উচ্চতর জেনাসের গ্রাফগুলির জন্য শক্ত সমস্যা

Question

প্ল্যানার গ্রাফের জেনাস শূন্য থাকে। টরাসটিতে এম্বেডযোগ্য গ্রাফগুলির বেশিরভাগ জেনাস থাকে 1. আমার প্রশ্নটি সহজ:

• প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে বহুজাতীয়ভাবে সমাধানযোগ্য তবে জিনাসের গ্রাফের এনপি-হার্ডে এমন কি কোনও সমস্যা আছে?

• জেনাস জি এর গ্রাফগুলিতে বহুলোকভাবে সমাধানযোগ্য তবে জেনাস> জি এর গ্রাফগুলিতে এনপি-হার্ড সাধারণত কোন সমস্যা আছে?

Comments

দ্বিতীয় প্রশ্নের জন্য, আপনি কি চান চান যে সমস্যাটি জিএনএস> = কে এর গ্রাফের জন্য এনপি-হার্ড হোক, যেখানে কে জি এর চেয়ে ধ্রুবক বড়? বা আপনি কি কেবল গ্রাফের চেয়ে কম সমস্যা নয় এমন গ্রাফের জন্য সমস্যাটি এনপি-হার্ড হতে চান (যা সাধারণ গ্রাফের জন্য এটি এনপি-হার্ড হওয়ার সমতুল্য)?

— রবিন কোঠারি

আমি জেনাস> = কে এর গ্রাফের জন্য এনপি-হার্ড সমস্যাগুলি খুঁজছি, যেখানে কে জি থেকে ধ্রুবক বৃহত্তর।

— শিব কিন্তালী

Answer 1

এটি আমার নিজের কাজের প্রচার, তবে ক্রসিং নম্বর এবং 1-পরিকল্পনাটি প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে তুচ্ছভাবে সমাধানযোগ্য তবে জেনাসের একের গ্রাফের পক্ষে শক্ত। Http://arxiv.org/abs/1203.5944 দেখুন

Comments

"একটি গ্রাফ একটি প্রান্ত যোগ করে প্ল্যানার গ্রাফ থেকে প্রাপ্ত করা যায় যদি এটি কাছাকাছি-পরিকল্পনাকারী হয় A গ্রাফটি 1-প্ল্যানার হয় যদি এটির একটি অঙ্কন থাকে যেখানে প্রতিটি প্রান্তটি অন্য এক প্রান্তের পাশ দিয়ে যায়। আমরা দেখাই যে এটি এনপি - প্রদত্ত কাছাকাছি-পরিকল্পনাকারী গ্রাফটি 1-প্ল্যানার কিনা তা স্থির করার জন্য। " আমি নিশ্চিত কিছু একটা ভুলে যাচ্ছি। কেন প্রতিটি নিকট-পরিকল্পনাকারী গ্রাফ 1-প্ল্যানার হয় না?

— টাইসন উইলিয়ামস

আমার মনে হয় আপনি যা বলছেন তা হ'ল আপনি কেবল এর এমনিডিং প্ল্যানার নিতে পারেন এবং প্রান্তটি আবার যুক্ত করতে পারেন However তবে, এই অতিরিক্ত প্রান্তটি 1-পরিকল্পনার লঙ্ঘন করে একাধিক প্রান্তকে অতিক্রম করতে পারে। $G-e$

— টিমোথি সান

পছন্দ করুন ব্যতীত প্রতিটি প্রান্ত একবারে ( ই দ্বারা ) অতিক্রম করা হবে তবে ই একাধিক প্রান্ত পেরিয়ে যেতে পারে, এটি অনুমোদিত নয়। ধন্যবাদ। $e$$e$$e$

— টাইসন উইলিয়ামস

Answer 2

খেলনা সমস্যা ভাল থাকলে:

যাক দিন এইচ মহাজাতি কিছু গ্রাফ হতে ছ + + 1 । জন্য φ একটি CNF-সূত্র, দিন জি φ কিছু এনকোডিং হতে φ একটি প্ল্যানার গ্রাফ হিসাবে প্লাস একটি অসংলগ্ন করা কপি $g\in\mathbb{N}$$H$$g+1$$\phi$$G_\phi$$\phi$$H$ ।

প্রদত্ত , যা মহাজাতি গ্রাফ হয় ছ + + 1 , এটা সিদ্ধান্ত নিতে হবে দ্বারা NP-কঠিন φ Satisfiable হয়। জেনাস graph g এর গ্রাফগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকাকালীন এই সমস্যাটি তুচ্ছ হয়ে ওঠে ।$G_\phi$$g+1$$\phi$$\leq g$

