জেনাস সমস্যার আনুমানিকতা

Question

জেনাস সমস্যার আনুমানিকতা সম্পর্কে বর্তমানে কী জানা যায়? প্রাথমিক অনুসন্ধান আমাকে জানিয়েছে যে পর্যাপ্ত ঘন গ্রাফগুলির জন্য একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর অনুমানের পরিমাণ নগণ্য এবং একটি ps অ্যাপপ্রক্সিমেশন অ্যালগরিদম বাতিল করা হয়েছে। এই তথ্যটি কি আপ-টু-ডেট আছে, বা এর চেয়ে আরও ভাল সীমাটি জানা যায়?$n^\epsilon$

Answer 1

জিয়ানার চেন, সরোজা পি। কাঞ্চি এবং আরকাদি কানেভস্কির 1997 এর একটি গবেষণাপত্রে সর্বাধিক প্রকাশিত ফলাফলগুলি প্রকাশিত হয়েছে ।

• যেকোন স্থির জন্য একটি গ্রাফের সংযোজন ত্রুটিযুক্ত সাথে এনপি-হার্ড।ও ( এন ε$\varepsilon>0$$O(n^\varepsilon)$

• জেনাস কোন প্রাচুর্য পৃষ্ঠে (অজানা) জেনাস এর কোনও ভারটেক্স গ্রাফ এম্বেড করার জন্য একটি তুচ্ছ লিনিয়ার-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে : প্রতিটি প্রান্তকে রেখে প্রান্তগুলিতে একটি স্বেচ্ছাচক্রীয় ক্রম বরাদ্দ করুন (লুপ এবং সমান্তরাল প্রান্ত একসাথে রেখে)) অন্য কথায়, যখন জেনাসটি বড় হয়, প্রতিটি এম্বেডিং সেরা এমবেডিংয়ের একটি ভাল অনুমান ।$n$$g$$\max\{4g, g+4n\}$

• সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি গ্রাফের জন্য বহু-কালীন -প্রক্রোসমেশন অ্যালগরিদম রয়েছে।$O(\sqrt{n})$

এটি একটি খোলামেলা প্রশ্ন যা একটি কার্যকর ধ্রুবক-গুণক আনুমানিক অ্যালগরিদম আছে কিনা।

Comments

আমি বুঝতে পারি না এটি কীভাবে [চেন, কাঞ্চি, ক্যানভস্কি '97] থেকে অনুসরণ করে যে গুণ এর গুণনীয় অনুমানের সাথে বংশের গণনা করা হচ্ছে এনপি-হার্ড। উদাহরণস্বরূপ, একটি অ্যাডিটিভ আনুমানিক are ওয়ার্পসিলন সাথে ম্যাক্স সিউটি কম্পিউটিং করাও এনপি-হার্ড, তবে গোম্যানস এবং উইলিয়ামসনের অ্যালগোরিদম 0.878 ... প্রায় দেয় gives ও ( এন ε$O(n^{\varepsilon})$$O(n^{\varepsilon})$

— ইয়ুরি

হ্যাঁ আপনি ঠিক. আমি আপনার আলোকে আমার উত্তর আপডেট করেছি।

— জেফি

Answer 2

আমি জে ff ই এর ব্যাপক উত্তরে যুক্ত করতে চেয়েছিলাম যে আমার জ্ঞানের সেরা দিক থেকে এই সমস্যার জন্য আনুমানিক ফ্যাক্টরের কোনও নিম্ন সীমানা নেই। যতদূর আমরা জানি, একটি আনুমানিক অ্যালগরিদম থাকতে পারে যা সর্বদা একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টরটির সান্নিধ্য দেয় (এমনকি জেনাস খুব ছোট হলেও)।

চেন, কাঞ্চি, এবং কেনেভস্কি [সিকেকে '97] কাগজটি কেবলমাত্র বলেছে যে জেনাসকে সংযোজনীয় ত্রুটি are ওয়ারেপসিলন সাথে গণনা করা এনপি-হার্ড। এখানে তাদের যুক্তির খুব অনানুষ্ঠানিক রূপরেখা দেওয়া হল। এটি পরিষ্কার হয়ে যাবে যে এই যুক্তিটি আনুমানিক ফ্যাক্টরের উপর নিম্ন সীমাবদ্ধ প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যায় না। একটি গ্রাফ বিবেচনা করুন যে বা (কিছু ) কিনা তা নির্ধারণ করা এনপি-হার্ড ; সমস্যাটি এনপি-হার্ড হওয়ায় এ জাতীয় গ্রাফ উপস্থিত রয়েছে। যাক মধ্যে ছেদচিহ্ন সংখ্যা হতে । একটি বৃহত ধ্রুবক হতে দিন । গ্রাফের অনুলিপিগুলিকে নিনG g e n u s ( G ) ≤ g ∗ g e n u s ( G ) ≥ g ∗ + 1 s ( G ′ ) ≥ N ( g ∗ + 1 ) g e n u s ( জি ′$O(n^{1-\varepsilon})$$G$$\mathrm{genus}(G) \leq g^*$$\mathrm{genus}(G) \geq g^*+1$ এন জি কে এন = এন কে জি জি ′ জি ই এন ইউ এস ( জি ′ ) ≤ এন জি ∗ জি ই এন $g^*$$n$$G$$k$$N = n^k$$G$এবং তাদের ইউনিয়ন বিবেচনা করুন। তারপর প্রাপ্ত গ্রাফে , এটা নির্ধারণ করতে এন পি-কঠিন কিনা বা । অর্থাৎ, অ্যাডিটিভ ত্রুটির সাথে গণনা করা এনপি-হার্ড, , যেখানে । এই নির্মাণটি আমাদের আনুমানিক ফ্যাক্টরের উপর কম চাপ দেয় না; অনুপাত থেকে অনুপাত সমান থেকে ।$G'$$\mathrm{genus}(G') \leq N g^*$$\mathrm{genus}(G') \geq N(g^*+1)$$\mathrm{genus}(G')$$N = (Nn)^{k/{k+1}} = |V(G')|^{k/{k+1}} = |V(G')|^{1-\varepsilon}$এন $\varepsilon = 1/(k+1)$এন জি ∗ জি ∗ + 1 জি $N(g^*+1)$$Ng^*$$g^*+1$$g^*$