ওডিডি ইভেন ডেলটা সমস্যা

Question

যাক গ্রাফ দেখুন। কেএকটি পূর্ণসংখ্যা হতে যাক প্রান্ত প্ররোচক subgraphs সংখ্যা হতে না থাকার ছেদচিহ্ন এবং প্রান্ত একটি বিজোড় সংখ্যা। যাক প্রান্ত প্ররোচক subgraphs সংখ্যা হতে না থাকার ছেদচিহ্ন এবং প্রান্ত একজন জোড় সংখ্যা। আসুন । জোড় বিজোড় প্রায় DELTA সমস্যা কম্পিউটিং মধ্যে রয়েছে দেওয়া এবং ।$G = ( V, E )$$k \leq |V|$$O_k$$G$$k$$E_k$$G$$k$$\Delta_k = O_k - E_k$$\Delta_k$$G$$k$

প্রশ্নাবলি

1. বহুবর্ষীয় সময়ে কে গণনা করা সম্ভব ? এটি গণনা করার জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদম কোনটি?$\Delta_k$
2. কি হবে যদি 3-নিয়মিত হয়?$G$
3. 3-নিয়মিত দ্বিপক্ষীয় হলে কী হবে ?$G$
4. কি হবে যদি 3-নিয়মিত দ্বিপাক্ষিক প্ল্যানার হয়?$G$

Comments

আপনার প্রেরণা কি?

— টাইসন উইলিয়ামস

@ টাইসনউইলিয়ামস: আমার অনুপ্রেরণা হ'ল, যদি প্রথম প্রশ্নের প্রথম অংশের একটি ইতিবাচক উত্তর থাকে (এমনকি কেবল দ্বিপক্ষীয় 3-নিয়মিত প্ল্যানার মামলার ক্ষেত্রেও), তবে আরও অনুসন্ধানের দাবিদার কিছু আকর্ষণীয় পরিণতি ঘটতে পারে। যদি অ্যালগোরিদমটি সাব-এক্সপোনেনশিয়াল হয় তবে এর কিছু পরিণতি হতে পারে (কম আকর্ষণীয়, তবে তবুও আরও অনুসন্ধানের দাবিদার)।

— জর্জিও ক্যামেরানি

আপনি আরো নির্দিষ্ট হতে পারে? "কিছু আকর্ষণীয় পরিণতি" বলতে কী বোঝ? আপনি এই সমস্যাটি প্রথম স্থানে কীভাবে মোকাবিলা করলেন?

— টাইসন উইলিয়ামস

@ টাইসনউইলিয়ামস: আমরা কী এই কথোপকথনটি ইমেলের মাধ্যমে ব্যক্তিগতভাবে চালিয়ে যেতে পারি?

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 1

ওডিডি ইভেন ডেলটা সমস্যাটি # পি-হার্ড, এমনকি 3-নিয়মিত দ্বিপক্ষীয় প্ল্যানার গ্রাফগুলিতেও।

যাক একটি সাধারণ গ্রাফ প্রান্তবিন্দু কভার সেট হতে । তারপরে, ধরে যে এর কোনও বিচ্ছিন্ন কোণ নেই, নিম্নলিখিত সমীকরণটি ধারণ করে (প্রমাণের জন্য উপরের নিবন্ধটি দেখুন):$\mathcal{C}$$G$$G$

$$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$$

ভার্টেক্স কভার গণনা 3-নিয়মিত দ্বিপক্ষীয় প্ল্যানার গ্রাফে এমনকি # পি-সম্পূর্ণ, এবং এটি একটি ওডিডি ইভেন ডেল্টা ওরাকলকে লিনিয়ার সংখ্যার সাথে করা যেতে পারে।

Answer 2

হালনাগাদ:

আমার উল্লেখ করা উচিত ছিল যে নীচের উত্তরটি বিশেষ ক্ষেত্রে । যেহেতু এই কেসটি কঠিন, সাধারণ সমস্যাও খুব কঠিন।$k = |V|$$k$

