# 2-স্যাট এর # পি-সম্পূর্ণ সাবফ্যামিলিগুলি কী কী?

Question

সংক্ষিপ্ত সংস্করণ.

# 2-স্যাট হ'ল আসল প্রমাণ হ'ল # পি- কমপ্লিট দেখায়, আসলে, # 2-স্যাট এর যে দৃষ্টান্তগুলি উভয়ই একঘেয়ে (কোনও ভেরিয়েবলের অবহেলার সাথে জড়িত নয়) এবং বাইপারটাইট ( উপরের ধারাগুলির দ্বারা গঠিত গ্রাফ ) ভেরিয়েবলগুলি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ) # পি- হর্ট। সুতরাং, # 2-মনোটোন-স্যাট এবং # 2-বিপার্টি-স্যাট দুটি বিশেষ কেস হ'ল # পি- উত্তর। সূত্রের 'প্রাকৃতিক' বৈশিষ্ট্যগুলির ক্ষেত্রেও এমন আরও কিছু বিশেষ কেস চিহ্নিত করা যেতে পারে, যা # পি- হর?

দীর্ঘ সংস্করণ।

সমস্যা # 2-স্যাট কম্পিউটিং এর টাস্ক - একটি বুলিয়ান সূত্রের জন্য বিভিন্ন ক্লজ একত্রে, যেখানে প্রতিটি দফা দুই লিটারেল একটি বিচ্ছিন্ন অবস্হা হয় গঠিত এক্স ঞ বা ˉ এক্স ঞ বুলিয়ান স্ট্রিং নম্বর - এক্স ∈ { 0 , 1 } n যেমন ϕ ( x ) = 1 । এ জাতীয় এক্স উপস্থিত আছে কি নেই তা সন্ধান করা সহজ; তবে সাধারণভাবে সমাধানের সংখ্যা গণনা করা # পি- কমপ্লিট, যেমন ভ্যালেন্ট ইন দেখিয়েছেন shown$\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$গণনা এবং নির্ভরযোগ্যতা সমস্যার জটিলতা, সিয়াম জে.কম্পুট।, 8 , পৃষ্ঠা 410-421 ।

বিশেষত # 2-স্যাট-এর ক্ষেত্রে, ভ্যালেন্ট যা দেখায় তা হল দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে ম্যাচিং (অসম্পূর্ণ ব্যক্তিগুলি সহ) গণনা থেকে # 2-স্যাট হ্রাস, যা খুব নির্দিষ্ট কাঠামোর সাথে # 2-স্যাট এর উদাহরণগুলিকে জন্ম দেয় , নিম্নরূপ.

1. প্রথমত, মনে রাখবেন যে একঘেয়েমি সমস্যা, সমতূল্য সমস্যা যাতে প্রতিটি পরিবর্তনশীল জন্য প্রতিস্থাপন দ্বারা, , হয় এক্স ঞ সূত্রে ঘটে φ বা ˉ এক্স ঞ করে কিন্তু উভয়েই নয়। বিশেষ করে, "একঘেয়েমি কমছে" সমস্যা যা শুধুমাত্র negations ˉ এক্স ঞ যে পরিবর্তনশীল জন্য ঘটতে ঠিক একঘেয়েমি ক্ষেত্রে হিসাবে হার্ড হয়।$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. মি প্রান্ত সহ যে কোনও গ্রাফ , আমরা ম্যাচিংয়ের সাথে সম্পর্কিত একটি মনোটোন হ্রাসকারী 2-স্যাট সূত্রটি তৈরি করতে পারি - কোন প্রান্ত ভাগ না করে এমন ধারগুলি - প্রতিটি প্রান্তে একটি ভেরিয়েবল এক্স ই নির্ধারিত করে এটি একটি প্রান্ত-সেট অন্তর্ভুক্ত কিনা; একটি সেট এম ⊆ ই এর ম্যাচ হওয়া সম্পত্তি হ'ল ঘটনা ভেক্টর x = χ এম সিএনএফ সূত্রকে সন্তুষ্ট করে ϕ যার ধারাগুলি ( ˉ x e ∨ ˉ x f ) দ্বারা প্রদত্ত$G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$প্রতিটি জোড়া প্রান্তের যা একটি খণ্ড ভাগ করে। নির্মাণ করার মাধ্যমে, φ হয়েছে হিসাবে অনেক পরিতৃপ্ত সমাধান এক্স ∈ { 0 , 1 } মি সেখানে হিসাবে (অপূর্ণ সম্ভবত) হয় গ্রাফে matchings জি ।$e, f \in E$$\phi$$\mathbf x \in \{0,1\}^m$$G$

