমস্যা রয়েছে যথেষ্ট পি ; কেবল গেটের ভূমিকা পরিবর্তন হয়। উদাহরণস্বরূপ, পছন্দসই ফলাফল 0 এবং 1 কে আন্তর্জাতকরণের ক্ষেত্রে আমরা কার্যকরভাবে AND এবং OR , NAND এবং NOR এর ভূমিকা বিনিময় করি$C$$x$ $b \in \{0,1\}$$b = 1$$0$$1$, অন্যান্য ডেল্টা-ফাংশন ইত্যাদির

— নিল দে বৌদ্রাপ