নিম্নলিখিত সমস্যা এনপি কঠিন?

$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$ একটি সেট সেট $U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$ কোথায় সেটগুলির সংগ্রহ বিবেচনা করুন $|F_i|$ $\ll$ $n$ এবং $e_i \in F_i$ , এবং $k$ ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যায় পরিণত হোক।

লক্ষ্য সেট অন্য সংগ্রহে খুঁজে পেতে $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ উপর $U$ যেমন প্রতিটি $F_i$ সর্বাধিক একটি ইউনিয়ন হিসেবে লেখা যেতে পারে $k$ $(k<<|C|)$ পারস্পরিক টুকরো করা মধ্যে সেট $C$ এবং আমরা চাই $\sum_1^m |C_j|$ সর্বনিম্ন হতে হবে (অর্থাত্, সমস্ত সেটে উপাদানের সমষ্টিগত সংখ্যা) $C$ যতটা সম্ভব ছোট হওয়া উচিত)।

নোট করুন যে $F$ এর সাথে একই আকার রয়েছে $U$ তবে এর আকারটি $C$ অনিশ্চিত।

উপরের সমস্যাটি এনপি-হার্ড কিনা কেউ কি বলতে পারবেন? (কভারিং সেট করুন？ প্যাকিং？ নিখুঁত আচ্ছাদন）

আপনার সময় জন্য ধন্যবাদ।

— rhein
সূত্র

"সমস্যা" কী তা আমি বুঝতে পারি না। এটি আপনি কি উত্তর দিতে চান?

— অঙ্কুর

সি = = ইউ {সেট করে এই সমস্যাটি কেন তুচ্ছ নয়?

— সোসোশি ইতো

"অনেক ছোট" এর সুনির্দিষ্ট অর্থের পাশাপাশি আমার এখনও সমস্যা বুঝতে সমস্যা হয়। রিভিশন ১১-তে বলা হয়েছে, আমার কাছে মনে হয় যে সর্বোত্তম সমাধানটি সর্বদা সি = ∅ বা সি = {∅} থাকে} যদি আমরা একটি সীমাবদ্ধতা যোগ করি যে সিতে কমপক্ষে একটি উপাদান হিসাবে অন্তত একটি সেট সেট থাকে তবে কিছু উপাদান e∈U এর জন্য সি = {{ই}} অনুকূল হবে।

— সোসোশি ইতো

দয়া করে আপনার নিজের প্রশ্নটি মনোযোগ সহকারে পড়ুন। আপনি কখনও বলেননি যে সি অবশ্যই বেছে নেওয়া হবে যাতে সি থেকে সি

— সুসোশি ইতো

আমি কি সাধারণ সেট বেসিস সমস্যাটিকে মূল সমস্যার সাব-প্রব্লেম হিসাবে দেখতে পারি?

— রাইন

থিম। সমস্যাটি এনপি-হার্ড।

প্রুফ স্কেচ আমরা সীমাবদ্ধতা উপেক্ষা পোস্ট করা সমস্যায়, কারণ, সমস্যার কোনও উদাহরণের জন্য , উদাহরণ অনুলিপি ব্যবহার করে $|F_i| \ll n = |U|$ $(F,U,k)$ ইউনিয়ন গ্রহণ দ্বারা প্রাপ্ত স্বাধীন কপি $(F'=F^n,U'=U^n,k)$ $n$ $(F,U,k)$ (যেখানে $i$ এর ম কপি সেটির বেস সেট হিসাবে) সমতুল্য, এবং সন্তুষ্ট বাধ্যতা (এটা হয়েছে )। $F$ $i$ $U$ $|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

আমরা 3-স্যাট থেকে হ্রাস দেই। উপস্থাপনের জন্য, হ্রাসের প্রথম পর্যায়ে, আমরা পোস্ট সমস্যাটিতে প্রতিবন্ধকতাগুলি অবহেলা । দ্বিতীয় পর্যায়ে হ্রাসের যথাযথতা বজায় রেখে কীভাবে এই বাধাগুলি পূরণ করতে হয় তা আমরা বর্ণনা করি। $e_i \in F_i$

প্রথম পর্যায়ে. কোন 3-স্যাট সূত্র ত্রুটিমুক্ত । ডাব্লুএলজিও ধরে নিন যে প্রতিটি অনুচ্ছেদে ঠিক তিনটি অক্ষর রয়েছে (প্রত্যেকে আলাদা আলাদা চলক ব্যবহার করছে)। সহ পোস্ট করা সমস্যার নীচের উদাহরণটি । $\phi$ $(F,U,k)$ $k=3$

যাক মধ্যে ভেরিয়েবল সংখ্যা হতে । আছে উপাদান : এক উপাদান (জন্য "সত্যিকারের"), এবং, জন্য প্রতিটি পরিবর্তনশীল মধ্যে , তিনটি উপাদান , , এবং (জন্য "মিথ্যা")। $n$ $\phi$ $3n+1$ $U$ $t$ $x_i$ $\phi$ $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$

প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি সিঙ্গেলন সেট রয়েছে যা । যে কোনও সমাধান জন্য এই সেটগুলির প্রত্যেকটি অন্তর্ভুক্ত করে, যা তাদের মোট আকার এর অবদান করে $U$ $F$ $C$ $3n+1$ $C$ ।

