নির্দিষ্ট গণনাযোগ্য বৈশিষ্ট্য সহ সীমাবদ্ধ গ্রাফের অস্তিত্ব / অস্তিত্ব দেখানোর ফলাফলগুলি নির্দিষ্ট জটিলতার ফলাফল বোঝায়

Question

নির্দিষ্ট গণনাযোগ্য বৈশিষ্ট্য সহ সীমাবদ্ধ গ্রাফের অস্তিত্ব (বা অ-অস্তিত্ব) দেখাচ্ছে এমন কোনও পরিচিত ফলাফল কি নির্দিষ্ট জটিলতার ফলাফলকে বোঝায় (যেমন পি = এনপি)?

এখানে সম্পূর্ণরূপে একটি হাইপোটিটিকাল ফলাফল রয়েছে: যদি A, B, C এবং D এর সাথে একটি সীমাবদ্ধ গ্রাফ উপস্থিত থাকে তবে সমস্ত সর্বাধিক মিলের মধ্যে A, B, C এবং D সমস্ত থাকে বা A, B, C এবং D এর কোনটিই থাকে না , তারপরে পি = এনপি।

Comments

আপনি যখন সসীম বলছেন, তখন আপনার অর্থ বিভিন্ন মানের জন্য গ্রাফের একটি পরিবার $n$? অন্যথায় আমি বুঝতে পারি না যে একটি চূড়ান্ত আকারের বাধা কীভাবে পি এবং এনপি ভেঙে যেতে পারে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

যদি আমরা একটি গ্রাফ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করি তবে এটি আরও মজাদার প্রশ্ন। গ্রাফের সেটিং-এ কারও মনে আসে না, তবে পি = এনপি-র একটি প্রমাণ নিজেই একটি সীমাবদ্ধ বস্তু হবে।

— আনন্দ কুলকারনী

যদি প্রশ্নটি আক্ষরিক অর্থে ব্যাখ্যা করা হয় তবে উত্তরটি তুচ্ছভাবে হ্যাঁ। যেহেতু গ্রাফ এবং বিট স্ট্রিংগুলির মধ্যে দক্ষভাবে গণনাযোগ্য এক-থেকে-এক যোগাযোগযোগ্যতা রয়েছে তাই আপনি একটি বিট স্ট্রিংয়ের পরিবর্তে একটি গ্রাফ দ্বারা একটি প্রমাণ (কোনও স্থির অক্ষীয় পদ্ধতিতে) এনকোড করতে পারেন। যদি কোনও গ্রাফ যা পি = এনপি-র প্রমাণকে এনকোড করে, তবে পি = এনপি (যতক্ষণ না প্রশ্নে অক্ষীয় সিস্টেমটি সাউন্ড থাকে)। তবে এই উত্তরটি বোকামি।

— Tsuyoshi Ito

উভয়ের উপর একমত; কৃত্রিম এনকোডিংগুলির চেয়ে একটি প্রাকৃতিক উদাহরণ যা আমরা পরে করছি। এমন কোনও গ্রাফ রয়েছে যার অস্তিত্ব স্বাভাবিকভাবে দেখাতে পরিচিত বা শ্রেণি বিচ্ছেদ / পতন দেখাতে ব্যবহৃত হয়েছিল? কিছু দেখার জায়গা বর্ণালী গ্রাফ তত্ত্ব বা সম্ভাব্য পদ্ধতির প্রয়োগে বা এমনকি জিসিটি হতে পারে।

— আনন্দ কুলকারনী

আরেকটি অনুমানমূলক ফলাফল: যদি কোনও নির্দিষ্ট ধরণের বিস্তৃত গ্রাফ পরিবার উপস্থিত থাকে তবে শক্তিশালী ডেরানডমাইজেশন সম্ভব হয় এবং এইভাবে পি = বিপিপি এবং এনপি = এমএ = এএম।

