একটি গ্রাফের সম্মিলিত এম্বেডিং

Question

এখানে: http://www.planarity.org/Klein_elementary_ographic_theory.pdf (অধ্যায় এম্বেডিংগুলিতে) প্ল্যানার গ্রাফের সংযুক্তি এম্বেডিংয়ের সংজ্ঞা দেওয়া হয় is (মুখের সংজ্ঞা এবং এর সাথে) যদিও এটি কোনও গ্রাফের জন্য সহজেই ব্যবহার করা যায় তবুও তারা প্ল্যানার গ্রাফটিকে গ্রাফ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে, যার জন্য অয়লার সূত্রটি ধরে রেখেছে (ধরে নেওয়া যায় যে গ্রাফটি সংযুক্ত আছে)। এটি বেশ অনেকটা বোধগম্য যে প্রতিটি প্লেনের গ্রাফের জন্য সম্মিলিত এমবেডিংয়ে মুখগুলির সংজ্ঞা টপোলজিকাল এম্বেডিংয়ের মুখগুলির সংজ্ঞার সাথে সমান। (ধরে নিই যে গ্রাফটি সংযুক্ত আছে। অন্যথায় সংযুক্ত এম্বেডিংয়ে আমাদের প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানগুলির জন্য অসীম মুখ থাকবে)

প্রশ্নটি হল: যদি কিছু সংযুক্ত গ্রাফের জন্য এটি সম্মিলিত এম্বেডিং ইউলারের সূতাকে সন্তুষ্ট করে, এর অর্থ এই গ্রাফটি টপোলজিকাল অর্থে প্ল্যানার (এটি প্লেন এমবেডিং রয়েছে, অর্থাৎ এটি প্লেন গ্রাফ)?

Comments

পরে এই কাগজটিতে তারা একটি উত্তর দেয় যে এটি সম্ভব। কিন্তু কেউ কি প্রমাণের জন্য কিছু লিঙ্ক দিতে পারেন?

— ফিনস্কি

Answer 1

এটি প্রতি সেগ্রাফের তুলনায় সত্যিই কম এবং টপোলজি সম্পর্কে আরও কম। একটি সম্মিলিত এম্বেডিং একটি 2-বহুগুণ, একটি টপোলজিকাল স্পেসকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে প্রতিটি পয়েন্টের সাথে 2-মাত্রিক খোলা ডিস্কের প্রতিবেশী হোমোমর্ফিক থাকে: এম্বেডিংটি একটি মুখকে সংজ্ঞায়িত করতে দেয় এবং আমরা প্রতিটিটির জন্য একটি ডিস্ক বেছে নিয়ে টোপোলজিকাল স্পেস নির্ধারণ করতে পারি গ্রাফ প্রান্ত বরাবর তাদের মুখ এবং gluing। টপোলজিতে একটি সুপরিচিত উপপাদ্য (যা 2-মণিফোল্ডগুলির শ্রেণিবিন্যাস বলা হয়) ঠিক দুটি-ম্যানিফোল্ডগুলি সম্ভব তা আমাদের জানায় এবং তারা উভয়ই একে অপরকে পৃথক করে তোলে হয় সেগুলি প্রাচ্যযোগ্য বা তাদের একই অলারের বৈশিষ্ট্য রয়েছে (বা উভয়ই) ) - দেখুন http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/surgery/zeeman.pdfএই বিষয়ে কিছু যুক্তিসঙ্গত বক্তৃতা নোটগুলির জন্য, যার মধ্যে আপনি যা চাইছেন সেই প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এই শ্রেণিবিন্যাসে অন্য কোনও 2-ম্যানিফোল্ডস নেই যা গোলকের মতো একই অয়লারের বৈশিষ্ট্যযুক্ত, তাই আপনি যদি অয়লার বৈশিষ্ট্যটি গণনা করেন এবং এটি একটি গোলকের সূত্রের সাথে মিলে যায় তবে আপনি জানেন যে আপনার এম্বেডিং অবশ্যই একটি গোলকের মধ্যে হওয়া উচিত।

প্লেনটিতে প্রকৃত জ্যামিতিক স্থানাঙ্কের সাথে এম্বেডিং সন্ধান করা, একবার আপনার প্ল্যানার মিশ্রণটি এম্বেডিং হয়ে গেলে তা সম্পূর্ণরূপে তুচ্ছ নয় তবে উদাহরণস্বরূপ শ্নইডার উডসের তত্ত্বটি ব্যবহার করে করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/schnyder/ এ আমার কিছু বক্তৃতা নোট রয়েছে ।

Comments

এত বিস্তৃত উত্তরের জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ! আমি প্রথম কাগজ পড়েছি এবং মনে হয় আমি প্রমাণটি বুঝতে পেরেছি। তবে আমার একটি প্রশ্ন বাকী আছে: এর অর্থ কি এই যে আমরা যদি যা পছন্দ করি পৃষ্ঠতলের সংজ্ঞা দিই (আমি বোঝাতে চাইছি কিছুটা স্বেচ্ছাসেবী উপসেট, কাউন্টারকোরিয়াল ক্রম এবং স্টাফ সহ এম্বেডিংয়ের মতো নয়), সমস্তকে একসাথে এমনভাবে আঠালো করুন আঠালো কেবল 2 পৃষ্ঠের প্রান্তগুলি ভাগ করে নেওয়ার জন্য, প্রান্তের শেষ বিন্দুতে 'নট' সংক্ষেপ হিসাবে উল্লম্ব হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং যদি অয়লারের সূত্র ধরে থাকে তবে এটি কি প্ল্যানার গ্রাফ?

— ফিনস্কি

আপনার যত্নবান হতে হবে যে আপনি বহুগুণ পান: এম্বেডিংয়ের মুখগুলি টোপোলজিকাল ডিস্কগুলি হওয়া উচিত, আপনাকে কোনও প্রান্তবিহীন প্রান্ত ছেড়ে যাওয়ার অনুমতি দেওয়া হবে না, প্রতিটি প্রান্তটি কেবল একটি অন্য প্রান্তে আঠালো হওয়া উচিত এবং প্রতিটি শীর্ষে কেবলমাত্র হওয়া উচিত প্রান্ত এবং মুখগুলির একটি চক্র চারপাশে আঠালো (যদি আপনি দুটি টি শঙ্কু তাদের টিপসগুলিতে একসাথে আঠালো করেন তবে কী পাবেন তা নয়)। এছাড়াও আপনাকে হয় একটি সংযুক্ত গ্রাফ দিয়ে শুরু করতে হবে, বা প্রতিটি উপাদানগুলির জন্য পৃথক পৃথকভাবে ইউলারের বৈশিষ্ট্য গণনা করতে হবে। তবে যদি সমস্ত সত্য হয় এবং অয়লারের সূত্রটি ধরে রাখে তবে হ্যাঁ, এটি পরিকল্পনাকারী।

— ডেভিড এপস্টিন

হ্যাঁ, এই মামলাগুলি সম্পর্কে ভুলে গেছেন, অবশ্যই তাদেরও ধরে রাখতে হবে। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ!

— ফিনস্কি