বিপরীত চেরনফ

31

সেখানে কি বিপরীত চেরনফ বাঁধা আছে যা সীমানা দেয় যে লেজের সম্ভাবনা কমপক্ষে এত বেশি।

উদাহরণস্বরূপ যদি স্বতন্ত্র দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং । তারপর আমরা প্রমাণ করতে পারেন কিছু ফাংশন জন্য । $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\mu=\mathbb{E}[\sum_{i=1}^n X_i]$ $Pr[\sum_{i=1}^n X_i\geq (1+\delta)\mu]\geq f(\mu,\delta,n)$ $f$

pr.probability chernoff-bound

— অশ্বিনীকুমার বিভি
সূত্র

1

আপনার উদাহরণটি খুব বেশি জিজ্ঞাসা করছে: with সহ , একটি মানক চেরনফ বাউন্ড দেখায় যে এবং

সর্বাধিক

some

কিছু

।

p = n^{- 2 / 3}

$p=n^{-2/3}$

Pr [| T \cap S_{1} | \geq \sqrt{1.1} n^{1 / 3}]

$\Pr[|T\cap S_1| \geq \sqrt{1.1}n^{1/3}]$

Pr [| T \cap S_{2} | \sqrt{1.1} \leq n^{1 / 3}]

$\Pr[|T\cap S_2|\sqrt{1.1}\leq n^{1/3}]$

\exp (- c n^{1 / 3})

$\exp(-cn^{1/3})$

c

$c$

— কলিন ম্যাককুইলান 21

আপনি ঠিক বলেছেন, চেরনফের কোন শব্দটির বর্গক্ষেত্র রয়েছে সে সম্পর্কে আমি বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছিলাম। দুর্বল সীমা প্রতিবিম্বিত করতে আমি প্রশ্নটি পরিবর্তন করেছি। আমি মনে করি না এটি আমার বর্তমান প্রয়োগে আমাকে সহায়তা করবে তবে অন্যান্য কারণে এটি আকর্ষণীয় হতে পারে for

— আশ্বিনকুমার বিভি

28

এখানে একটি স্পষ্ট প্রমাণ যে একটি স্ট্যান্ডার্ড চেরনোফ প্যারামিটারগুলির একটি নির্দিষ্ট পরিসরের জন্য এক্সপোনেন্টের ধ্রুবক কারণগুলির সাথে আঁটসাঁট থাকে। (বিশেষত, যখনই ভেরিয়েবলগুলি 0 বা 1 হয় এবং সম্ভাব্যতা 1/2 বা তার চেয়ে কম 1 এবং $\epsilon\in(0,1/2)$ , এবং চেরনফ উপরের আবদ্ধ একটি ধ্রুবকের চেয়ে কম হয়))

আপনি যদি কোনও ভুল খুঁজে পান তবে দয়া করে আমাকে জানান।

থিম 1. (Chernoff এর নিবিড়তা আবদ্ধ) আসুন $X$ গড় হতে $k$ স্বাধীন, 0/1 র্যান্ডম ভেরিয়েবল (আরভি)। $\epsilon\in(0,1/2]$ এবং কোনও For এর জন্য $p\in(0,1/2]$ , ধরে ধরে $\epsilon^2 p k \ge 3$ ,

(i) প্রতিটি আরভি যদি সর্বাধিক সম্ভাব্যতা সহ 1 হয় $p$ , তবে

Pr [X \leq (1 - ϵ) p] \geq \exp (- 9 ϵ^{2} p k) .

$\displaystyle \Pr[X\le (1-\epsilon)p] ~\ge~ \exp\big({-9\epsilon^2 pk}\big).$

(ii) প্রতিটি আরভি যদি কমপক্ষে সম্ভাব্যতা সহ 1 হয় $p$ তবে তারপরে

Pr [X \geq (1 + ϵ) p] \geq \exp (- 9 ϵ^{2} p k) .

