প্ল্যানার গ্রিড থেকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত পয়েন্টগুলিতে সংক্ষিপ্ততম হ্যামিলটোনীয় পাথের প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য কত?

$k$ স্বতন্ত্র পয়েন্টগুলি এ থেকে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয় $p\times q$ গ্রিড। (একথাও ঠিক যে $k\leq p\times q$ এবং একটি প্রদত্ত ধ্রুবক সংখ্যা)) এগুলি থেকে একটি সম্পূর্ণ ওজনযুক্ত গ্রাফ তৈরি করা হয় $k$ শীর্ষবিন্দুগুলির মধ্যে প্রান্তের ওজনের মতো বিন্দুগুলি $i$ এবং ভার্টেক্স $j$ মূল গ্রিডে দুটি উল্লম্বের ম্যানহাটনের দূরত্ব সমান।

আমি এগুলির মধ্য দিয়ে ক্ষুদ্রতম (সর্বনিম্ন মোট ওজন) হিমিলটনীয় পাথের প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্যের গণনা করার জন্য একটি কার্যকর উপায় সন্ধান করছি $k$ নোড। আরও স্পষ্টভাবে, নিম্নলিখিত নিখুঁত পদ্ধতির পছন্দসই নয়:

$\bullet$ কে নোডের সমস্ত সংমিশ্রণের জন্য সঠিক পাথের দৈর্ঘ্য গণনা করা এবং প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য প্রাপ্ত।

$\bullet$ ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ ব্যবহারের বুনিয়াদি হিউরিস্টিক ব্যবহার করে কে নোডের সমস্ত সংমিশ্রনের জন্য প্রায় পাথের দৈর্ঘ্যের গণনা করা যা 50% পর্যন্ত ত্রুটি দেয়। (কম ত্রুটির সাথে আরও ভাল হিউরিস্টিক সহায়ক হতে পারে)

— জাভেদ
সূত্র

বর্তমানে, দক্ষ অ্যালগরিদমের কোনও আশা নেই যেহেতু প্ল্যানার গ্রিডে অদ্বিতীয় হ্যামিল্টোনীয় পাথ সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আপনি যখন হ্যামিলটোনীয় পাথের কথা বলছেন, আপনি কি ক্ষুদ্রতম ওজন সহ (যেমন ট্র্যাভেল সেলসম্যান সমস্যা) হিমিলটোনীয় পাথ সম্পর্কে সন্ধান করছেন?

— a3nm

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি হ্যাম পাঠের কঠোরতা অবশ্যই বাধা নয়, যেহেতু ওপি কেবল এলোমেলো পয়েন্টগুলির জন্য অনুমান মাত্র।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ a3nm হ্যাঁ, এবং আমি এটি ঠিক করেছি।

— সুরেশ ভেঙ্কট

এর অনেক এলোমেলো নমুনার জন্য নির্ভুল ট্যুর দৈর্ঘ্য গণনা করার ক্ষেত্রে কী ভুল

k

$k$ পয়েন্টগুলি, এবং প্রত্যাশা এবং মান বিচ্যুতির সন্ধান? আপনার কত বড় দরকার

k, p, q

$k, p, q$ হতে হবে?

— পিটার শর

ধরে নিচ্ছি যে $p$ এবং $q$ মোটামুটি বড়, কেউ আশা করতে পারেন যে প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য মূলত ঘনত্বের উপর নির্ভর করে, পরিধির উপর নির্ভর করে কিছু সংশোধন শব্দ রয়েছে। সুতরাং এটি প্রথম অর্ডার করতে নীচের ফর্মটির একটি ফাংশন হবে।

এল \approx (পি কুই ট)^{1 / 2} চ (ট / পি কুই) + + (পি + + কুই) ছ (ট / পি কুই) ।

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

এখন, আপনি কী আকারে বের করতে আরও ছোট আকারের সমস্যা নিয়ে পরীক্ষা-নিরীক্ষা ব্যবহার করতে পারেন $f$ এবং $g$ আছে। প্রথমে অনুমান করা $f$ , আপনি কোনও সীমা ছাড়াই কোনও নমুনায় পরীক্ষা-নিরীক্ষা করতে চান: এটির সবচেয়ে সহজ উপায় হ'ল একটি $p\times p$ বাম দিকটি ডানদিকে এবং নীচে শীর্ষে সংযুক্ত একটি গ্রাস গঠন করে একটি টরাস তৈরি করে। অনুমান $g$ , আপনি একটি উপর পরীক্ষা ব্যবহার করতে পারেন $p \times q$ গ্রিড।

