কে-রঙ হ্রাস প্রাকৃতিক ক্লিক

Question

ক্লিকুই থেকে কে-রঙে স্পষ্টভাবে হ্রাস পেয়েছে কারণ তারা উভয়ই এনপি-সম্পূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, আমি ক্লিকিউ থেকে 3-এসএটি-তে 3-স্যাট থেকে কে-রঙে হ্রাস করে একটি হ্রাস রচনা করে একটি নির্মাণ করতে পারি। আমি যা ভাবছি তা হ'ল এই সমস্যাগুলির মধ্যে কোনও যুক্তিসঙ্গত সরাসরি হ্রাস আছে কিনা। বলুন, এমন একটি হ্রাস যা আমি কোনও বন্ধুকে মোটামুটি সংক্ষেপে SAT এর মতো অন্তর্বর্তী ভাষা বর্ণনা না করেই ব্যাখ্যা করতে পারি।

আমি যা খুঁজছি তার একটি উদাহরণ হিসাবে, এখানে বিপরীত দিকের প্রত্যক্ষ হ্রাস: জি এবং দিয়ে $n$কিছু $k$ (রঙের সংখ্যা) দেওয়া, $kn$ অনুপাত সহ একটি গ্রাফ জি তৈরি করুন (প্রতিটি বর্ণের প্রতি এক করে) । ছেদচিহ্ন $v'$ , $u'$ ছেদচিহ্ন সংশ্লিষ্ট $v, u$ এবং রং $c, d$ যথাক্রমে সংলগ্ন হয় যদি এবং কেবল যদি $v \neq u$ এবং ( $c \neq d$ বা $vu \not \in G$ )। একটি $n$ মধ্যে -clique $G'$ প্রতিটি ভার্টেক্সের জন্য কেবল $G$একটি ভার্টেক্স রয়েছে এবং সংশ্লিষ্ট রংগুলিতে জি এর যথাযথ $k$ কালারিং হয় । একইভাবে, কোন সঠিক ট এর -coloring জি একটি সংশ্লিষ্ট উপদল হয়েছে জি ' ।$G$$k$$G$$G'$

সম্পাদনা করুন : কিছু সংক্ষিপ্ত অনুপ্রেরণা যোগ করার জন্য, কার্পের মূল 21 টি সমস্যাগুলি হ্রাসের একটি গাছ দ্বারা এনপি-কমপ্লিট প্রমাণিত হয়েছে যেখানে ক্লাইকিউ এবং ক্রোমাটিক সংখ্যাটি বড় সাবট্রির মূল তৈরি করে। ক্লিক সাবট্রি এবং ক্রোম্যাটিক নম্বর সাবট্রিতে সমস্যার মধ্যে কিছু প্রাকৃতিক হ্রাস রয়েছে, তবে তাদের অনেকেরই আমি যেমন জিজ্ঞাসা করছি তার মতোই খুঁজে পাওয়া শক্ত। আমি এই গাছের কাঠামোটি অন্যান্য সমস্যার মধ্যে কিছু অন্তর্নিহিত কাঠামো দেখায় কিনা বা এটি সম্পূর্ণরূপে কোনও ফলাফল হ্রাস পেয়েছে যা প্রথমে দেখা গেছে কিনা তা নিয়ে আমি চেষ্টা করার চেষ্টা করছি, যেহেতু দুটি সমস্যার মধ্যে হ্রাস পাওয়ার জন্য যখন অনুসন্ধানের জন্য কম অনুপ্রেরণা রয়েছে একই জটিলতার ক্লাসে রয়েছে বলে জানা যায়। অবশ্যই আদেশটির কিছুটা প্রভাব ছিল এবং গাছের কিছু অংশ পুনরায় সাজানো যেতে পারে তবে এটি কি নির্বিচারে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে?