$\displaystyle \Pr[X\ge (1+\epsilon)p] ~\ge~ \exp\big({-9\epsilon^2 pk}\big).$

প্রুফ। আমরা নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণ ব্যবহার:

দাবি ১. যদি , তবে $1\le \ell \le k-1$ $\displaystyle {k \choose \ell} ~\ge~ \frac{1}{e\sqrt{2\pi\ell}} \Big(\frac{k}{\ell}\Big)^{\ell} \Big(\frac{k}{k-\ell}\Big)^{k-\ell}$

দাবির প্রমাণ 1. স্ট্রিলিংয়ের আনুমানিকভাবে, যেখানে $i!=\sqrt{2\pi i}(i/e)^ie^\lambda$ $\lambda\in[1/(12i+1),1/12i].$

সুতরাং, , যা , কমপক্ষে Qed $k\choose \ell$ $\frac{k!}{\ell! (k-\ell)!}$

\frac{\sqrt{2 π k} (\frac{k}{e})^{k}}{\sqrt{2 π ℓ} (\frac{ℓ}{e})^{ℓ} \sqrt{2 π (k - ℓ)} (\frac{k - ℓ}{e})^{k - ℓ}} \exp (\frac{1}{12 k + 1} - \frac{1}{12 ℓ} - \frac{1}{12 (k - ℓ)})

$\frac{\sqrt{2\pi k}\,(\frac{k}{e})^k} { \sqrt{2\pi \ell}\,(\frac{\ell}{e})^\ell ~~\sqrt{2\pi (k-\ell)}\,(\frac{k-\ell}{e})^{k-\ell} } \exp\Big(\frac{1}{12k+1} - \frac{1}{12\ell} - \frac{1}{12(k-\ell)}\Big)$

\geq \frac{1}{\sqrt{2 π ℓ}} (\frac{k}{ℓ})^{ℓ} (\frac{k}{k - ℓ})^{k - ℓ} e^{- 1} .

$~\ge~ \frac{1}{\sqrt{2\pi\ell}} \Big(\frac{k}{\ell}\Big)^{\ell} \Big(\frac{k}{k-\ell}\Big)^{k-\ell}e^{-1}.$

লেমার প্রমাণ 1 অংশ (i)। সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া অনুমান সমষ্টি প্রতিটি 0/1 দৈব চলক সম্ভাব্যতা সঙ্গে 1 ঠিক । দ্রষ্টব্য সমষ্টি , এবং সমান । $X$ $p$ $\Pr[X\le (1-\epsilon)p]$ $\sum_{i = 0}^{\lfloor(1-\epsilon)pk\rfloor} \Pr[X=i/k]$ $\Pr[X=i/k] = {k \choose i} p^i (1-p)^{k-i}$

ফিক্স । যোগফলের শর্তাদি বৃদ্ধি পাচ্ছে, সুতরাং সূচকের সাথে সাথে পদগুলির কমপক্ষে জন মান থাকতে পারে, সুতরাং তাদের যোগফলের মোট মান কমপক্ষে । প্রমাণটি সম্পূর্ণ করতে, আমরা দেখাই যে $\ell = \lfloor(1-2\epsilon)pk\rfloor+1$ $i\ge\ell$ $\Pr[X=\ell/k]$ $(\epsilon pk - 2) \Pr[X=\ell/k]$

(ϵ p k - 2) Pr [X = ℓ / k] \geq \exp (- 9 ϵ^{2} p k) .

$(\epsilon pk - 2) \Pr[X=\ell/k] ~\ge~ \exp({-9\epsilon^2 pk}).$

অনুমানগুলি এবং দেয় , সুতরাং উপরের বাম দিকটি কমপক্ষে । দাবি 1 ব্যবহার করে, আবদ্ধ করতে , এটি কমপক্ষে যেখানে এবং $\epsilon^2pk\ge 3$ $\epsilon\le 1/2$ $\epsilon pk \ge 6$ $\frac{2}{3}\epsilon pk\, {k \choose \ell} p^\ell(1-p)^{k-\ell}$ $k\choose \ell$ $A\, B$ $A = \frac{2}{3e}\epsilon p k/ \sqrt{2\pi \ell}$ $B= \big(\frac{k}{\ell}\big)^\ell \big(\frac{k}{k-\ell}\big)^{k-\ell} p^\ell (1-p)^{k-\ell}.$

শেষ করতে আমরা এবং । $A\ge \exp(-\epsilon^2pk)$ $B \ge \exp(-8\epsilon^2 pk)$

দাবি 2. $A \ge \exp({-\epsilon^2 pk})$

দাবির প্রমাণ 2. অনুমান এবং ইম্প্লি (i) । $\epsilon^2 pk \ge 3$ $\epsilon\le 1/2$ $pk\ge 12$

সংজ্ঞা অনুসারে, । (I) দ্বারা, । সুতরাং, (২) । $\ell \le pk + 1$ $p k \ge 12$ $\ell \,\le\, 1.1 pk$