— রবিন কোঠারি

Answer 1

এই ধরণের একটি ফলাফল লিপটন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল "একটি গ্রাফের কোনও বৃহত চক্র নেই: রামসে তত্ত্বের সাথে সংযোগ" প্রমাণ করে । তিনি নিখুঁত গ্রাফ তাত্ত্বিক ফলাফলের সাথে নিম্ন সীমাবদ্ধ অনুমানগুলি সংযুক্ত করেছেন, যদি তা দেখিয়ে দেয় যে$NP$ এর মধ্যে নেই $coNTIME(n^{O(\log n)})/(\log \log n)$তারপরে, এর অপ্রয়োজনীয়তা $MAX-CLIQUE$সুস্পষ্ট র‌্যামসে-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত গ্রাফগুলি বোঝায়। (সংজ্ঞাগুলির জন্য কাগজটি দেখুন)) এ জাতীয় গ্রাফ আসলে রয়েছে কিনা তা প্রমাণ করার বিষয়ে কোনও অগ্রগতি হয়েছে কিনা তা আমার কোনও ধারণা নেই।

Comments

এটি এখনও চলাকালীন আমি আর একটি প্রশ্ন শুরু করতে চাই না, তবে আমি অতিরিক্ত ফলাফলগুলিতে খুব আগ্রহী যে গ্রাফ র‌্যামসে তত্ত্বকে গণনীয় জটিলতার সাথে সংযুক্ত করে, যদি কারও কারও কিছু জানা থাকে।

— অ্যারন স্টার্লিং

দেখার জন্য একটি জায়গা: cs.umd.edu/~gasarch/ramsey

— রায়ান উইলিয়ামস

Answer 2

দুঃখিত, আমি এই 1 বছরের পুরানো প্রশ্নটি এখনই পেয়েছি ...

আসলে, প্রচুর ফলাফল দেখাচ্ছে যে কিছু বৈশিষ্ট্য সহ স্পষ্ট গ্রাফগুলি বুলিয়ান ফাংশনগুলির জন্য শক্তিশালী নিম্ন সীমানাকে বোঝায়। বলুন, উচ্চ অ্যাফাইন বা প্রজেক্টিভ ডাইমেনেশনের গ্রাফগুলি সূত্র এবং শাখা প্রশাখার প্রোগ্রামগুলির জন্য শক্তিশালী নিম্ন সীমানাকে বোঝায়। গ্রাফগুলির "সরল" ব্যবস্থাও রয়েছে, ভাল নিম্ন সীমানাগুলি যা গণনা জটিলতায় দুর্দান্ত পরিণতি ঘটাতে পারে। আমাকে তাদের কিছু স্কেচ করতে দিন।

প্রান্তের সেট হিসাবে গ্রাফগুলি দেখুন। দিন$s(G)$ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হতে হবে $s$ যেমন যে $G$ এর ছেদ হিসাবে লেখা যেতে পারে $\leq s$ গ্রাফ, যার প্রত্যেকটিই একটি ইউনিয়ন $\leq s$বিকিক্লিক্স (দ্বিপক্ষীয় সম্পূর্ণ গ্রাফ) সহজ গণনা এটি দেখায়$s(G)\geq n^{1/2}$ প্রায় সব দ্বিপক্ষীয় জন্য $n\times n$গ্রাফ। তবে ভ্যালিয়েন্টের ফলাফল অনুসারে প্রতিটি স্পষ্টত দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ$G$ (আরও সঠিকভাবে, গ্রাফগুলির একটি ক্রম) $s(G)\geq n^c$ একটি ধ্রুবক জন্য $c>0$একটি পুরানো সমস্যা সমাধান করবে: একটি বুলিয়ান ফাংশন দেবে যা লিনিয়ার আকারের লগ-গভীরতার সার্কিট দ্বারা গণনা করা যায় না। এটা অনুমান করা হয় যে ঘন গ্রাফ ছাড়া$K_{2,2}$ বড় আছে $s(G)$।