Comments

জেনাস গ্রাফগুলিতে এই সমস্যাটি কী$\leq g$

— সাশো নিকোলভ

সমস্ত গ্রাফের জেনাস জি + 1 রয়েছে । সুতরাং, যদি আপনি মহাজাতি গ্রাফ সমস্যা সীমাবদ্ধ ছ , আপনি সবসময় প্রত্যাখ্যান করতে পারেন। $G_\phi$$g+1$$g$

— রাদু কর্টিকাপিয়ান

আহ, এটি সত্যিই তুচ্ছ হয়ে ওঠে , আমি দেখছি

— সাশো নিকোলভ

Answer 3

সম্পাদনা (2012-09-05): জেফ এবং রাদুর মন্তব্য সঠিক। উদ্ধৃত ফলাফল প্রশ্নের উত্তর দেয় না। Radu এর মন্তব্যে প্রসারিত করার জন্য, এখানে একটি সংশ্লিষ্ট আলগোরিদিম Bravyi যার উপর ঠিকাদারি matchgate tensors জন্য একটি অ্যালগরিদম দেয় গ্রাফ সঙ্গে মহাজাতি ছ রান সময়ের সাথে সাথে টি = P ণ ঠ Y ( এন ) + + 2 2 ছ হে ( মি 3 ) এটিকে পরিকল্পনাকারী করার জন্য যেখানে মিটার ন্যূনতম সংখ্যাকে জি থেকে অপসারণ করতে হবে।$G$$g$$T=poly(n) + 2^{2g} O(m^3)$$m$$G$

---

কাই, লু, এবং জিয়া সম্প্রতি # সিএসপি গণনা সমস্যার জন্য নিম্নলিখিত দ্বৈতত্ত্ব প্রমাণ করেছেন:

আমরা সিএসপি সমস্যাগুলি গণনা করার কাঠামোর মধ্যে জটিলতা দ্বিবিদ্যা সংক্রান্ত উপপাদাগুলি প্রমাণ করি। স্থানীয় সীমাবদ্ধ ফাংশনগুলি বুলিয়ান ইনপুট গ্রহণ করে এবং নির্বিচারে বাস্তব-মূল্যবান প্রতিসাম্য ফাংশন হতে পারে। আমরা প্রমাণ করি যে, এই শ্রেণীর প্রতিটি সমস্যা অবশ্যই তিনটি বিভাগের অন্তর্গত:

(1) সাধারণ গ্রাফগুলিতে যা ট্র্যাকটেবল (অর্থাত্ বহুপদী সময় গণনাযোগ্য) বা
(২) যা সাধারণ গ্রাফগুলিতে # পি-হার্ড তবে পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলিতে ট্র্যাকটেবল , বা
(৩) যা # পি-হার্ড এমনকি প্ল্যানার গ্রাফগুলিতে

শ্রেণিবদ্ধ মানদণ্ড সুস্পষ্ট।

Comments

এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় না। বিভাগ (2) কে প্ল্যানার গ্রাফের জন্য ট্র্যাকটেবল (2a) বিভক্ত করা যেতে পারে তবে টেরয়েডাল গ্রাফের জন্য # পি-হার্ড এবং সীমানা-জেনাসের গ্রাফের জন্য (2 বি) ট্র্যাকটেবল তবে আনবাউন্ডেড-জেনাসের গ্রাফের জন্য # পি-হার্ড?

— জেফি

কেস (2) এ এমন সমস্যা রয়েছে যা স্থানীয় প্ল্যানার গ্যাজেটগুলি প্রবর্তন করে পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলিতে নিখুঁত ম্যাচিং গণনা হ্রাস করা যায়। এটি আরও জানা যায় যে নিখুঁত মিলগুলি সীমানা-জেনাসের গ্রাফগুলিতে বহুপদী সময়ে গণনা করা যায়। সুতরাং, (2) ক্ষেত্রে সমস্ত সমস্যা সীমাবদ্ধ-জেনাস গ্রাফগুলিতে ট্র্যাকটেবল able

— রাদু কার্টিকাপিয়ান

Answer 4

$g$$g$$X_g$$g$$g$$g$$X_g$ (or both)?" is NP-complete for general input but has a polynomial-time algorithm when the input is restricted to graphs of genus at most $g$.

This idea can be used quite generally to produce problems that are "hard" on general graphs but "easy" on some class $\mathcal C$ of graphs, as long as it is "easy" to determine membership in $\mathcal C$.