3. যদি গ্রাফ যার জন্য আমরা ম্যাচগুলি গণনা করতে চাই দ্বিপক্ষীয়, তবে এতে কোনও বিজোড় চক্র নেই - যা আমরা গ্রাফের প্রান্তগুলির ক্রম হিসাবে বর্ণনা করতে পারি যা একই প্রান্ত দিয়ে শুরু হয় এবং শেষ হয় (দু'বার চূড়ান্ত প্রান্তটি গণনা ছাড়াই) । এরপর ভেরিয়েবল কোন ক্রম এক্স ই , এক্স চ , এক্স ছ , ... , x এর ই অদ্ভুত দৈর্ঘ্যের φ , যা সংলগ্ন ভেরিয়েবল একটি সাধারণ দফা জড়িত হয়। তারপর সূত্র φ মধ্যে পদ্ধতিতে আগে বর্ণিত দ্বিপাক্ষিক হবে।$G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. বিপরীতমুখী দ্বিখণ্ডিত গ্রাফগুলিতে মিলের সংখ্যা গণনা করা, বিশেষত, দ্বিদলীয় গ্রাফে নিখুঁত মিলগুলির সংখ্যা গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে: একটি ইনপুট বিটরেট গ্রাফ দিয়ে দুটি বিভাজন এ , বি দিয়ে দেওয়া হয়েছে একই আকার এন , এক গ্রাফ তৈরি করতে পারেন জি ট উদ্দীপক দ্বারা একটি যে কোন জায়গায় সঙ্গে 0 ⩽ ট ⩽ এন অতিরিক্ত ছেদচিহ্ন সব সংযুক্ত ছেদচিহ্ন বি । কারণ সমস্ত ম্যাচ $G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$$0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$একটি প্রদত্ত আকারের মধ্যে matchings সংখ্যা ভিন্নভাবে অবদান , এই এক বেড়ে চলেছে মধ্যে matchings সংখ্যা নির্ধারণ করতে পারেন দ্বারা জি আকারের এন (যে, যা নিখুঁত matchings হয়); এবং মনে রাখবেন দ্বিপাক্ষিক গ্রাফ নিখুঁত matchings সংখ্যা বেড়ে চলেছে কম্পিউটিং এর permanents সমতূল্য { 0 , 1 } একটি সহজ correspondance দ্বারা -matrices।$G_k$$G$$n$$\{0,1\}$

# 2-স্যাট এর উদাহরণগুলির শ্রেণি যা # পি- দেখানো হয় তবে তা একঘেয়ে দ্বিপক্ষীয় দৃষ্টান্ত।

প্রশ্ন: # 2-SAT এর অন্যান্য বিশেষ কেসগুলি যা # পি- কমপ্লিট, এটি বা অন্য কোনও হ্রাসের ফলে?