হোলান্ট কাঠামোটি মূলত বিস্তৃত সাবগ্রাফের উপর একটি সূচকীয় যোগফল (অর্থাত্ সমস্ত অনুভূমিকায় অনুচ্ছেদে উপস্থিত রয়েছে, সুতরাং যোগফলটি প্রান্তের উপভাগের চেয়ে বেশি)। বিপরীতে, প্রশ্নের বর্তমান সংস্করণ প্রান্তটি অনুপ্রবেশিত অনুচ্ছেদগুলি সম্পর্কে।

এই প্রশ্নের পূর্ববর্তী সংস্করণটি কোনও বিচ্ছিন্ন কোণ ছাড়াই নির্দিষ্ট সাবগ্রাফ গণনা সম্পর্কিত। নীচের উত্তর সঠিকভাবে এই প্রয়োজনটি সম্বোধন করে। বিস্তৃত সাবগ্রাফগুলি (অর্থাত্ হোলান্ট কাঠামো) এবং কোনও বিচ্ছিন্ন বিন্দু উভয় বিবেচনা করার সময়, এটি সাথে প্রান্ত অনুপ্রাণিত অনুচ্ছেদগুলি বিবেচনা করার মতো is ছেদচিহ্ন। ওপি মূলত এই প্রশ্নটিতে এটি নির্দেশ করেছে ।$|V|$

3 নিয়মিত প্ল্যানার গ্রাফ

এই মুহূর্তের জন্য, আমি গ্রাফ দ্বিপক্ষীয় যে আপনার প্রয়োজনীয়তা উপেক্ষা করব ।$G$

মনে করুন যে একটি 3-নিয়মিত প্ল্যানার গ্রাফ। আপনার সমস্যা দ্বিপক্ষীয় পরিকল্পনাকারী হোল্যান্ট সমস্যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে$G$

$$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$$

কিভাবে আমাকে ব্যাখ্যা করুন। আমি নীচে সরবরাহ করা আরও বিশদ জন্য, এই কাগজ দেখুন ।

হোলান্টটি প্রান্তগুলিতে একটি সমষ্টি ওভার (বুলিয়ান) অ্যাসাইনমেন্ট। শীর্ষেগুলি হ'ল সীমাবদ্ধতাগুলি হ'ল ইনপুটগুলি হ'ল তাদের ঘটনার কিনারা। প্রান্তগুলিতে প্রতিটি অ্যাসাইনমেন্টের জন্য, আমরা সমস্ত ভার্টেক্স সীমাবদ্ধতার পণ্য গ্রহণ করি।

কোনও বিচ্ছিন্ন শীর্ষকে না থাকার জন্য আপনার প্রয়োজনীয়তা হ'ল এই সীমাবদ্ধতা যা কোনও নির্দিষ্ট প্রান্তে সন্তুষ্ট হয় না যদি এর কোনও ঘটনার প্রান্তটি নির্বাচিত না হয় এবং যদি কমপক্ষে একটি কিনারা নির্বাচিত হয় তবে সন্তুষ্ট হয়। এই প্রতিসম সীমাবদ্ধতা [0,1,1,1] দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা ইনপুট 1 এর সংখ্যা 0 (অর্থাৎ উপগ্রহে কোনও প্রান্তের কিনারা নেই) হলে 0 (অর্থাৎ অসন্তুষ্ট) এবং আউটপুট 1 (অর্থাৎ সন্তুষ্ট) হয় ইনপুট 1 এর 1, 2, বা 3 (অর্থাত্ 1, 2, বা উপগ্রহের 3 টি প্রান্ত) ed

