প্রুফ সিস্টেমগুলির পিছনে অন্তর্দৃষ্টি

Question

আমি পিটিটাইমের জন্য পি-অপটিমাল প্রুফ সিস্টেম এবং লজিক অন পেপারের অধীনে চেষ্টা করার চেষ্টা করছি । কাগজে প্রুফ সিস্টেম নামে একটি ধারণা আছে এবং আমি অনুপ্রবেশটি পাই না:

$\Sigma = \{0,1\}$ ... আমরা সাবসেটগুলির সাথে সমস্যাগুলি সনাক্ত করি $Q$ ভিতরে $\Sigma^*$।

আমি মনে করি অনুপ্রবেশটি হ'ল আমরা একটি নির্দিষ্ট কাঠামোকে এনকোড করেছি $\Sigma^*$ (উদাহরণস্বরূপ পুনঃনির্দেশিত গ্রাফ) এবং এই কাঠামোগুলির সাবসেটগুলি সমস্যা (যেমন প্ল্যানার গ্রাফ)।

একটি প্রমাণ সিস্টেম একটি সমস্যার জন্য$Q \subset \Sigma^*$ একটি surjective ফাংশন $P:\Sigma^* \to Q$ বহুপক্ষীয় সময়ে গণনীয়

এখন একটি সম্ভাবনা বলতে হয় $\Sigma^*$একটি নির্দিষ্ট কাঠামোর সমস্ত সম্ভাব্য মডেলের সেট (যেমন সমস্ত অনির্দেশিত গ্রাফ)। তবে এটি কোনও অর্থবোধ করে না কারণ কেন কোনও আনসাইরেক্ট গ্রাফগুলি একটি উপসেটে ম্যাপ করা উচিত? এটি টিউরিং মেশিনগুলি এনকোড করা যেতে পারে তবে এটির কোনও মানে হয় না ...

কোন ধারনা?

Answer 1

ভাবা $\Sigma^{*}$ কিছু ধরণের বস্তুর এনকোডিং এবং $Q$কিছু সম্পত্তি সন্তুষ্ট সব বস্তুর সেট হিসাবে। ভাবা$P$ একটি ফাংশন হিসাবে যা গ্রহণ করে (এর এনকোডিং)) $(x, p)$ কোথায় $x$ একটি বস্তু এবং $p$ এর অভিযোগ "প্রমাণ" $x \in Q$। কাজ$P$ এটি একটি "প্রুফ চেকার": এটি যাচাই করে $p$ আসলে বৈধ প্রমাণ উপস্থাপন করে যে $x \in Q$। যদি তা হয় তবে তা ফিরে আসে$x$অন্যথায় এটি এর একটি ডিফল্ট উপাদান দেয় $Q$।

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন $\Sigma^{*}$ এনকোড গ্রাফ এবং চলুন $Q$হ্যামিলটোনীয় গ্রাফের সেট (এনকোডিংগুলির) হোন। একটি সম্ভব$P$ এটি: ডিকোড ইনপুট হিসাবে $(G, \ell)$ কোথায় $G$ একটি গ্রাফ এবং $\ell$ এর উল্লম্ব একটি তালিকা $G$; যাচাই করুন যে$\ell$ হ্যামিল্টোনীয় একটি চক্র $G$; যদি তাই হয় তবে ফিরে আসুন$G$ অন্যথায় এক বিন্দুতে গ্রাফটি ফিরিয়ে দিন।

আপনি প্ল্যানার গ্রাফগুলির ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছেন। একটি উপযুক্ত পেতে$P$ আমাদের পরিকল্পনার বহু-সময়ের চেকযোগ্য প্রমাণের ধারণা প্রয়োজন।

সাধারণভাবে ইনপুট $P$ একটি জোড়া এনকোড করা প্রয়োজন $(x, p)$। গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল$P$ এর ইনপুট থেকে দুটি টুকরো তথ্য উত্তোলন করতে পারে: প্রশ্নযুক্ত বস্তু এবং বস্তুর মালিকানাধীন অভিযোগের প্রমাণ $Q$। উদাহরণস্বরূপ, আসুন take$Q$কিছু প্রথম-আদেশ তত্ত্বে প্রমাণযোগ্য সমস্ত বাক্যের সেট। এখন$P$একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ হিসাবে এর ইনপুট ডিকোড। যদি এনকোডিং অবৈধ হয়, তবে এটি ফিরে আসে$\top$। যদি এনকোডিংটি কোনও বৈধ প্রমাণকে উপস্থাপন করে, তবে প্রমাণটি প্রমাণ করে প্রমাণিত প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত প্রমাণটি প্রমাণিত করে (আপনি কীভাবে প্রমাণগুলি আনুষ্ঠানিকভাবে নির্ভর করেন তার উপর নির্ভর করে বিবৃতিগুলির ক্রমে শেষ সূত্রটি বলে) এটি বিবৃতি দেয় returns

Answer 2

আপনি প্রমাণ সিস্টেমের ইনপুট সম্পর্কে চিন্তা করা উচিত $P$ একটি প্রমাণ পাঠ্য হিসাবে $\pi$ একটি উপাদান $q \in Q$। যদি পাঠ্যটি বৈধ হয়$P(\pi) = q$অন্যথায় $P(\pi)$ কিছু স্থির $q_0 \in Q$। আমরা চাই$P$ পলটাইম হওয়ার কারণ এর প্রমাণটি যাচাই করা সহজ।

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন $Q$ প্রস্তাবিত টাউটোলজির সেট এবং $P$হিলবার্ট শৈলীর প্রুফ সিস্টেমটি, যা লাইনগুলির একটি সেট নিয়ে গঠিত, যার প্রত্যেকটি হয় একটি অ্যালিকোম বা একটি পূর্ববর্তী লাইনগুলি একটি ডেরাইভিশন রুলের (সাধারণত মোডাস পোনেন্স) মাধ্যমে অনুসরণ করে। যদি প্রমাণটি বৈধ হয় তবে তা$P$প্রমাণের শেষ লাইনটি আউটপুট করা উচিত। অন্যথায়, কিছু নির্দিষ্ট টাউটোলজি যেমন আউটপুট দেয়$p \lor \lnot p$।

আপনার প্রথম প্রশ্নে ফিরে যান, $Q$কিছু সম্পত্তি সন্তুষ্ট করে নির্দিষ্ট ধরণের সমস্ত কাঠামোর এনকোডিং। একটি উদাহরণ টাউটোলজির। আর একটি উদাহরণ হ'ল সমস্ত অ -3-কলয়েবল গ্রাফের সেট, যা একটি প্রমাণ সিস্টেম যা হজ ক্যালকুলাস হিসাবে পরিচিত।