সীমাবদ্ধ ভারসাম্য গ্রাফের জন্য গ্রাফ আইসোমরফিজমের কোমল ভূমিকা

17

আমি গ্রাফের ক্লাসগুলি সম্পর্কে পড়ছি যার জন্য গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম ( ) । যেমন ক্ষেত্রে এক হিসাবে ব্যাখ্যা বেষ্টিত ঝালর (প্রতিটি প্রান্তবিন্দু তার তীব্রতার উপর সর্বোচ্চ) এর গ্রাফ হয় এখানে । তবে আমি এটি খুব বিমূর্ত দেখতে পেয়েছি। আমি যদি কৃতজ্ঞতা প্রকাশ করব কেউ যদি আমাকে এক্সপোটিটোরি প্রকৃতির কিছু রেফারেন্স প্রস্তাব করতে পারেন। আমার গ্রুপ তত্ত্বের দৃ strong় ব্যাকগ্রাউন্ড নেই, তাই আমি এমন কাগজপত্রগুলি পছন্দ করব যা গোষ্ঠী তত্ত্বকে মৃদু উপায়ে ব্যবহার করে (আমার পটভূমিটি সিএসে রয়েছে)। $GI$ $P$

— DurgaDatta
সূত্র

1

আমার কাছে দুর্ভাগ্যক্রমে বইটি নেই, তবে দ্য গ্রাফ আইসোমরফিজম প্রব্লেম: জোহনেস ক্যাবলার, উয়ে শ্যাচিং, এবং জ্যাকোবো টরনের স্ট্রাকচারাল কমপ্লেসিটি বাউন্ডেড ডিগ্রির ক্ষেত্রে প্রমাণ থাকতে পারে। আপনি এটি পরীক্ষা করতে চাইতে পারেন।

— সোসোশি ইতো

2

@ শুয়োশিআইটো: যদিও এটি একটি দুর্দান্ত বই যা জিআই এবং একটি সাধারণ কাঠামোগত জটিলতার একটি ভাল পরিচয় দেয়, তবে এটি সীমাবদ্ধ ডিগ্রি ক্ষেত্রে খুব বেশি (যদি কিছু থাকে) থাকে না। সীমাবদ্ধ ডিগ্রি কেসের ক্ষেত্রে আমি কোমল পরিচয় জানি না, তবে এটি এতটা ঘনিষ্ঠভাবে গ্রুপ তাত্ত্বিক পদ্ধতির সাথে আবদ্ধ যে আমার সন্দেহ আছে যে এমন একটি এক্সপোশন রয়েছে যা গ্রুপ থিওরিটি "কেবলমাত্র আলতোভাবে" ব্যবহার করেছে (ওপি দ্বারা অনুরোধ হিসাবে)।

— জোশুয়া গ্রাচো

আমি একটি ওভারভিউ দিতে আগ্রহী, আমি শীঘ্রই এটি করব!

— জিম

14

সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি গ্রাফ আইসোমরফিজমের জন্য অ্যালগরিদম (তরিকাবদ্ধকরণ) গ্রুপ তত্ত্বের সাথে এতটা ঘনিষ্ঠভাবে আবদ্ধ যে আমার সন্দেহ আছে যে এমন একটি ভূমিকা রয়েছে যা গ্রুপগুলি "কেবলমাত্র আলতোভাবে" ব্যবহার করে। তবে আপনি পাওলো কোডেনোটির পিএইচডি পরামর্শ নিতে পারেন might আরও সম্পূর্ণ পটভূমি জন্য থিসিস । তিনি সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি গ্রাফ আইসোমরফিজমকে ঠিক কভার করেন না, তবে এটির জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জামগুলি আবরণ করেন (এবং বাকী থিসিসটি সীমাবদ্ধ-র‌্যাঙ্ক হাইপারগ্রাফিক্স সম্পর্কে, সাধারণ গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের জন্য সীমাবদ্ধ-র‌্যাঙ্ক হাইপারগ্রাফের ক্ষেত্রে সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদমকে প্রসারিত করে) ।

আপনি গ্রুপ-তাত্ত্বিক অ্যালগোরিদম এবং গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম বইটি দরকারী হিসাবে পেতে পারেন, কারণ এটি বেশিরভাগ পটভূমিকে আবৃত করে (অধ্যায় 2, "বেসিক ধারণাগুলি" 47 পৃষ্ঠাগুলি) এবং এটি প্রকাশিত বেশিরভাগ কাগজপত্রের চেয়ে অনেক বেশি অবসর সময়ে প্রকাশিত হয় বিষয়.

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

1

স্বরলিপি: আসুন গ্রাফ হতে একজন প্রান্ত । প্রান্তবিন্দু সেট দূরত্বের ছেদচিহ্ন এর সেট হতে থেকে , এবং দিন উচ্চতা হতে । $X = (V,E)$ $e = (v_1, v_2)$ $X$ $V_k$ $k$ $e$ $h$ $X$

এর সংজ্ঞা অনুযায়ী , এবং । যাক, উপসেট কোণগুলি এর সংজ্ঞায়িত as- হয় $V_k$ $V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$ $V_{(h+1)}= \emptyset$ $E_k$ $X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

উপগ্রহটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে- $X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

উদাহরণস্বরূপ, $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

গ্রাফ অটোমোরফিজম গ্রুপযেখানে ঠিক করা হয়েছে। তাহলে একটি উৎপাদিত সেট , আমরা লিখতে , উদাহরণস্বরূপ, এটা স্পষ্ট যে $Aut_e(X)$ $X$ $e$ $B$ $Aut_e(X_k)$ $\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ $Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$ $(v_1,v_2)$ $v_1, v_2$ $X$

$X$ $X$ $Aut_e(X)$

প্রযুক্তি:

$X_0, X_1..... X_h$ $X_k$ $Aut_e(X_{(k)})$

Note that, a permutation of $Aut_e(X_{(k) })$ may be extended to an automorphism of $Aut_e(X_{(k+1)})$ .

So, generators of $Aut_e(X_{(k+1)})$ can be obtained from generators for $Aut_e(X_{k})$ .

To construct generator, structure-type of $E_k$ is manipulated. The structure-type of $E_k$ can be divided into finite classes. For example, in the trivalent case, there are only six type (only five of those cases can actually occur).

We will classify the edges in $E_k$ into types and will group them into families . This helps to create a number of unique labels.

For a fixed valence, the number of labels is small. At this point, we use the concept of setwise-stabilizers to find permutations which acts on particular label. In the process, we find the generator of $Aut_e(X_{(k) })$ . Then, we use the generator of $Aut_e(X_{(k) })$ to find the generator of $Aut_e(X_{(k+1) })$ , as stated earlier. Proceeding in this manner, we obtain, $Aut_e(X)$ .

— Jim
সূত্র

[1]Mathon, Rudolf. ,A note on the graph isomorphism counting problem, Inform. Process. Lett. 8 (1979), no. 3, 131–132.

— Jim