আরও ভাল, যাক $Star(G)$ সবচেয়ে কম সংখ্যক ফ্যানিন থাকুন-$2$ ইউনিয়ন এবং ছেদকেন্দ্র অপারেশনগুলি উত্পন্ন করার জন্য যথেষ্ট $G$ সম্পূর্ণ তারা দিয়ে শুরু (ধরণের গ্রাফ) $K_{1,n}$ অথবা $K_{n,1}$)। গণনা দেখায় যে বেশিরভাগ গ্রাফ রয়েছে$Star(G)=\Omega(n^2/\log n)$। তবে যে কোন$G$ সঙ্গে $Star(G)\geq (4+c)n$ একটি ধ্রুবক জন্য $c>0$ক্ষতিকারক আকারের সার্কিটগুলির জন্য একটি স্পষ্ট বুলিয়ান ফাংশন দেবে! যদি গ্রাফের মাত্রা থাকে$m\times n$ সঙ্গে $m=o(n)$, এমনকি একটি নিম্ন সীমা $Star(G)\geq (2+c)n$একই পরিণতি হবে। আমরা এখন অবধি সবচেয়ে ভাল প্রদর্শিত করতে পারি$Star(G)\geq 2n-1$।

দিন $Sym(G)$ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হতে হবে $t$ যার জন্য একটি উপসেট রয়েছে $T\subseteq\{0,1,\ldots,t\}$ এবং একটি ক্রম $t$ যেমন bicliques $(u,v)\in G$ if বিলিকযুক্ত সংখ্যাটি $(u,v)$ এর অন্তর্গত $T$। আবার, গণনা দেয়$Sym(G)\geq n/2$গ্রাফের বেশিরভাগ ক্ষেত্রে। তবে ইয়াও, বেইগেল এবং তারইয়ের ফলাফল সহ কোনও স্পষ্ট গ্রাফ$Sym(G)$ চেয়ে বড় $2^{poly(\ln\ln n)}$ আমাদের বাইরে একটি বুলিয়ান ফাংশন দিতে হবে $ACC$। সতর্কতা: একা "কম্বিনেটরিয়াল জটিল" হওয়া বড় হওয়া বোঝায় না$Sym(G)$: র‌্যামসে গ্রাফগুলির জন্য দৃ strongly়ভাবে উপস্থিত রয়েছে $Sym(G)=O(\log n)$, যদিও $T$ বিজোড় পূর্ণসংখ্যার সেট।

কীভাবে এই সমস্ত ঘটনা ঘটে তার আরও বিশদ এখানে পাওয়া যাবে ।

Comments

এটা খুব ঝরঝরে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 3

একটি ধ্রুপদী উদাহরণ ভ্যালিয়েন্টের দ্বারা হয়েছিল (আমি রেফারেন্সটি জানি না তবে আমি মনে করি এটি প্রসারিত গ্রাফের হোরি, লিনিয়াল এবং উইগডারসন বইয়ে বর্ণিত হয়েছে )। সাহসী একটি সুস্পষ্ট নিম্ন সীমানা দেখিয়েছে (আমি মনে করি যে একটি নির্দিষ্ট সুস্পষ্ট ফাংশন$f:{0,1}^n\rightarrow {0,1}^n$ এর একটি সার্কিট নেই $O(n)$ আকার এবং $O(\log n)$গভীরতা - এমন কিছু অনুমানের অধীনে যা আমরা সুপার কন্ট্রাসেটর নামে পরিচিত কিছু ধরণের গ্রাফের অস্তিত্ব নেই অনুমানের অধীনে। (এটি একটি অ্যাসিম্পোটিক প্রশ্ন ছিল, এবং কেবল একটি গ্রাফ সম্পর্কে নয়।) তবে তিনি পরে দেখিয়েছিলেন যে এগুলির উপস্থিতি রয়েছে (এবং বাস্তবে এর অন্যান্য ব্যবহার রয়েছে)