সম্পাদনা 2 : আমি প্রত্যক্ষ হ্রাস অনুসন্ধান করতে থাকি, তবে এখানে আমি যে নিকটতমটি পেয়েছি তার একটি স্কেচ দেওয়া আছে (এটি একটি বৈধ হ্রাস হওয়া উচিত, তবে স্পষ্ট মধ্যস্থতাকারী হিসাবে সিরকুইট স্যাট রয়েছে; এটি কিছুটা বিষয়গত যে এটির চেয়ে আরও ভাল কিনা প্রথম অনুচ্ছেদে উল্লিখিত হিসাবে দুটি হ্রাস রচনা রচনা)।

প্রদত্ত $G, k$ , আমরা জানি যে $\overline{G}$ হতে পারে $n-k+1$ -colored সঙ্গে $k$ ছেদচিহ্ন সব iff সত্য রঙ্গিন $G$ টি $k$ -clique। আমরা মূল ছেদচিহ্ন নাম $G$ $v_1, \ldots, v_n$ এবং তারপর যোগ $\overline G$ অতিরিক্ত ছেদচিহ্ন: $C_{ij}$ সঙ্গে $1 \le i \le n$ , $0 \le j \le k$। মূল আক্রমণকারীটি হ'ল $C_{ij}$ রঙটি সত্য রঙিন হতে পারে এবং কেবল তখনই যদি শীর্ষে থাকে $\{v_1,\ldots, v_i\}$ কমপক্ষে $j$ টি উল্লম্ব সত্য বর্ণের থাকে। সুতরাং, প্রতিটি $C_{i0}$ সত্য হতে পারে। তারপরে, জে > 0 এর জন্য সি রঙ পাবেন ( i - 1 ) j ∨ C ( i - 1 ) ( জে - 1 )$C_{ij}$$j > 0$$C_{(i-1)j} \vee C_{(i-1)(j-1)} \wedge v_i$ যেখানে সমস্ত অ-সত্য রঙকে মিথ্যা হিসাবে বিবেচনা করা হয়। একটি নেই$k$ মধ্যে -clique$G$ iff$C_{nk}$ সত্য রঙ্গিন করা যেতে পারে তাই যদি আমরা যে রং জোর, নতুন গ্রাফ মেকী iff সেখানে একটি ছিল হয়,$k$ মূল গ্রাফে -clique।

সম্পর্কগুলি প্রয়োগ করার জন্য ও এবং গ্যাজেটগুলি অনেকটা সিরকুইট স্যাট থেকে 3-রঙে হ্রাস করার মতো, তবে এখানে আমরা আমাদের গ্রাফের মধ্যে একটি অন্তর্ভুক্ত করি $K_{n-k+1}$, টি, এফ এবং গ্রাউন্ড বেছে নিয়ে তারপরে সমস্ত সংযোগ করি সবকিছু কিন্তু অন্যদের $v_i$ ; s এটি নিশ্চিত করে যে $C_{ij}$ এবং অন্যান্য গ্যাজেটগুলি কেবল 3 টি রঙ পেয়েছে।

যাইহোক, এই হ্রাসের অংশটি সরাসরি অনুভব করে তবে AND / OR গেটগুলির ব্যবহার খুব কম সরাসরি হয়। প্রশ্নটি রয়ে গেছে, আরও কি মার্জিত হ্রাস আছে?$\overline G$

3 সম্পাদনা করুন : এই হ্রাস কেন খুঁজে পাওয়া শক্ত হবে সে সম্পর্কে কয়েকটি মন্তব্য রয়েছে। ক্লিকিউ এবং কে-কালার প্রকৃতপক্ষে বেশ আলাদা সমস্যা। এমনকি কোনও হ্রাস ছাড়াই, যদিও এই উত্তরটি উত্তর দেয় যে হ্রাস কেন একদিকে শক্ত তবে অন্য দিকে সম্ভব কেন এটি খুব সহায়ক হবে এবং সমস্যার ক্ষেত্রে অনেক অবদান রাখবে।

Comments

আপনি যে ধরণের প্রত্যক্ষ হ্রাসের সন্ধান করছেন তা খুঁজে পাওয়া মুশকিল যেহেতু ক্লাক এবং রঙ করা এক ধরণের বিপরীত দিক থেকে এটি বোঝা যায় যে 1-চক্রটি এন-কালারিংয়ের মতো খুঁজে পাওয়া সহজ। তাই হয়তো হ্রাস ফর্মের হওয়া উচিত: একটি হয়েছে এন - ট -coloring যদি এবং কেবল যদি জি টি ট -clique$G'$$n-k$$G$$k$