জন্য (২) ডান পাশ বদলে মধ্যে (গ) দেয় । $\ell$ $A$ $A \ge \frac{2}{3e} \epsilon \sqrt{p k / 2.2\pi}$

অনুমান, , বোঝায় , যা (iii) দেয় (iv) । $\epsilon^2 pk \ge 3$ $\epsilon\sqrt{ pk} \ge \sqrt 3$ $A \ge \frac{2}{3e}\sqrt{3/2.2\pi} \ge 0.1$

থেকে এটা যে (উ) অনুসরণ করে । $\epsilon^2pk \ge 3$ $\exp(-\epsilon^2pk) \le \exp(-3) \le 0.04$

(iv) এবং (v) একসাথে দাবি দাও। Qed

দাবি ৩. । $B\ge \exp({-8\epsilon^2 pk})$

দাবির প্রমাণ ৩. ঠিক করুন যেমন । পছন্দমত বোঝা , তাই দাবি যতদিন রাখা হবে । এই পরবর্তী বৈষম্যের প্রতিটি দিককে পাওয়ার এবং নিয়ে যাওয়া, এটি প্রতিস্থাপন এবং সরলকরণ করা, এটি $\delta$ $\ell=(1-\delta)pk$
$\ell$ $\delta\le 2\epsilon$ $B \ge \exp(-2\delta^2pk)$ $-1/\ell$

\frac{ℓ}{p k} (\frac{k - ℓ}{(1 - p) k})^{k / ℓ - 1} \leq \exp (\frac{2 δ^{2} p k}{ℓ}) .

$\frac{\ell}{p k} \Big(\frac{k-\ell}{(1-p) k}\Big)^{k/\ell-1} ~\le~ \exp\Big(\frac{2\delta^2 pk}{\ell}\Big).$

ℓ = (1 - δ) p k

$\ell= (1-\delta)pk$

(1 - δ) (1 + \frac{δ p}{1 - p})^{\frac{1}{(1 - δ) p} - 1} \leq \exp (\frac{2 δ^{2}}{1 - δ}) .

$(1-\delta) \Big(1+\frac{\delta p}{1-p}\Big)^{\displaystyle \frac{1}{(1-\delta)p}-1} ~\le~ \exp\Big(\frac{2\delta^2}{1-\delta}\Big).$ উভয় পক্ষের লগারিদম গ্রহণ করা এবং দুবার ব্যবহার করা, এটি যতক্ষণ ধরে থাকবে উপরের বাম দিকটি সরল করে , যা চেয়ে কম হয় কারণ । Qed

\ln (1 + z) \leq z

$\ln(1+z)\le z$

- δ + \frac{δ p}{1 - p} (\frac{1}{(1 - δ) p} - 1) \leq \frac{2 δ^{2}}{1 - δ} .

$-\delta\, +\,\frac{\delta p}{1-p}\Big(\frac{1}{(1-\delta)p}-1\Big) ~\le~ \frac{2\delta^2}{1-\delta}.$

δ^{2} / (1 - p) (1 - δ)

$\delta^2/\,(1-p)(1-\delta)$

2 δ^{2} / (1 - δ)

$2\delta^2/(1-\delta)$

p \leq 1 / 2

$p\le 1/2$

দাবী 2 এবং 3 এর দ্বারা বোঝা যাচ্ছে । এটি লেমার অংশ (i) বোঝায়। $A B \ge \exp({-\epsilon^2pk})\exp({- 8\epsilon^2pk})$

লেমার 1 অংশের প্রমাণ (ii)। সাধারণত্ব ক্ষতি ছাড়া অনুমান প্রতিটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল সম্ভাব্যতা ঠিক সঙ্গে । $1$ $p$

দ্রষ্টব্য । ফিক্স । $\Pr[X\ge (1+\epsilon)p] = \sum_{i = \lceil(1-\epsilon)pk\rceil}^n \Pr[X=i/k]$ $\hat\ell = \lceil (1+2\epsilon)pk \rceil - 1$

যোগফলের সর্বনিম্ন সর্বশেষ পদগুলি কমপক্ষে , যা কমপক্ষে । (এর প্রমাণ (i) হিসাবে একই, except প্রতিস্থাপন এবং প্রতিস্থাপন যেমন that ।) কিউইডি $\epsilon pk$ $(\epsilon pk-2)\Pr[X=\hat\ell/k]$ $\exp({-9\epsilon^2 pk})$ $\ell$ $\hat\ell$ $\delta$ $-\hat\delta$ $\hat\ell = (1+\hat\delta)pk$

— নিল ইয়াং
সূত্র

বেশ কয়েকটি [গণিত প্রক্রিয়াকরণ ত্রুটি] গুলি - সেগুলি ঠিক করার কোনও সুযোগ?

