দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকের পার্থক্যের ট্রেস রীতিটি কি বোঝানো হয় যে এই দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলি একই সাথে তির্যক হতে পারে?

আমি বিশ্বাস করি যে এই প্রশ্নের উত্তর সুপরিচিত; কিন্তু, দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি জানি না।

কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ে, আমরা জানি যে মিশ্র রাজ্যগুলি ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এবং দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকের পার্থক্যের ট্রেস রীতিটি দুটি মিলিত মিশ্র রাষ্ট্রের স্বাতন্ত্র্যকে চিহ্নিত করে। এখানে, ট্রেস রীতিনীতিটির সংজ্ঞাটি হ'ল ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সের সমস্ত ইগেনালুগুলির যোগফল, অতিরিক্ত গুণক গুণক 1/2 (দুটি বিতরণের পরিসংখ্যানগত পার্থক্য অনুসারে) সহ। এটি সুপরিচিত যে, যখন দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকের পার্থক্য এক হয়, তখন সংশ্লিষ্ট দুটি মিশ্র রাষ্ট্রগুলি সম্পূর্ণ পৃথক হয়ে যায়, যখন পার্থক্যটি শূন্য হয়, দুটি মিশ্র রাষ্ট্র সম্পূর্ণ পৃথক হয়ে যায়।

আমার প্রশ্ন হ'ল দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকের পার্থক্যের ট্রেস রীতিটি কি বোঝানো হয় যে এই দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলি একই সাথে তির্যক হতে পারে? এই যদি হয় তাহলে, তারপর অনুকূল পরিমাপ গ্রহণ এই দুটি মিশ্র রাজ্যের পার্থক্য মতো একই ডোমেনে দুই ডিস্ট্রিবিউশন পার্থক্য আচরণ করবে অসংলগ্ন করা সমর্থন।

quantum-computing quantum-information

— জেরেমি ইয়ান
সূত্র

ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স কী তা আপনি নির্ধারণ করতে পারবেন? এটি কি কেবল একটি ইতিবাচক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@Suresh: একটি ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স একটি hermitian ইতিবাচক semidefinite ম্যাট্রিক্স যার ট্রেস 1. সমান

— Tsuyoshi ইটো

প্রশ্নের উত্তর হ্যাঁ, কারণ ট্রেস দূরত্ব 1 হ'ল ইঙ্গিত দেয় যে দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলিতে অরথোগোনাল সমর্থন রয়েছে।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়ূশি: সম্ভবত আপনার এই মন্তব্যটি উত্তর হিসাবে লেখা উচিত?

— রবিন কোঠারি

@ রবিন: অবশ্যই, সম্পন্ন হয়েছে

— Tsuyoshi Ito

উত্তর:

আপনার আগ্রহের বিষয়টি প্রমাণ করার জন্য এখানে একটি উপায় রয়েছে।

$\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

$\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

— জন ওয়াটারস
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ, অধ্যাপক ওয়াটারস। প্রকৃতপক্ষে, আমি আপনার লেকচার নোটগুলি থেকে এই সমস্ত ট্রেস রীতি এবং ঘনত্বের ম্যাট্রিকেস স্টাফ শিখি।

— জেরেমি ইয়ান

আমি যুক্ত করতে চাই যে এই পোস্টে আলোচিত সমস্ত স্টাফ প্রফেসর ওয়াটর্সের অন-লাইন লেকচার নোট (লেকচার 3) এ পাওয়া যাবে: cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

— জেরেমি ইয়ান

হ্যাঁ. যদি দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকের ট্রেস দূরত্ব 1 এর সমান হয় তবে তাদের অরথোগোনাল সমর্থন রয়েছে এবং তাই তারা একযোগে তির্যক হয়।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

আমার অনুমানটি উত্তর হ্যাঁ, তবে আমি তার প্রমাণটি জানি না।

— জেরেমি ইয়ান

দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স স্থাপন করে এমন প্রমাণের মূল ধারণাটি যখন সনাক্তকরণের দূরত্ব এক হয় তখন সম্পূর্ণরূপে পৃথক হয়ে যায়, দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলির পার্থক্যটি তির্যক করে তোলা হয় ; তবে কীভাবে একই ভিত্তিতে দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিকগুলিকে তির্যকভাবে প্রমাণ করা যায়? সম্ভবত এই দুটি ঘনত্বের ম্যাট্রিক এই ভিত্তিতে সম্মানজনক নয়, তবে তাদের পার্থক্য। যে কেউ কিছু প্রমাণ ধারণা দিতে পারে, বা প্রমাণের জন্য কিছু রেফারেন্স দিতে পারে? ধন্যবাদ.

— জেরেমি ইয়ান