— মার্টিন Vatshelle

আমি একমত যে এটি কঠিন; এটাই আমার আগ্রহের কারণ; আমি প্রশ্নের অনুপ্রেরণা সম্পর্কে বিস্তারিত জানাব। ধারণা -coloring করেছে আমাকে নিকটতম অর্জিত। যদি একটি হয় ট মধ্যে -clique জি তারপর ¯ জি উপদল একরঙা সমস্ত ছেদচিহ্ন কারণ তারা একটি স্বাধীন সেট থাকতে পারে। সমস্যাটি হ'ল বিশ্রামের ক্রোম্যাটিক সংখ্যা বিভিন্ন হতে পারে। কে এন - কে - 1 এর সাথে দুটি উল্লম্বের সংযোগ স্থাপন তাদের একই বর্ণের জন্য বাধ্য করে, তবে কোন অনুভূমিক অংশটি বল প্রয়োগ করতে বাধ্য হয় তা আমার কোনও ধারণা নেই। একটি গ্যাজেট বাহিনীর কিছু আমি বাইরে $n-k$$k$$G$$\overline{G}$$K_{n-k-1}$$i$$j$একরঙা হতে হবে শীর্ষটি এটি করতে হবে।

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

আমি এখানে মার্টিনের সাথে একমত হয়েছি যে এটি সম্ভবত ডাবল নাও হতে পারে (3SAT দিয়ে না গিয়ে)। চক্র এবং রঙের মধ্যে খুব কম মিল রয়েছে। অতএব আমি এরডের উপপাদ্যকে স্মরণ করতে চাই, ন্যাচারালস জি এবং কে দেওয়া আছে, সেখানে কমপক্ষে জি এবং ক্রোম্যাটিক সংখ্যা কমপক্ষে কে সহ একটি গ্রাফ রয়েছে (আপনি যদি এর সাথে পরিচিত না হন তবে কিছুক্ষণের জন্য এটি ভাবুন)। শেষ অবধি, আপনার হ্রাস এছাড়াও সচেতন হতে হবে যে ক্লাইক (এবং স্বতন্ত্র সেট) সমাধান সেট দ্বারা প্যারামিটারাইজড থাকা অবস্থায়, কোনও গ্রাফের ক্রোম্যাটিক সংখ্যার জন্য সমতুল্য প্যারামিটারাইজেশন নেই। $W[1]$

— পোল জিডি

আমি @ মার্টিনভ্যাটশেলের মন্তব্য বুঝতে পারি না। আমি যতদূর জানি, সমস্ত 1-চক্র, 1-রঙিন, এন-চক্র এবং এন-বর্ণ একই স্তরে তুচ্ছ। (আপনি সদৃশ 1 টি চক্রের উত্তর YES দ্বারা উত্তর দিতে পারেন বলে মনে করবেন না: ইনপুট গ্রাফটি খালি থাকতে পারে!)

— Yixin Cao

আমি মনে করি মার্টিন এর বিন্দু এটা শো এবং χ ( জি ) = 3 , কিন্তু একটি এটি কঠিন কে 4 তুলনায় কে 3 । সুতরাং দুটি ধারণার মধ্যে কিছুটা দ্বৈততা রয়েছে। @ এরজ এর উপপাদ্য সম্পর্কে পলজিডি এর বক্তব্যটি দুর্দান্ত (এবং আমি এই উপপাদ্যটি পছন্দ করি), কারণ বড় আকারের গ্রাফগুলিতে বিশাল স্বাধীনতার সংখ্যা রয়েছে এবং তাই তাদের বিপরীতগুলিতে বৃহত চক্র থাকবে। সামগ্রিকভাবে এটি মনে হয় এখানে একটি ফাঁদ আছে যদিও এটি একই বা অনুরূপ গ্রাফগুলিতে ক্লাখ এবং রঙিন সম্পর্কিত, তবে বিপরীত দিকের সাথে হ্রাসটি জি এর চেয়ে খুব আলাদা গ্রাফ তৈরি করতে পারে ।$\chi(G)=4$$\chi(G)=3$$K_4$$K_3$$G$