Answer 4

উত্তরটি অবশ্যই "হ্যাঁ" যদি আমরা নির্দিষ্ট গ্রাফের পরিবর্তে গ্রাফের পরিবারগুলির বিষয়ে কথা বলি। উদাহরণস্বরূপ, মিহাইল এবং বাজিরানির একটি অনুমান আছে যে সমস্ত 0/1 পলিটোপাল গ্রাফগুলি ভাল বা খুব ভাল প্রান্তের সম্প্রসারণকারী (যেমন, তাদের প্রান্তের বিস্তার 1 / বহুভুজ (ডিগ্রি), বা 1 দ্বারা নীচে আবদ্ধ)।

যদি এটি সত্য হয়, তবে অ্যালন, জেররাম এবং সিনক্লেয়ারের নমুনা কৌশলের মাধ্যমে বেশ কয়েকটি মুক্ত সংশ্লেষ এবং গণনা সমস্যার জন্য দক্ষ র্যান্ডমাইজড মার্কভ চেইন মন্টি কার্লো আনুমানিক আলগোরিদিম রয়েছে exist

অনুরূপ শিরাতে, যদি পলিটোপাল গ্রাফের পরিবারগুলি উপস্থিত থাকে যার ব্যাসের দিকগুলি এবং গ্রাফ ডিগ্রির সংখ্যায় যে কোনও বহুপদী থেকে দ্রুত বৃদ্ধি ঘটে, তবে লিনিয়ার প্রোগ্রামিংটি প্রান্ত-নিম্নলিখিত অ্যালগরিদমের মাধ্যমে দৃ pol় বহুবর্ষে সমাধান করা যায় না।

Answer 5

আনন্দ কুলকার্নির মন্তব্যে প্রসারিত:

ধরা যাক একটি নির্বাহী ট্যুরিং মেশিন এম রয়েছে যা বহুবর্ষ সময়ে স্যাটকে স্বীকৃতি দেয়। তারপরে এম এর সসীম স্থানান্তর সম্পর্কটি একটি ফাংশন হবে। আমরা এমন টিএমএস সম্পর্কে জানি যা বহুবর্ষ সময়ে স্যাটকে স্বীকৃতি দেয় তবে তাদের রূপান্তর সম্পর্কগুলি কার্যকর হয় না। নোট করুন যে ট্রানজিশন রিলেশন দ্বি দ্বিপক্ষীয় নির্দেশিত গ্রাফ যার এক দ্বিভাগে (রাজ্য, টেপ প্রতীক) টিপলস রয়েছে, অন্য দ্বিখণ্ডনে (রাজ্য, টেপ প্রতীক, সরানো) টিপলস এবং জোড়া থেকে ট্রিপল পর্যন্ত আর্কস রয়েছে।

সুতরাং তুচ্ছভাবে যদি এমন কোনও ডিজিট্রাফ থাকে যা একটি ফাংশন হয় তবে পি = এনপি।

অবশ্যই এটি খুব স্বাভাবিক সংজ্ঞা নয়, কারণ রাষ্ট্রীয় স্থানের প্রতিটি পাথ যে গ্রহণযোগ্য রাষ্ট্রের কাছে পৌঁছেছে তার ইনপুট আকারে বহুভুজের দ্বারা আবদ্ধ হওয়া আবশ্যকতাটিকে অর্থ প্রদান করার জন্য সহায়ক যন্ত্রপাতি প্রয়োজন। পলিটাইম-বেউন্ডেড টুরিং মেশিনের প্রতিনিধিত্বকারী সীমাবদ্ধ গ্রাফগুলির সেটটি কী দেখায় বা এই গ্রাফগুলিতে আকর্ষণীয় গ্রাফ-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা মোটেও সুস্পষ্ট নয়।