সর্বনিম্ন-নির্দিষ্ট পয়েন্ট যুক্তি বোঝা

Question

কোনও কাগজটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য আমি ন্যূনতম-স্থির পয়েন্ট যুক্তির সংক্ষিপ্ত বোঝার চেষ্টা করছি। আমি আটকে আছে যেখানে কয়েকটি পয়েন্ট আছে।

যদি $G = (V,E)$ একটি গ্রাফ এবং

$$\Phi(P) = \{(a,b) \mid G \models E(a,b) \lor P(a,b) \lor \exists z (E(a,z) \land P(z,b)) \}$$

বাইনারি সম্পর্ক একটি অপারেটর $P$। কেন বুঝতে পারছি না কেন সর্বনিম্ন নির্দিষ্ট পয়েন্ট$P^*$ এর $P$ এর ট্রানজিটিভ ক্লোজার $E$। উদাহরণটি ফিনাইট মডেল থিওরি এবং এর অ্যাপ্লিকেশনগুলি থেকে নেওয়া হয়েছে (পৃষ্ঠা 60)।

সর্বনিম্ন-স্থির পয়েন্টার অপারেটরের সাথে প্রথম-ক্রমের যুক্তিকে প্রসারিত করার সময় আমি বুঝতে পারি না কেন সম্পর্ক প্রতীক $S_i$সূত্রটিতে ইতিবাচক হওয়া দরকার । ইতিবাচক মানে প্রতিটি ঘটনা$S_i$ সূত্রে প্রত্যাখাত প্রতীকগুলির একটি এমনকি সংখ্যার মধ্যে।

স্বল্প-স্থির-নির্দেশক পয়েন্টার যুক্তি এবং এর সিনট্যাক্স এবং শব্দার্থবিজ্ঞানের অন্তর্নিহিত বুঝতে কী পড়ার কি কারও ধারণা আছে?

Answer 1

যদি আপনার ন্যূনতম স্থির পয়েন্টের ধারণার সাথে সমস্যা হয় তবে আমি আরও সাধারণ ক্রম তত্ত্বের পটভূমি পেতে কিছুটা সময় ব্যয় করার পরামর্শ দেব।

ডেভি এবং প্রিস্টলি, লাটিসস এবং অর্ডারের পরিচিতি একটি ভাল পরিচয় ।

ট্রানজিটিভ বন্ধটি কেন সর্বনিম্ন স্থির বিন্দু তা দেখতে, একবারে এক ধাপে যৌক্তিক সূত্র প্রয়োগ করে খালি সেট থেকে বন্ধটি তৈরির কথা ভাবুন। আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে কোনও নতুন প্রান্ত যুক্ত করতে না পারলে সর্বনিম্ন নির্দিষ্ট পয়েন্টটি উপস্থিত হয়।

সূত্রটি ইতিবাচক হওয়ার প্রয়োজনীয়তা নিশ্চিত করে যে প্রক্রিয়াটি একঘেয়ে, অর্থাৎ এটি প্রতিটি পদক্ষেপে বৃদ্ধি পায়। আপনার যদি নেতিবাচক সাবফর্মুলা থাকে, আপনার কেসটি হতে পারে যেখানে কয়েকটি ধাপে প্রান্তগুলির সেটটি হ্রাস পাবে এবং এটি এলএফপিতে রূপান্তর না করে একটি অ-টার্মিনেটিং দোলনকে উপরে এবং নীচে নিয়ে যেতে পারে।

Answer 2

সীমাবদ্ধ সেটের পাওয়ারসেট থেকে গঠিত বুলিয়ান বীজগণিত বিবেচনা করুন $S$, সেট অন্তর্ভুক্তি দ্বারা আদেশ। এখন, অপারেটর বিবেচনা করুন$P$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত

$$P(X) = \lnot X$$

পরিষ্কারভাবে $P$ এটি একটি ইতিবাচক অপারেটর।

1. কোনও নির্দিষ্ট পয়েন্ট নেই তা দেখান $\mu P$ যেমন যে $P(\mu P) = \mu P$। ফলস্বরূপ, আপনি এটি উপসংহার করতে পারেন$\mu X.\;P(X)$ ভাল সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

2. নিজের জন্য নাস্টার-তারক্সি উপপাদ্য প্রমাণ করুন। অর্থাত্ যদি আপনার সম্পূর্ণ জাল থাকে$L$, এবং একটি একঘেয়ে ফাংশন $f : L \to L$তারপরে স্থির পয়েন্টগুলির সেট $f$একটি সম্পূর্ণ জাল ফর্ম। (এর ফলে,$f$ একটি ন্যূনতম এবং সর্বশ্রেষ্ঠ স্থির পয়েন্ট রয়েছে)) এই প্রমাণটি খুব ছোট, তবে আপনি প্রথমবারের মতো এটি দেখেন এবং এটির একঘেয়েমি $f$ যুক্তি সমালোচনা।