এটি আকর্ষণীয় হবে যদি হ্রাস প্রদর্শন / উদ্ধৃতকরণের পাশাপাশি, লোকেরা কীভাবে বিশেষ কেসটি প্রাকৃতিক পদ্ধতির প্রতিবন্ধকতা সরবরাহ করতে পারে তার একটি স্বজ্ঞাত কারণ বর্ণনা করতে পারে যা স্যাটিসাইটিং অ্যাসাইনমেন্টগুলি গণনা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদিও MONOTONE-2-SAT তুচ্ছভাবে সমাধানযোগ্য ( সর্বদা একটি সমাধান), একরঙা দৃষ্টান্তগুলি স্থির মানকে কিছু ভেরিয়েবল নির্ধারণ করা নিয়মিতভাবে অবশিষ্ট ভেরিয়েবলগুলিতে অনেকগুলি প্রতিবন্ধকতা আরোপ করতে ব্যর্থ হয়। যেকোন ভেরিয়েবলের স্থিরতা x j = 0 কেবল কিছু দফা দ্বারা তত্ক্ষণাত্ তার সাথে সম্পর্কিত ভেরিয়েবলের মানগুলিকে সীমাবদ্ধ করে; এবং x j = $\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$অন্য কোনও ভেরিয়েবলের সম্ভাব্য মানগুলিকে মোটেই সীমাবদ্ধ করে না। (এটি পরিষ্কার নয় যে দ্বিপক্ষীয় গ্রাফের সাথে তুলনামূলক সীমাবদ্ধতা একইভাবে তাত্পর্যপূর্ণ; তবে দ্বিপাক্ষিক বিধিনিষেধটি এটি অপসারণের পরিবর্তে কাঠামো যুক্ত করে বলে মনে হয় তবে দক্ষতার সাথে গণনা করার জন্য এটি কাঠামো যুক্ত করতে ব্যর্থ হয়।)

যুক্ত করতে সম্পাদিত। বোনাস পয়েন্টগুলি এমন কোনও শ্রেণীর জন্য পুরষ্কার দেওয়া হবে যা শেষ পর্যন্ত একঘেয়ে নজিরগুলির অস্তিত্বের উপর নির্ভর করে না (যেমন # 2-বিপার্টিট-স্যাট উপরে করে, যার দৃ hard়তা স্পষ্টতই # পি -বিশেষ বিশেষ ক্ষেত্রে # 2 অন্তর্ভুক্তির কারণে -MONOTONE-দ্বিপাক্ষিক-স্যাট)। উদাহরণস্বরূপ, # 2-BIPARTITE-SAT এর কঠোরতার জন্য একটি যুক্তি যা একঘেয়ে ঘটনাগুলির উপর নির্ভর করে না (তবে কিছু অন্যান্য উপ-পরিবারের উপর নির্ভর করতে পারে) এটি আকর্ষণীয় হবে।

Comments

আপনার প্রশ্নের শেষে আপনি যা চেয়েছিলেন ঠিক তেমন নয়, তবে একটি হ্রাস রয়েছে যা একটি নির্বিচার সিএনএফ সূত্র একটি 2-স্যাট সূত্র দেয় returns যা একঘেয়ে নয় এবং যার নীচের সম্পত্তি রয়েছে: এর সমাধানের সংখ্যা Ψ সত্য বিয়োগ সমাধান সংখ্যার সেট ভেরিয়েবল একটি বিজোড় সংখ্যা থাকার Ψ সত্য সেট করা ভেরিয়েবল একটি এমনকি সংখ্যা থাকার সমাধান সংখ্যার সমান Φ । $\Phi$$\Psi$$\Psi$$\Psi$$\Phi$

— জর্জিও ক্যামেরানি

আমি বলতে ভুলে গেছি এটিও দ্বিপক্ষীয়। $\Psi$

— জর্জিও ক্যামেরানি

Answer 1

# 3-নিয়মিত দ্বিদলীয় প্লানার ভার্টেক্স কভার # পি-সম্পূর্ণ

যেহেতু শীর্ষস্থানীয় কভারগুলি গণনা করা হয় ঠিক তেমনই এক মনোটোন # 2-স্যাট উদাহরণের সন্তোষজনক কার্য গণনা হিসাবে একই , উপরের ফলাফল থেকে বোঝা যায় যে # 2-স্যাট উদাহরণের সন্তোষজনক কার্য গণনা করা # পি-সম্পূর্ণ যা একরঙা এবং 3-নিয়মিত এবং দ্বিপাক্ষিক এবং প্ল্যানার ।

এর পরিবর্তে এর অর্থ হ'ল, প্রশ্নটিতে ইতিমধ্যে উদ্ধৃত দুটি # 2-মনোটোন-স্যাট এবং # 2-বিপার্টি-স্যাট ছাড়াও দুটি # 2-ঘনক-স্যাট এবং # 2-প্ল্যানার-স্যাট বিশেষ দুটি মামলা রয়েছে # পি-সম্পূর্ণও।