উপরন্তু, প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য মধ্যে একটি "পরিবর্তনশীল" সেট আছে মধ্যে । প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য একটি "ধারা" সেট করা আছে, যার মধ্যে অনুচ্ছেদে অক্ষরটি রয়েছে, এবং । উদাহরণস্বরূপ, ক্লজ $x_i$ $\phi$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $F$ $\phi$ $F$ $t$ সেটটি দেয় $x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$ মধ্যে । $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $F$

দাবি 1. : হ্রাস সঠিক হয় Satisfiable iff কিছু সমাধান খরচ হয়েছে । $\phi$ $C$ $\sum_j |C_j| = 5n+1$

(কেবলমাত্র যদি) ধরুন সন্তোষজনক। সিঙ্গলটন সেট, প্লাস, প্রতিটি চলক , আসল আক্ষরিক এবং সমন্বিত জোড় সমন্বিত একটি সমাধান তৈরি করুন । (উদাহরণস্বরূপ, যদি মিথ্যা হয়)) দাম তখন $\phi$ $C$ $3n+1$ $x_i$ $t$ $\{\overline x_i, t\}$ $x_i$ $C$ $5n+1$ ।

প্রতিটি পরিবর্তনশীল সেট তিনটি সেট ইউনিয়নের: সত্য আক্ষরিক এবং এর মধ্যে রয়েছে যুগল , প্লাস দুই Singleton সেট, অন্যান্য দুটি উপাদান প্রতিটি জন্য। (উদাহরণস্বরূপ, ।) $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $t$ $\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

প্রতিটি ধারা সেট (উদাহরণস্বরূপ ) তিনটি সেটগুলির মিলন: এবং একটি সত্য আক্ষরিক সমন্বয়যুক্ত একটি জোড়া , এবং দুটি সিঙ্গলটন সেট, অন্য দুটি লিটারেলের প্রত্যেকটির জন্য একটি। (যেমন, ।) $\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$ $t$ $\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(যদি) ধরুন আকারের একটি সমাধান রয়েছে । সমাধানটিতে অবশ্যই সিঙ্গলটন সেট, মোট আকার অন্যান্য সেট থাকতে হবে । $C$ $5n+1$ $3n+1$ $2n$

প্রথম বিবেচনা ফর্ম প্রতিটি "পরিবর্তনশীল" সেট । সেটটি সর্বাধিক তিনটি সেটের বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন । সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, এটি দুটি সিলেটলেট এবং একটি জোড়ের বিভাজন ইউনিয়ন (অন্যথায়, বিভাজনকারী সেটগুলি ব্যয় না বাড়িয়ে এ অর্জন করে)। যুগল বোঝাতে । জোড়া এবং বিভিন্ন ভেরিয়েবলের জন্য এবং স্বতন্ত্র, কারণ $n$ $\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$ $C$ $C$ $P_i$ $P_i$ $P_j$ $x_i$ $x_j$ $P_i$ ধারণ করে , , অথবা কিন্তু না। সুতরাং, এই জোড়াগুলির আকারগুলির যোগফল । সুতরাং এই জোড়াগুলি সমাধানের একমাত্র নন-সিঙ্গলটন সেট। $x_i$ $\overline x_i$ $f_i$ $P_j$ $2n$

পরবর্তী "দফা" সেট, যেমন, বিবেচনা । এই জাতীয় প্রতিটি সেট অবশ্যই সর্বোচ্চ তিনটি সেট , অর্থাৎ দুটি সিঙ্গেলটন সেট এবং কমপক্ষে একটি জোড় , , বা । জোড়া এবং দফা সেট পরিদর্শন, এটি দুই singletons এবং এক জোড়া ইউনিয়ন হতে হবে, এবং যে যুগল ফর্ম হওয়া আবশ্যক বা $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$ $C$ $P_i$ $P_j$ $P_k$ $\{x_i, t\}$ $\{\overline x_j, t\}$ (একটি আক্ষরিক এবং )। $t$

অতএব, নিম্নলিখিত অ্যাসাইনমেন্টটি সন্তুষ্ট : প্রতিটি ভেরিয়েবল সত্য নির্ধারণ করুন যে , প্রতিটি ভেরিয়েবল জন্য মিথ্যা নির্ধারণ করুন যেমন , এবং বরাদ্দ করুন বাকী ভেরিয়েবলগুলি নির্বিচারে $\phi$ $x_i$ $P_i=\{x_i, t\}$ $x_i$ $P_i=\{\overline x_i, t\}$

পর্যায় 2. উদাহরণস্বরূপ উপরে উত্পাদিত বাধ্যতা সন্তুষ্ট নয় সমস্যা বর্ণনাতে বলেন। নিম্নে সেই অভাব পূরণ করুন। সেট অর্ডার এবং উপাদান এ তাই তার উপাদান প্রতিটি Singleton সেট অনুরূপ যে । যাক মধ্যে ক্লজ সংখ্যা হতে , তাই $(F,U,k=3)$ $e_i \in F_i$ $F_i$ $e_i$ $U$ $e_i$ $m$ $\phi$ এবং $|F|=1+4n+m$ $|U|=1+3n$ .

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$ . Let $U'=U\cup A$ . Let $F'$ contain the singleton sets from $F$ , plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$ , two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$ , where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$ . Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$ ) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$ .

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$ .

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$ , adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$ , so these partition $A$ ) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$ .

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$ . Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$ . Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$ . By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$ . $\diamond$

— Neal Young
সূত্র