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

Answer 1

গ্রাফ দেওয়া এবং একটি সংখ্যা ট , যেমন যে আপনাকে জানতে হবে কিনা চান জি একটি রয়েছে ট -clique যাক এন হতে মধ্যে ছেদচিহ্ন সংখ্যা জি । আমরা অন্য গ্রাফ নির্মাণ এইচ , যেমন যে এইচ হয় এন যদি এবং কেবল যদি -colorable জি টি ট -clique নিম্নরূপ,:$G$$k$$G$$k$$G$$H$$H$$n$$G$$k$

(1) প্রতিটি প্রান্তবিন্দু জন্য মধ্যে জি , একটি করা এন ছেদচিহ্ন এর -clique ( বনাম , আমি ) মধ্যে এইচ , যেখানে আমি থেকে রেঞ্জ 1 থেকে এন ।$v$$G$$n$$(v,i)$$H$$i$$1$$n$

(২) এইচ-তে একটি অতিরিক্ত ভার্টেক্স করুন ।$x$$H$

(3) প্রত্যেকেরই ট্রিপল মধ্যে ছেদচিহ্ন এর এইচ , যেখানে Y = ( V , আমি ) এবং z- র = ( U , ঞ ) পরীক্ষার কিনা নিম্নলিখিত শর্ত এক ঝুলিতে: হয় তোমার দর্শন লগ করা ≠ বনাম এবং আমি = ঞ , অথবা U এবং V মধ্যে nonadjacent ছেদচিহ্ন হয় জি সঙ্গে সর্বোচ্চ ( আমি , ঞ ) ≤ $\{x,y,z\}$$H$$y=(v,i)$$z=(u,j)$$u\ne v$$i=j$$u$$v$$G$$\max(i,j)\le k$। এই দুটি জিনিসের যে কোনও একটি যদি সত্য হয় তবে এইচ- তে আরও একটি ক্লিক যুক্ত করুন । এই চক্রের মধ্যেই নির্বাচন তিন ছেদচিহ্ন x ' , Y ' , এবং z- র ' । Y ′ এবং z ′ ব্যতীত চক্রের প্রতিটি প্রান্তে x যুক্ত করুন ; x ′ এবং z ′ ব্যতীত চক্রের প্রতিটি শিখরের সাথে y সংযুক্ত করুন ; এবং সংযোগ z- র ছাড়া চক্রের প্রতিটি প্রান্তবিন্দু করার এক্স ' এবং Y ' ।$n$$H$$x'$$y'$$z'$$x$$y'$$z'$$y$$x'$$z'$$z$$x'$$y'$

পদক্ষেপে যুক্ত হওয়া গ্যাজেটগুলি (3) , y এবং z এর ত্রিবিধিকে এইচ-এর বৈধ রঙে একে অপরের মতো একই রঙ দেওয়া থেকে বিরত করে । মধ্যে চক্র জি একটি রং থেকে উদ্ধার করা সম্ভব এইচ ছেদচিহ্ন এর সেট হিসাবে ( বনাম , আমি ) যে একই রং ক্লাসে হয় এক্স এবং যে আছে আমি ≤ k ।$x$$y$$z$$H$$G$$H$$(v,i)$$x$$i\le k$

Comments

এটা চমৎকার.

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

কিছু কারণে আমার সম্পাদনা প্রত্যাখ্যান করা হয়েছিল, তবে শেষ বাক্যে এইচ-এর পরিবর্তে জি এর অনুপাতগুলি বর্ণনা করা উচিত (যেহেতু এটি জি-তে একটি চক্র বর্ণনা করার উদ্দেশ্যে)। মত "এ চক্রের কিছু যেমন এইচ একটি রং থেকে উদ্ধার করা সম্ভব { বনাম : ∃ আমি ≤ ট χ ( ( বনাম , আমি ) ) = χ ( এক্স ) } । " এছাড়াও, আমি উত্তরের জন্য ধন্যবাদ বলতে ভুলে এটি খুব সহায়ক হয়েছে! $G$$\{v : \exists i \le k \chi((v,i)) = \chi(x) \}.$