3. নিজের জন্য প্রমাণ করুন যে কোনও অপারেটর একটি ফ্রি ভেরিয়েবলের সাথে একটি এক্সপ্রেশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $X$যা কেবলমাত্র ইতিবাচকভাবে ঘটে তা হ'ল মনোোটোন। সুতরাং ইতিবাচক ঘটনাটি একটি সিনট্যাকটিক অবস্থা যা একঘেয়েমি প্রয়োগের পক্ষে যথেষ্ট।

আমি দেখতে পেয়েছি যে সত্যিকার অর্থে অভ্যন্তরীণকরণের জন্য নিজের পক্ষে এই প্রমাণগুলি করার কোনও বিকল্প নেই।

Answer 3

এটি একটি খুব পুরানো পোস্ট তাই আপনার ইচ্ছামত উত্তরটি ইতিমধ্যে সম্মুখীন হতে পারে। যেহেতু আমি গত কয়েক মাস ধরে এফও (এলএফপি) পড়ছি। আপনার প্রয়োজনীয় উত্তরগুলির আমার কিছুটা বোধগম্যতা আছে।

ইতিবাচকতার প্রয়োজনীয়তার জবাব দেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয়তাটি এই বিষয় থেকে এসেছে যে সূত্রটি একঘেয়ে অপারেটরকে ধরে নিয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করা সীমাবদ্ধ এবং অসীম উভয় মডেলেই অনস্বীকার্য। একঘেয়ে অপারেটর ক্যাপচার করার সূত্র বলতে আমি কী বোঝাতে চাইছি? মনে করুন আপনি কোনও এফও লিখেছেন$[\sigma$] একটি ফ্রি দ্বিতীয় অর্ডার ভেরিয়েবল সহ সূত্র $\phi(\vec{x},X)$, কোথায় $|\vec{x}|=ar(X)$, তারপরে আমরা একটি সম্পর্কিত অপারেটর সংজ্ঞায়িত করতে পারি $f_\phi$ : $\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$ যেখানে আর (এক্স) হ'ল দ্বিতীয় ক্রমের ভেরিয়েবলের আরটি এবং এ এর ​​ডোমেন $\sigma$-structure $\mathbb{A}$ এবং $\mathcal{P}(Z)$ সেটটি জেডের পাওয়ার সেট And $f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$। যদি এই অপারেটর একঘেয়ে হয় তবে উপরের উত্তরে উল্লিখিত নস্টার টারস্কির স্থির বিন্দু তত্ত্বটি অনুসরণ করে আমরা সহজেই উভয় সীমাবদ্ধ এবং অসীম কাঠামোর মধ্যে স্থির বিন্দুটি ক্যাপচার করতে পারি। তবে, সমস্যাটি পরীক্ষা করছে যে উপরের মতো ফর্মুলার বাইরে লেখা সূত্রটি একঘেয়ে অপারেটরকে এনকোড করে কিনা তা অনিবার্য নয় তাই আমাদের পরবর্তী সেরা জিনিসটি পাওয়া দরকার। দ্বিতীয় ক্রমের মুক্ত পরিবর্তনশীলটিতে ইতিবাচকতা একঘেয়েমিটির প্রয়োজনীয়তা পূরণ করা নিশ্চিত করে, এটি এই প্রপঞ্চটি প্রমাণ করার জন্য এটি একটি আদর্শ কাঠামোগত আবেশন। প্রশ্ন হচ্ছে, তা কি যথেষ্ট?

এটি এখনও, আমার এখনও কোনও শক্ত উত্তর নেই, যেহেতু আমি এখনও পড়ছি। আমি এই ফ্রন্টের কাগজগুলিতে নির্দেশ করতে পারি। কমপক্ষে আমি এখানে যে ধারণাগুলি উল্লেখ করেছি সেগুলি হ'ল কাগজ থেকে, মনোোটোন বনাম ধনাত্মক - আজটাই, গুরেভিচ। এটি আরও একটি কাগজের ফিক্সড পয়েন্ট এক্সটেনশনের উল্লেখ করেছে গুউরভিচ এবং শেলাহর প্রথম অর্ডার লজিকের নির্দিষ্ট পয়েন্ট অপারেটরটিকে যখন পজিটিভ ফর্মুলায় প্রয়োগ করা হয় তখন আবেদনটি নির্বিচারে মনোোটোন সূত্রের সাথে তুলনা করার সময় অভিব্যক্তি শক্তি হারাবে না।