আপনার অন্যান্য প্রয়োজনীয়তাটি হল একটি বিভক্ত সংখ্যার প্রান্তের বিয়োগ সংখ্যার প্রান্তের বিয়োগ সংখ্যার সাথে উপগ্রহের সংখ্যা গণনা করা। আমাদের গ্রাফ , আমরা প্রতিটি প্রান্তটি দৈর্ঘ্য 2 এর পথ দ্বারা প্রতিস্থাপন করি (এটি এর 2-প্রসারিতও বলা হয় )। এটি একটি (2,3) - নিয়মিত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ দেয়। সমস্ত মূল শীর্ষকে, আমরা উপরের থেকে [0,1,1,1] সীমাবদ্ধতা নির্ধারণ করি assign সমস্ত নতুন শীর্ষে, আমরা সীমাবদ্ধতা [1,0, -1] বরাদ্দ করি। যেহেতু এই সীমাবদ্ধতার মাঝামাঝি প্রবেশদ্বারটি 0, এটি এই ডিগ্রি 2 টি শীর্ষটির ঘটনার প্রান্তকে উভয়কেই 0 (যেমন সাবগ্রাফের মধ্যে নয়) নির্ধারিত করতে বাধ্য করে বা উভয়কেই 1 (অর্থাৎ অনুচ্ছেদে) বরাদ্দ করা হয়। এখন প্রান্তগুলিতে একটি নির্দিষ্ট অ্যাসাইনমেন্টের জন্য, যদি নম্বর হয়$G$$G$$n$"আসল" প্রান্তগুলির সমান হয়, তারপরে সমস্ত ডিগ্রি 2 শীর্ষাংশের অবদান । অন্যথায়, বিজোড় এবং অবদান । এটি আপনি চান ঠিক কি।$(-1)^n = 1$$n$$(-1)^n = -1$

এই দ্বিপাক্ষিক Holant সমস্যা # পি-হার্ড উপপাদ্য 6.1 দ্বারা হয় এই কাগজ । যাইহোক, যে উপপাদ্য প্রয়োগ করা সবচেয়ে সহজ নয়। পরিবর্তে, নিম্নলিখিত বিবেচনা করুন।

আমরা by দ্বারা একটি হলোগ্রাফিক রূপান্তর করি যা হোল্যান্টের মান পরিবর্তন করে না। সুতরাং, উপরের সমস্যাটি ঠিক ঠিক একইরকম$T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$

$$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$$

তারপর এটি দেখতে এই সমস্যা উপপাদ্য 1.1 দ্বারা # পি-কঠিন মধ্যে সহজ এই কাগজ ।

দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ

শুধু আপনার পূর্ববর্তী প্রশ্ন , একই সমস্যা দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ অবধি সীমিত নিয়ন্ত্রণ করা অনেক কঠিন এবং আমি বিশ্বাস এটি এখনও একটি খোলা সমস্যা। ট্র্যাকটেবল কেসগুলি সম্পর্কে আমাদের একটি অনুমান আছে (এবং আমি দেখতে পাচ্ছি যে আপনার সমস্যাগুলির মধ্যে একটি কিনা কিনা) তবে আমি মনে করি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকা সত্ত্বেও আপনার সমস্যাটি এখনও # পি-হার্ড রয়েছে।

Comments

এই প্রশ্নের জন্য আপনার সময় উত্সর্গ করার জন্য এবং এইরকম বিস্তারিত উত্তর দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। হোলান্ট কাঠামোর সাথে পরিচিত না হওয়ায় আমার এটি বিশ্লেষণ করতে এবং আপনার যুক্তিটি সম্পূর্ণরূপে বিপ্লব করার জন্য আমার কিছুটা সময় প্রয়োজন হবে (অবশ্যই আমি এর সঠিকতা নিয়ে কোনও সন্দেহ করি না, এটি কেবলমাত্র আমি প্রতিটি পদক্ষেপ বুঝতে চাই, কেবল উপসংহারে নয়) । দ্বি দ্বিপক্ষীয়তা সীমাবদ্ধতার জন্য যে উদ্বেগ রয়েছে, তার জন্য হ্যাঁ আপনি যদি আপনার ট্র্যাকটেবল কেসগুলি অনুমান করে আমার সমস্যাটি অন্তর্ভুক্ত করে তা পরীক্ষা করে দেখতে পারলে সত্যিই খুব ভাল লাগবে।

— জর্জিও ক্যামেরানি