— আরেহ

এই গণিত এক্সপ্রেশন ঠিক সূক্ষ্ম প্রদর্শন করতে ব্যবহৃত। কোনও কারণে \ চয়ন কমান্ড ম্যাথজ্যাক্সে কাজ করছে না। উভয়ই \ বিনম নয়। যেমন $ a \ খ চয়ন $ দেয় । সম্ভবত এটি ম্যাথজ্যাক্স কনফিগারেশনের একটি বাগ। আশা করছি খুব শীঘ্রই এটি সংশোধন করা হবে। এদিকে এর পরিশিষ্ট থিম 5.2 দেখতে arxiv.org/pdf/cs/0205046v2.pdf বা cs.ucr.edu/~neal/Klein15Number ।

(\binom{a}{b})

$a \choose b$

— নিল ইয়ং

22

বেরি-Esseen উপপাদ্য যতদিন তারা চেয়ে বেশী হয়, লেজ সম্ভাব্যতা নিম্ন সীমা দিতে পারেন । $n^{-1/2}$

আর একটি সরঞ্জাম যা আপনি ব্যবহার করতে পারেন তা হ'ল প্যালে-জাইগমুন্ড বৈষম্য । এটি বোঝায় যে কোনও সমষ্টিগত এবং যে কোনও বাস্তব-মূল্যবান এলোমেলো পরিবর্তনীয় , $k$ $X$

Pr [| X | >= \frac{1}{2} (E [X^{k}])^{1 / k}] \geq \frac{E [X^{k}]^{2}}{4 E [X^{2 k}]}

$\Pr[|X| >= \frac{1}{2}(\mathbb{E}[X^k])^{1/k}] \geq \frac{\mathbb{E}[X^k]^2}{4\mathbb{E}[X^{2k}]}$

একত্রে বহুজাতিক তাত্ত্বিকতার সাথে জন্য একটি পরিমাণে রেডেমাচার এলোমেলো ভেরিয়েবল প্যালে-জাইগমুন্ড আপনাকে বেশ শক্তিশালী নিম্ন সীমানা পেতে পারে। এছাড়াও এটি সীমানা-স্বাধীনতার র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সাথে কাজ করে। উদাহরণস্বরূপ আপনি সহজেই দেখতে পাবেন যে 4-ওয়াস ইন্ডিপেন্ডেন্ট এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল ধ্রুবক সম্ভাবনার সাথে । $X$ $n$ $n$ $\pm 1$ $\Omega(\sqrt{n})$

— সাশো নিকোলভ
সূত্র

14

যদি আপনি বার্নোল্লি ট্রায়ালের (বা না বলে, সীমাবদ্ধ র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি) সীমাবদ্ধতার সাথে সত্যই ঠিক থাকেন তবে নীচেরটি বেশ শক্ত।

স্লড এর অসমতা *। যাক IID সঙ্গে একটি বের্নুলির আরভি থেকে স্বপক্ষে হতে , এবং দিন পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হবে। যদি হয় (ক) এবং , বা (খ) , তবে যেখানে একটি প্রমিত স্বাভাবিক সিডিএফ হয়। $\{X_i\}_{i=1}^n$ $\mathbb{E}(X_1) = p$ $k\leq n$ $p\leq 1/4$ $np \leq k$ $np \leq k \leq n(1-p)$
$Pr [\sum_{i} X_{i} \geq k] \geq 1 - Φ (\frac{k - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}}),$ $\text{Pr}\big[\sum_i X_i \geq k\big] \geq 1 - \Phi\left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right),$ $\Phi$

( Normal এর যুক্তিটিকে মানকে সাধারণ রূপান্তর হিসাবে চিহ্নিত করার সাথে সাথে এটি সিএলটি আপনাকে যা বলে ঠিক তার সাথে একমত হয়; বাস্তবে, এটি আমাদের বলে যে উপপাদকের শর্ত পূরণকারী দ্বিপদীগুলি উপরের লেজগুলিতে তাদের সংশ্লিষ্ট গাউসিয়ানদের উপর কর্তৃত্ব করবে।) $\Phi$

