কয়েকটি বৈশিষ্ট্য এড়ানোর জন্য গ্রিডের রঙগুলি গণনা করা হচ্ছে

Question

একজন একটি এর -coloring মি × এন গ্রিড$k$$m \times n$ একটি ফাংশন । একটি ভাঙা আয়তক্ষেত্র মধ্যে সি একটি tuple হয় ( আমি , আমি ' , ঞ , ঞ ' ) পরিতৃপ্ত সি ( আমি , ঞ ) = সি ( আমি ' , ঞ ) = সি $C:[m] \times [n] \to [k]$$C$$(i,i',j,j')$ - অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রের ঠিক তিনটি কোণ একই রঙের।$C(i,j) = C(i',j) = C(i,j') \ne C(i',j')$

আমি নিম্নলিখিত প্রশ্নে আগ্রহী:

এর কার্যকারিতা হিসেবে কত ট -colorings যে ডুপ্লিকেট সারি এড়াতে, ডুপ্লিকেট কলাম, এবং ভাঙ্গা আয়তক্ষেত্র (যে কোন আকারের গ্রিডের জন্য) রয়েছে?$k$$k$

এখনও অবধি আমি জানি যে উত্তরটি সীমাবদ্ধ, এবং আমি প্রমাণ করতে পারি যে উচ্চতর বাঁধাইটি হ'ল কে ( 1.5 কে ! ) 2 (নীচে দেখুন)।$k^{(1.5 k!)^2}$

আমি আরও উল্লেখ করবো যে এটি তার একটি পৃথক প্রশ্ন যা তার ব্লগে (এবং এই গবেষণাপত্রে ) ঘন ঘন গ্যাসার দ্বারা যে বিষয়ে আলোচনা করা হয়েছিল তার চেয়ে আলাদা । তিনি সমস্ত একরঙা আয়তক্ষেত্র এড়াতে চান, যেখানে আমি একরঙা আয়তক্ষেত্রগুলিকে আপত্তি করি না, এটি কেবল "ভাঙা" যা আমি এড়াতে চাই।

প্রেরণা কি? ক্রিপ্টোগ্রাফি, আমরা এলিস (যিনি হয়েছে সমস্যা বিবেচনা ) এবং বব (যিনি হয়েছে Y ) উভয় শেখার চ ( এক্স , Y ) জন্য একটি স্বীকৃত ফাংশন চ , এমনভাবে যে, তারা বেশী জানুন চ ( এক্স , y ) । আপনি সংযুক্ত করতে পারেন চ একটি 2-মাত্রিক টেবিলের সাথে স্বাভাবিকভাবেই, অত: পর, একটি গ্রিড রং। নিম্নলিখিত ধরণের সমস্যার এই ধরণের সমস্যার জন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে (তবে ভিন্ন স্বরলিপি সহ): " f এর কিছু ক্রিপ্টোগ্রাফিকভাবে আকর্ষণীয় সম্পত্তি রয়েছে যদি এবং কেবল যদি $x$$y$$f(x,y)$$f$$f(x,y)$$f$$f$$f$একটি ভাঙ্গা আয়তক্ষেত্র ধারণ করে "" উদাহরণস্বরূপ, কিলিয়ান91 এবং বিমেলম্যালকিনমিকালি 99 দেখুন ।

এই সমস্যাটি ক্রিপ্টোগ্রাফির কিছু সেটিংয়ে এসেছিল যা আমি তদন্ত করছিলাম। আমার উদ্দেশ্যগুলির জন্য, এটি জানার জন্য যথেষ্ট ছিল যে গ্রিড রঙের একটি সীমাবদ্ধ রয়েছে যা ভাঙা আয়তক্ষেত্রগুলি এবং নকল সারি / কলামগুলি এড়ায়। তবে আমি ভেবেছিলাম সংযুক্ত সমস্যাটি নিজেই আকর্ষণীয় এবং আমি বিশ্বাস করি যে আরও ভাল সীমাটি হওয়া উচিত be

$R(2)=3$$R(k) = k \cdot R(k-1)$$R(k) = 1.5 k!$$C$$k$$R(k)$$R(k) \times R(k)$$k^{R(k)^2}$

$R(k)$$2^{k-1}+1$$C_k$$k$$2^{k-1} \times 2^{k-1}$

$\qquad C_1 = [1]; \qquad C_k = \left[ \begin{array}{ccc|ccc} k & \cdots & k & \\ \vdots & \ddots & \vdots & & C_{k-1} \\ k & \cdots & k & \\ \hline & & & k & \cdots & k \\ & C_{k-1} & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & k & \cdots & k \end{array} \right].$

$k$

$R(k)$$k^{R(k)^2}$$R(k) \times R(k)$

Answer 1

$k$$k$$k^{mn}$

$\ge 1-2^{-100}$