অনুমানের জন্য, আপনাকে তুলনামূলকভাবে বড় টিএসপি সমাধান করতে হবে (ঠিক বা আনুমানিক), যেহেতু আপনি অনুমানের জন্য যত বেশি বেশি ব্যবহার করেন, আপনার ফলাফল তত ভাল হবে। আপনি হয় কয়েক শতাংশের মধ্যে আসা হিউরিস্টিক্স বা সঠিক টিএসপি কোডটি ব্যবহার করতে পারেন। কিছু ভাল heuristic জন্য এখানে দেখুন । বিল কুকের কনকর্ড টিএসপি সল্ভার যুক্তিসঙ্গতভাবে বড় উদাহরণগুলির জন্য সঠিক সর্বোত্তমটি খুঁজে পাবেন (এটি সেরা টিএসপি কোড উপলব্ধ available) এবং একাডেমিক গবেষণার জন্য বিনা মূল্যে ব্যবহার করা যেতে পারে।

— পিটার শোর
সূত্র

টিএসপিএলবি থেকে পরিভাষাটি ব্যবহার করে , আমি এসএসপি নয় টিএসপি খুঁজছিলাম। গুণমান

E [L]

$E[L]$ টিএসপি দ্বারা গণনা করা

(k - 1) / k

$(k-1)/k$ এসওপি-র জন্য একটি উচ্চতর বাউন্ড দেয়। দুর্ভাগ্যক্রমে, কনকর্ডে টিএসপি সলভার এসওপিগুলি পরিচালনা করে না এবং আমি কোনও এসওপি সলভার অনলাইনে খুঁজে পাইনি।

— জাভাদ

আমি গণনা করার জন্য অনুমান

E [L]

$E[L]$ , কেস বড় হয়

L

$L$ এর এবং আরও ছোট

L

$L$ এর চারপাশে সমানভাবে বিতরণ করা হয়

E [L]

$E[L]$ সুতরাং, কেউ একটি ব্যবস্থা খুঁজে পেতে একটি গঠনমূলক পদ্ধতির সাথে আসতে পারে

k

$k$ গ্রিডে পয়েন্টগুলি (সম্ভবত প্রায়) দেয়

E [L]

$E[L]$ । এই জাতীয় ব্যবস্থা সন্ধান করা স্পষ্টতই নাটকীয়ভাবে গণনার ব্যয় হ্রাস করবে।

— জাভাদ

আমি সহগের কারণটিও বেশ বুঝতে পারিনি

k^{2}

$k^2$ । কেন হবে না

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$ ? এর ক্ষুদ্রতর মানগুলির জন্য এই আনুমানিক সূত্রটি কীভাবে পরিবর্তন হয়

p

$p$ এবং

q

$q$ ?

— জাভাদ

@ জাভাদ: ভাল প্রশ্ন আমি ভুল ছিলাম, কারণ আমি একরকম ভাবছিলাম

k^{2}

$k^2$ আমি যখন আমার উত্তর লিখেছি পয়েন্টগুলি। সহগ আমার ধারণা থেকে আসে যে

p \times q

$p\times q$ গ্রিডের ইউনিট দৈর্ঘ্যের প্রান্ত রয়েছে, তাই পুরো অঞ্চলটি আকার

p \times q

$p \times q$ । গড় প্রান্ত দৈর্ঘ্যের হওয়া উচিত

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$ , এবং সেখানে

k

$k$ প্রান্ত, তাই আপনি চাইলে

f

$f$ মোটামুটি অবিচ্ছিন্ন থাকার জন্য, প্রথম পদটি হওয়া উচিত

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$ ।

— পিটার শর

জন্য

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$ , টিএসপি দৈর্ঘ্যের এবং এসওপি দৈর্ঘ্যের মধ্যে পার্থক্যটি প্রায় নগণ্য হওয়া উচিত।

— পিটার শোর