এখান থেকে, আপনি আরও ভাল কিছু পেতে সীমা ব্যবহার করতে পারেন । উদাহরণস্বরূপ, গ্যালসিয়ানদের বিভাগে ফেলারের প্রথম বইটিতে প্রতিটি জন্য দেখানো হয়েছে যে যেখানে হ'ল একটি সাধারণ মানের ঘনত্ব। "কিউ-ফাংশন" এর জন্য উইকিপিডিয়া নিবন্ধেও একই সীমা রয়েছে। $\Phi$ $z>0$

\frac{z}{1 + z^{2}} φ (z) < 1 - Φ (z) < \frac{1}{z} φ (z),

$\frac{z}{1+z^2}\varphi(z) < 1-\Phi(z) < \frac{1}{z}\varphi(z),$

φ

$\varphi$

এটি ব্যতীত এবং অন্যান্য লোকেরা যা বলেছে, আপনি সরাসরি বাইনোমিয়াল ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারেন, সম্ভবত কিছু স্ট্র্লিং দিয়ে।

(*) স্লাদের অসমতার নতুন কিছু বিবৃতি এই শর্তগুলির কিছু বাদ দেয়; আমি স্লডের কাগজে একটি পুনরুত্পাদন করেছি।

— matus
সূত্র

7

ডি মাইভ্রে-ল্যাপ্লেস উপপাদ্যটি দেখায় যে মতো ভেরিয়েবল উপযুক্তভাবে স্বাভাবিক হওয়ার পরে এবং কিছু শর্তের পরে, বিতরণকে একটি সাধারণ বিতরণে রূপান্তরিত করা হবে। আপনি যদি অবিচ্ছিন্ন নিম্ন সীমানা চান তবে এটি যথেষ্ট। $|T\cap S_1|$

like এর মতো নিম্ন সীমাগুলির জন্য আপনার কিছুটা সূক্ষ্ম সরঞ্জাম প্রয়োজন। এখানে আমি জানি একটি রেফারেন্স (তবে কেবল দুর্ঘটনাক্রমে - আমি নিজে কখনও এই জাতীয় অসমতা ব্যবহার করার সুযোগ পাইনি)। দ্বিপদ ডিস্ট্রিবিউশন এর লেজ সম্ভাব্যতা কিছু স্পষ্ট নিম্ন সীমা উপপাদ্য 1.5 হিসাবে দেওয়া হয় বই এলোমেলো গ্রাফ মদদে বেলা Bollobás, কেমব্রিজ, 2nd সংস্করণ, যেখানে আরও রেফারেন্স দেওয়া হয় দ্বারা সম্ভাব্যতা এবং তার অ্যাপ্লিকেশনে একটি ভূমিকা কাঠুরিয়া ও সম্ভাবনা ফাউন্ডেশন Rényi দ্বারা। $n^{-c}$

— কলিন ম্যাককুইলান
সূত্র

4

জেনারালাইজড লিটলউড-অফর্ডের উপপাদ্যটি আপনি যা চান ঠিক তেমন নয়, তবে এটি একটি "বিপরীত চেরনফ" হিসাবে আমি যা মনে করি তা প্রমাণ করে যে এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল কোনও নির্দিষ্ট মানের চারপাশে একটি ছোট পরিসরের মধ্যে পড়ার সম্ভাবনা নেই (সহ) প্রত্যাশা)। সম্ভবত এটি দরকারী হবে।

সাধারণত, উপপাদ্যটি নিম্নরূপ follows

জেনারালাইজড লিটলউড-অফর্ডের উপপাদ্য : আসুন , এবং আসল সংখ্যার মতো হন জন্য এবং মান শূন্য এবং একটিতে স্বতন্ত্র এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে দিন। জন্য , যে অনুমান করা সকলের জন্য । তারপরে, কোনও for এর জন্য , যেখানে কেবলমাত্র উপর নির্ভরশীল একটি ধ্রুবক । $a_1, \ldots, a_n$ $s>0$ $|a_i| \ge s$ $1 \le i \le n$ $X_1, \ldots, X_n$ $0 < p \le \frac{1}{2}$ $p \le \Pr[X_i = 0] \le 1-p$ $1 \le i \le n$ $r \in \mathcal{R}$

Pr [r \leq \sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i} < r + s] \leq \frac{c_{p}}{\sqrt{n}}

