কম সম্ভাবনার স্থানাঙ্ক ছাড়াই উচ্চ সম্ভাবনার ইভেন্টগুলি

Question

(কিছু বড় বর্ণমালার জন্য ) -এর একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল মান হতে দিন , যা খুব উচ্চ এনট্রপি রয়েছে - বলুন,একটি নির্বিচারে ছোট ধ্রুবক জন্য । যাক সমর্থনে একটি ইভেন্ট হতে যেমন যে , যেখানে একটি ইচ্ছামত ছোট ধ্রুবক।$X$$\Sigma^n$$\Sigma$$H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$$\delta$$E \subseteq \rm{Supp}(X)$$X$$\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$$\varepsilon$

বলতে একজোড়া যে একটি হল কম সম্ভাবনা তুল্য এর যদি । আমরা বলি যে a একটি স্ট্রিংয়ে কম সম্ভাব্য স্থানাঙ্ক থাকে যদি কিছু জন্য কম সম্ভাবনা সমন্বয় থাকে ।$(i,\sigma)$$E$$\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$$x \in \Sigma^n$ $E$$(i, x_i)$$E$$i$

সাধারণভাবে, কিছু স্ট্রিং কম সম্ভাবনা স্থানাঙ্ক থাকতে পারে । প্রশ্ন আমরা সবসময় একটি উচ্চ সম্ভাবনা ঘটনা জানতে পারেন হয় এই ধরনের কোন স্ট্রিং, যাতে কম সম্ভাবনা তুল্য রয়েছে (এবং না )।$E$$E$$E' \subseteq E$$E'$$E'$$E$

ধন্যবাদ!

Answer 1

হ্যারি ইউয়েনের উত্তর পরিপূরক করার একটি উদাহরণ এখানে। একটি পাল্টা-উদাহরণস্বরূপ, এটি উপযুক্ত সংজ্ঞায়িত করতে যথেষ্ট শো যে কোনো বৃহৎ উপসেট কম সম্ভাবনা তুল্যমুল্য থাকতে হবে - কম সম্ভাবনা তুল্যমুল্য অগত্যা একটি কম সম্ভাব্যতা সহ হয় -অর্ডিনেট ।$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

এছাড়াও, আমি এন্ট্রপি সম্পর্কে শর্তটিকে উপেক্ষা করব - স্বতন্ত্রভাবে বিতরণ করা এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি (এবং কে )এ জাতীয় কোনও রয়েছে কিনা তা প্রভাবিত না করে প্রায় (সাবধানতার সাথে আমি এটি করি নি)।$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

উদাহরণ এখানে। যাক এর একটি র্যান্ডম উপাদান হতে যেমন যে Hamming ওজন প্রতিটি ভেক্টর (অর্থাত ফর্মের ভেক্টর ) সম্ভাব্যতা আছে এবং অল-ওয়েলস ভেক্টর এর সম্ভাবনা । যাক Hamming ওজনের ভেক্টর সেট হতে ।$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

একটি উপসেট বিবেচনা করুন । যদি খালি না থাকে, তবে এটিতে হামিং ওজন এর একটি ভেক্টর রয়েছে , সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই বলুন । কিন্তু , যা কম যদি হয় প্রায় ।$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

Answer 2

কীভাবে তুলনা করে ? যদি হতে পারে তবে আমি মনে করি আপনি যা চান তা আমরা অর্জন করতে পারি। যাক । দ্রষ্টব্য যে কে অধীনে সম্ভাব্য ভর দেওয়া হয়েছে । আসুন তে স্ট্রিংগুলিতে নির্ধারিত সম্ভাব্যতা বোঝাতে বোঝায় যে ম স্থানাঙ্কের প্রতীক ।$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

ধরুন কয়েকটি স্ট্রিংয়ের জন্য কম সম্ভাবনার সমন্বয় ছিল । আসুন সেই স্ট্রিংগুলিতে নির্ধারিত সম্ভাব্যতার ভর বোঝাতে। তারপরে, সংজ্ঞা অনুসারে, , ইঙ্গিত করে যে । কেবলমাত্র প্রোবটিতে একটি ক্ষতির সম্মুখীন হয়ে আমরা এই কম সম্ভাবনার স্ট্রিংগুলি ফেলে দিতে পারি । ভর থেকে ।$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

সমস্ত সম্ভাব্য খারাপ জন্য এটি চালিয়ে যান এবং শেষ পর্যন্ত আমরা কেবলমাত্র সর্বাধিক । এটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে সকলের জন্য , ।$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

যদি আপনি সম্ভাব্য ভর , তবে এমন হওয়া দরকার যে , বা যথেষ্ট।$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

এই মুহূর্তে আমার কাছে স্পষ্ট নয় যে উপর এই নির্ভরতা থেকে মুক্তি পাওয়া যায় কিনা ; আমি এটি সম্পর্কে চিন্তা অবিরত করব।$n$

Comments

ওহ, আমি কেবল বুঝতে পেরেছি যে আপনি একটি শক্তিশালী প্রয়োজনীয়তার সন্ধান করছেন - যথা, সাথে কোনও কম সম্ভাবনার সমন্বয় নেই , নয় । আমি আজ এই পরে ফিরে আসতে হবে। $E'$$E'$$E$

— হেনরি ইউয়েন

ধন্যবাদ! আমি এমন একটি এপসিলন খুঁজছি যা ধ্রুবক, তবে নির্বিচারে ছোট হতে পারে।

— বা মীর