এলোমেলো গ্রাফে হ্যামিল্টোনীয় চক্রের সংখ্যা

Question

আমরা ধরে নিই যে । তারপরে নিম্নলিখিত বিষয়গুলি সুপরিচিত:$G\in G(n,p),p=\frac{\ln n +\ln \ln n +c(n)}{n}$

$$\begin{eqnarray} Pr [G\mbox{ has a Hamiltonian cycle}]= \begin{cases} 1 & (c(n)\rightarrow \infty) \\ 0 & (c(n)\rightarrow - \infty) \\ e^{-e^{-c}} & (c(n)\rightarrow c) \end{cases} \end{eqnarray}$$

আমি এলোমেলো গ্রাফগুলিতে হ্যামিলটনিয়ান চক্রের সংখ্যা সম্পর্কে ফলাফল জানতে চাই।

চতুর্থাংশ 1। এ হ্যামিলটনিয়ান চক্রের প্রত্যাশিত সংখ্যা কত ?$G(n,p)$

Q2 এর। সম্ভাব্যতা কি প্রান্ত সম্ভাব্যতা জন্য উপর ?$Pr [G \textrm{ has a *unique* Hamiltonian cycle}]$$p$$G(n,p)$

Comments

আপনি সম্ভবত Q1 এর উত্তর দিতে পারেন। ইঙ্গিত: প্রত্যাশার লিনিয়ারিটি।

— যুবাল ফিল্মাস

Answer 1

ইউভাল যেমন বলেছিলেন, প্রত্যাশার লিনিয়ারিটি ব্যবহার করে কিউ 1 উত্তর দেওয়া সহজ (স্পয়লার: )। আমি কিউ 2 এর সঠিক উত্তরটি জানি না, তবে এটি খুব ভাল হতে পারে যদি আপনি এটি খুব কম জানেন: এর পরিসীমা যেখানে কমপক্ষে একটি চক্র রয়েছে, এটি ধরে রেখেছে যে পি [\ পাঠ্য {একাধিক রয়েছে চক্র} | \ পাঠ্য {অন্তত একটি চক্র রয়েছে}]> 1-1 / n n {\ লগ এন} বা আরও so অন্য কথায়, একবার যখন একটি চক্র হয়, সেখানে অনেকগুলি থাকে। কারণটি হ'ল একবার যখন একটি চক্র হয়, তখন দুটি "ক্রসিং" প্রান্ত দ্বারা চক্রের দুটি প্রান্ত বিনিময় করে এর থেকে অন্য চক্র তৈরির প্রায় N ^ 2 টি উপায় থাকে (এটিকে "2-ফ্লিপ" বা এর মধ্যে কিছু বলা হয়) কিছু প্রাসঙ্গিক সাহিত্য)। যে কোনও প্রান্তের প্রান্তের জন্য, আপনি যে সুযোগটি করতে পারেন তা হ'ল পি ^ 2$(n-1)!p^n$$p$$P[\text{there is more than one cycle} | \text{there is at least one cycle}]>1-1/n^{\log n}$$n^2$$p^2$। সুতরাং এই সমস্তগুলি ব্যর্থ হওয়ার জন্য, সুযোগটি যা মোটামুটি , যা বেশ ছোট।$(1-p^2)^{n^2}$$e^{-(pn)^2}$