$\Pr \left[ r \le \sum_{i=1}^{n}{a_iX_i} < r+s\right] \le \frac{c_p}{\sqrt{n}}$

c_{p}

$c_p$

p

$p$

— লেভ Reyzin
সূত্র

3

এটি অন্যদের জন্য সহায়ক হতে পারে যে এই ধরণের ফলাফলটি "ছোট বলের অসমতা" হিসাবেও পরিচিত এবং এনগুইন এবং ভের একটি দুর্দান্ত জরিপ লোক রয়েছে। Math.osu.edu/nguyen.1261/cikk/LO-survey.pdf । আমার দৃষ্টিভঙ্গি এখানে আপনার থেকে কিছুটা আলাদা। আমি "বিপরীত চেরনোফ" আবদ্ধকে ছোট বলের প্রায় সম্ভাব্যতার ভর সম্পর্কে কম অনুমান হিসাবে বিবেচনা করি বলে মনে করি। আমি একটি ছোট বলের অসমতাকে গুণগতভাবে বলেছি যে বলের দ্বারা ছোট বলের সম্ভাবনা সর্বাধিক হয় ইন্দ্রিয়ের বিপরীত চেরনফ সীমানা সাধারণত ছোট বলের অসমতার চেয়ে প্রমাণ করা সহজ।

— সাশো নিকোলভ

3

উইকিপিডিয়ায় উল্লিখিত হিসাবে স্ট্যান্ডার্ড চেরনফের বেঁধে দেওয়া 0/1-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য শক্ত tight যাক দিন স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটা ক্রম হতে যেমন যে প্রত্যেকের জন্য , এবং । তারপরে প্রতি , $0<p<1$ $X_1,X_2,\ldots$ $i$ $\Pr[X_i=1]=p$ $\Pr[X_i=0]=1-p$ $\varepsilon>0$

\frac{2^{- D (p + ε ‖ p) \cdot n}}{n + 1} \leq Pr [\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \geq (p + ε) n] \leq 2^{- D (p + ε ‖ p) \cdot n} .

$\begin{equation} \frac{2^{-D(p+\varepsilon\| p)\cdot n}}{n+1}\leq \Pr\left[ \sum_{i=1}^n X_i \geq (p+\varepsilon)n\right]\leq 2^{-D(p+\varepsilon\| p)\cdot n}. \end{equation}$

এখানে, , যা বার্নুলি এলোমেলো মধ্যে কুলব্যাক-লেবলার বিভাজক এবং পরামিতি সহ ভেরিয়েবলগুলি । $D(x\| y)=x \log_2(x/y)+(1-x)\log_2((1-x)/(1-y))$ $x$ $y$

উল্লিখিত হিসাবে, উপরের বৈষম্যের উপরের সীমাটি উইকিপিডিয়াতে ( https://en.wikedia.org/wiki/Chernoff_bound ) "চেরনফ-হফিংডিং উপপাদ্য, সংযোজন ফর্ম" নামে প্রমাণিত । নিম্ন প্রান্তটি উদাহরণস্বরূপ "প্রকারের পদ্ধতি" ব্যবহার করে প্রমাণিত হতে পারে। [1] এ লেমমা II.2 দেখুন। এছাড়াও, এটি কভার এবং থমাস দ্বারা তথ্য তত্ত্বের সর্বোত্তম পাঠ্যপুস্তকে আচ্ছাদিত।

[1] ইম্রে সিজিজার: প্রকারের পদ্ধতি। ইনফরমেশন থিওরিতে আইইইই লেনদেন (1998)। http://dx.doi.org/10.1109/18.720546

— JWM
সূত্র

এটিও লক্ষণীয় যে , এবং সাধারণ ক্ষেত্রে এটি হ'ল । এটি দেখায় যে যখন টিপিক্যাল সীমাটি তীক্ষ্ণ হয়। (এবং যখন জন্য )।

D (p + δ p ‖ p) = \frac{p}{2 - 2 p} δ^{2} + O (δ^{3})

$D(p+\delta p\|p)=\frac{p}{2-2p}\delta^2+O(\delta^3)$

p = 1 / 2

$p=1/2$

\frac{1}{2} δ^{2} + O (δ^{4})

$\frac{1}{2}\delta^2+O(\delta^4)$

δ = O (n^{- 1 / 3})

$\delta=O(n^{-1/3})$

e^{- C δ^{2}}

$e^{-C \delta^2}$

δ = O (n^{- 1 / 4})

$\delta=O(n^{-1/4})$

p = 1 / 2

$p=1/2$

— টমাস আহলে 19