এ অভিন্ন বিতরণ করা পয়েন্টসেটে লোভী স্প্যানারের দীর্ঘতম প্রান্ত দৈর্ঘ্য

যাক একটি সেট হতে পয়েন্ট । যে কোনও , স্প্যানার হ'ল ইউক্লিডিয়ান পরিমাপের অধীনে একটি অনির্দেশিত গ্রাফ , যেমন কোনও দুটি বিন্দুর জন্য , , , সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত দূরত্ব , সর্বাধিক হয় মধ্যে Euclidian দূরত্ব বার এবং , $P$ $N$ $\mathbb{R}^d$ $t \geq 1$ $t$ $G=(P, E)$ $v$ $u$ $G$ $d(v, u)$ $t$ $v$ $u$ $|v u|$ (নোট করুন যে এই সংজ্ঞাটি সহজেই নির্বিচারে পরিমাপের স্থানগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে)।

ইনপুট হিসাবে এবং দিয়ে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন: $P$ $t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

এই অ্যালগরিদম তথাকথিত লোভী স্প্যানার (বা পথ-লোভী স্প্যানার) গণনা করে। এই গ্রাফটি যথেষ্ট গবেষণার বিষয়বস্তু হয়েছে: এটি অনুশীলন এবং তত্ত্ব উভয়ই অত্যন্ত ভাল স্প্যানার উত্পাদন করে।

আমি লোভী স্প্যানারের দীর্ঘতম প্রান্তের দৈর্ঘ্যে আগ্রহী যদি সমানভাবে বিতরণ করা হয় (ডি = 2টিও ঠিক আছে)। আমি অনুমান করি যে এই সর্বাধিক দৈর্ঘ্য সর্বাধিক প্রায় $P$ $[0,1]^d$ , সম্ভাব্যভাবে কিছু লগ উপাদান এবং কারণের সাথে। এই অনুমানটি পরীক্ষামূলক ডেটা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়। $1 / \sqrt{N}$ $d$

আমার আগ্রহের কারণ হ'ল আমার কাছে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা লোভী স্প্যানারের দ্রুত গণনা করে যদি দীর্ঘতম প্রান্তের দৈর্ঘ্য তুলনামূলকভাবে কম হয়। যদি উপরেরটি সঠিক হয়, তবে এর অর্থ হ'ল আমার অ্যালগরিদম উপরের দৃশ্যের জন্য প্রযোজ্য, এবং সেইজন্য অনুশীলনে সম্ভবত এটি কার্যকর।

আমি এলোমেলোভাবে বিতরণ করা পয়েন্টসেটগুলিতে প্রান্তের সংখ্যা এবং অন্যান্য ধরণের স্প্যানারের ডিগ্রি বিশ্লেষণ করে কিছু কাগজপত্র পেয়েছি, তবে দীর্ঘতম প্রান্তটির দৈর্ঘ্যের কোনওটিই নেই। জড়িত সম্ভাবনা তত্ত্বটি বরং জটিল বলে মনে হয়েছিল, তাই আমি নিজেকে প্রত্যাশার চেষ্টা করার আগে কিছু জানা ছিল বলে আশা করছিলাম।

cg.comp-geom

— অ্যালেক্স টেন ব্রিংক
সূত্র

আমাদের কাগজে লোভী স্প্যানারের ডিস্ট্রিবিউশন-সংবেদনশীল নির্মাণ (ইএসএ 2014 এর জন্য গৃহীত) আমরা নিম্নলিখিতটি প্রমাণ করি (উপপাদ্য 4 এবং লেমা 6 এর সংমিশ্রণে):

বিদ্যমান শুধুমাত্র উপর নির্ভরশীল যেমন যে প্রত্যেক জন্য , যদি পয়েন্ট অবিশেষে এবং স্বাধীনভাবে একটি এলোমেলোভাবে বিতরণ একটি সেট $c_t$ $t$ $c > 0$ $P$ বর্গক্ষেত্র এবংযথেষ্ট বড়, তারপরে সম্ভাব্যতার সাথে কমপক্ষে,তেলোভীস্প্যানারেরচেয়ে বেশি প্রান্ত থাকে না। $\sqrt{n} \times \sqrt{n}$ $n$ $1 - n^c$ $t$ $P$ $c \cdot c_t \log n$

আমাদের আবদ্ধ হওয়া মোটামুটি বড়, তবে আমাদের কাছে পরীক্ষামূলক প্রমাণ রয়েছে যে 'ডান' আবদ্ধ is $c_t$ । $\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$

— অ্যালেক্স টেন ব্রিংক
সূত্র