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

অবশ্যই, আপনি প্রতিটি জোড় থেকে সরিয়ে ফেলার বিষয়ে সেই বাক্যটির অন্য একটি ধারা দিতে পারেন , তবে আমি ভেবেছিলাম যে পদক্ষেপটি বাদ দেওয়া যথেষ্ট সহজ, এবং আমার সাধারণ অনুভূতিটি হ'ল (যখন এটি যথেষ্ট সংক্ষিপ্ত রাখা যেতে পারে) গদ্যের প্রবণতা রয়েছে সূত্রের চেয়ে বেশি পঠনযোগ্য। $i$

— ডেভিড এপস্টিন

আমি একমত যে গদ্য আরও বেশি পছন্দনীয়। হতে পারে "প্রত্যেকটির প্রথম সমন্বয় (v, i) ..." এর মতো একটি বাক্য যুক্ত করা হ'ল ধারণা। প্রযুক্তি সম্পর্কে আমার উদ্বেগের কারণ হ'ল প্রথম পাঠের হ্রাস যখন প্রথম ভাষায় এবং দ্বিতীয়টিতে উপাদানগুলির সঠিক সংজ্ঞা সোজা রাখা কঠিন হতে পারে এবং কোনটি। যে মুহুর্তে কোনও সংজ্ঞাটি ভঙ্গ হতে দেখা যায়, তা আমাকে লুপের জন্য ফেলে দিতে পারে। পূর্ববর্তী বাক্যগুলি বুঝতে আমার যদি সমস্যা হয় এবং শেষেরটি হয়, তবে আমি নির্ধারণ করতে পারি যে জি এবং এইচ-এর ফর্মটি উল্লম্ব রয়েছে (v, i)।

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

আমার এও বলা উচিত যে আমি মনে করি আপনি পড়ে যাওয়া প্রায় অন্য যেকোন তুলনায় আপনি এই হ্রাসের মাধ্যমে কথা বলার চেয়ে আরও ভাল কাজ করেছেন। সাহিত্যে একটি সমস্যা রয়েছে যে প্রচুর হ্রাস কোনও প্রেরণা বা স্বজ্ঞাততা ছাড়াই আনুষ্ঠানিকভাবে বর্ণিত হয় এবং আপনি এটি খুব সুন্দরভাবে এড়িয়ে গেছেন।

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

Answer 2

?? রঙিন এবং চক্র সন্ধান গ্রাফ তত্ত্ব (সম্ভবত এমনকি 60 এর দশকে?) এর মাধ্যমে কয়েক দশক ধরে দৃ tight়ভাবে একত্রে জড়িত হিসাবে পরিচিত ছিল এমনকি কোনও মধ্যস্থতাকারী হিসাবে স্যাটের মাধ্যমে নয় (যা ১৯ 1971১ সালে কুক প্রমাণের পরে সাধারণ হয়ে ওঠে)। নিম্নলিখিত মৌলিক সম্পত্তির উপর ভিত্তি করে অ্যালগরিদম রয়েছে বলে বিশ্বাস করুন :

যদি জিতে সাইজের কে আকারের একটি চক্র থাকে, তবে সেই চক্রটিকে রঙ করার জন্য কমপক্ষে কে রঙের প্রয়োজন; অন্য কথায়, ক্রোম্যাটিক সংখ্যাটি কমপক্ষে চক্র সংখ্যা: $\chi(G) \ge \omega(G).\,$

সঠিক রেফ সম্পর্কে নিশ্চিত না তবে [1,2] শুরু করার জন্য ভাল জায়গা, একটি সঠিক অ্যালগরিদম বা রেফ কমপক্ষে সম্ভবত এই বইগুলিতে উদ্ধৃত হয়েছে।

[1] ক্লাখ, রঙ করা, এবং সন্তুষ্টিযোগ্যতা, ২ য় ডিআইএমএসিএস চ্যালেঞ্জ

[2] ডাইম্যাকস ভোল 26: ক্লাখ, রঙ এবং সন্তুষ্টিযোগ্যতা

Comments

বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে আপনি কে -এর জন্য একটি অ্যালগরিদম আহ্বান করতে পারেন - সি ও এল ও ও আর এ বি আই এল আই টি ওয়াকে জি তে : যদি অ্যালগরিদম Y ই এসকে ফেরত দেয় , তবে জি কোনও ধারণ করে না কমপক্ষে কে + 1 আকারের চক্র । তবে বিপরীত প্রভাবটি ধারণ করে না: অ্যালগরিদম যদি N O প্রদান করে তবে G কমপক্ষে আকারের একটি চক্র থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে$\chi(G) \geq \omega(G)$$k-COLORABILITY$$G$$YES$$G$$k+1$$NO$$G$ (একটি কাউন্টারেরেক্সামাল হিসাবে, একটি পিরামিড বিবেচনা করুন যার বহুভুজ ভিত্তিতে একটি বিজোড় সংখ্যা রয়েছে: এটি 3- প্রশংসনীয় নয়, তবে এটির আকারের কম্বল কমপক্ষে 4 নেই )। $k+1$$3$$4$

— জর্জিও ক্যামেরানী

হ্যাঁ, সম্মত; যেহেতু আমি এটি ব্যাখ্যা করি মূল পদক্ষেপ হ্রাসের দিকনির্দেশের পক্ষে জেদ ছিল না তবে "মোটামুটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ" জিজ্ঞাসা করে মধ্যস্থতাকারী হিসাবে স্যাটকে এড়িয়ে চলার প্রতি আরও জোর দেওয়া হয়েছিল। এছাড়াও সুস্পষ্টভাবে কেউ এখনও পর্যন্ত উপরোক্ত বিষয়টির কথা উল্লেখ করেনি .... প্রশ্ন ও মন্তব্যগুলিও বিভিন্নভাবে

— দু'দিক থেকেই

দিকটি অস্পষ্ট থাকলে ক্ষমা প্রার্থনা করুন। আমি একটি সঠিক হ্রাস আগ্রহী (হ্যাঁ$\iff$হ্যাঁ), এবং আমি একটি হ্রাস আগ্রহী থেকে উপদল থেকে K-রঙ। আমার অন্য দিক রয়েছে এবং এটি আমার পোস্টে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। গ্রাফের বর্ণগুলিতে গ্রাফের বর্ণগুলির সাথে চূড়ান্ত সম্পর্ক রয়েছে এমন অনেকগুলি অবশ্যই আছে এবং আমি অবশ্যই তাদের অনেকগুলি দেখেছি (এবং আমি অনুমান করি যে এখানে আরও অনেকে তাদের অনেকগুলি দেখেছেন), তবে আমি সত্যিই একচেটিয়াভাবে বিশেষভাবে আগ্রহী হ্রাস বা কেন এটির অস্তিত্ব থাকতে পারে তার একটি দৃinc় ব্যাখ্যা।

— উইলিয়াম ম্যাক্রে

@ ভিজেএন: আমার মন্তব্যটি আপনার উত্তরের সমালোচনা করার উদ্দেশ্যে নয়। সত্য বলা যেতে হবে, প্রথমদিকে আমি আপনার মতো অনুরূপ যুক্তি তৈরি করেছিলাম, কিন্তু তখন আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে, যদি বিপরীত ইঙ্গিতটি ধারণ করতে পারে তবে সাধারণ গ্রাফগুলিতে , যা এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে পরিচিত , ইনপুট গ্রাফটি 4 টি নোডের একটি চক্র রয়েছে কিনা তা খতিয়ে দেখার দ্বারা তুচ্ছ হিসাবে বিবেচিত হত : যে কোনও জি 3- রঙিন হত যদি কেবল এটির 4 মাপের কোনও চক্র থাকে না ( তবে এটি স্পষ্টত মিথ্যা, অবশ্যই, পিরামিড কাউন্টারে নমুনা শো)। যাইহোক: আমি হ'ল যিনি হ্রাস করেছিলেন। $3-COLORING$$4$$G$$3$$4$

— জর্জিও ক্যামেরানী

: এটি পুরোপুরি স্পষ্ট ছিল যে আপনি একটি হ্রাস করতে চেয়েছিলেন , অন্যথায় এটি হ্রাস হত না! এছাড়াও, এটি পুরোপুরি পরিষ্কার ছিল যে আপনি সি এল আই কিউ ইউ ই থেকে সি ও এল ও আর আই আই এন জি হ্রাস করতে চেয়েছিলেন এবং অন্যভাবে নয়। $\Longleftrightarrow$$CLIQUE$$COLORING$

— জর্জিও ক্যামেরানি