গ্যাডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদকদের চার্চ-টুরিং থিসিসের সাথে সম্পর্ক


11

এটি একটি নিষ্পাপ প্রশ্ন হতে পারে, তবে এখানে যায়। (সম্পাদনা করুন - এটি উত্সাহ পাচ্ছে না, তবে কেউ প্রতিক্রিয়াও দেয় নি; সম্ভবত প্রশ্নটি আরও কঠিন, অস্পষ্ট বা আমার ধারণা থেকে অস্পষ্ট?)

গুডেলের প্রথম অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটি থামানো সমস্যার অনিশ্চয়তার এক প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ সিপ্সার চ। 6; স্কট অ্যারনসনের ব্লগ পোস্ট )।

আমি যা বুঝি (মন্তব্যগুলি দ্বারা নিশ্চিত) থেকে, এই প্রমাণ চার্চ-টিউরিং থিসিসের উপর নির্ভর করে না । একটি সম্পূর্ণ এবং ধারাবাহিক আনুষ্ঠানিক পদ্ধতিতে, একটি টুরিং মেশিন থামানো সমস্যার সমাধান করতে পারে তা দেখিয়ে আমরা একটি দ্বন্দ্ব অর্জন করি। (অন্যদিকে আমরা যদি কেবল দেখিয়েছি যে কিছু কার্যকর প্রক্রিয়া থামিয়ে দেওয়া সমস্যার সমাধান করতে পারে, তবে আমাদের বৈপরীত্য পেতে চার্চ-টিউরিং থিসিসটিও ধরে নেওয়া দরকার।)

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে এই ফলাফলটি চার্চ-টিউরিং থিসিসের জন্য কিছুটা স্বজ্ঞাত সহায়তা সরবরাহ করে, কারণ এটি দেখায় যে টুরিং মেশিনগুলির একটি সীমাবদ্ধতা সর্বজনীন সীমাবদ্ধতা বোঝায়। (অ্যারনসনের ব্লগ পোস্ট অবশ্যই এই দৃষ্টিভঙ্গি সমর্থন করে))

আমার প্রশ্ন হ'ল আমরা কি বিপরীতে গিয়ে আরও কিছু কংক্রিট অর্জন করতে পারি: গ্যাডেলের তত্ত্বগুলি চার্চ-টিউরিং থিসিসের জন্য কোন আনুষ্ঠানিক প্রভাব ফেলবে? উদাহরণস্বরূপ, এটি স্বজ্ঞাতভাবে সম্ভব বলে মনে হচ্ছে যে প্রথম অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যটি ইঙ্গিত দেয় যে কোনও কার্যকর পদ্ধতি নির্ধারণ করতে পারে না যদি একটি স্বেচ্ছাসেবী টুরিং মেশিন বন্ধ হয়ে যায়; যুক্তি হতে পারে যে এই জাতীয় পদ্ধতির অস্তিত্ব পুরো complete ধারাবাহিক তত্ত্বটি তৈরির ক্ষমতা বোঝায় । এটা কি সঠিক? এই লাইন বরাবর কোন ফলাফল আছে?ω

(আমি কৌতূহল থেকে জিজ্ঞাসা করছি - আমি নিজে যুক্তি অধ্যয়ন করি না - তাই যদি এটি সুপরিচিত বা গবেষণা-স্তরের না হয় তবে আমি ক্ষমাপ্রার্থী that সেক্ষেত্রে, এটি একটি রেফারেন্স অনুরোধ বিবেচনা করুন! কোনও মন্তব্য বা প্রতিক্রিয়ার জন্য ধন্যবাদ !)

প্রশ্নটি সম্পর্কিত যা মনে হয় তবে তা নয়: চার্চের উপপাদ্য এবং গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য


সম্পাদনা: আমি প্রশ্নটি আরও পরিষ্কার করার চেষ্টা করব! প্রথম - আমার নির্বুদ্ধি অন্তর্নিহিততা হ'ল গডেলের অসম্পূর্ণতাটি কমপ্যাটেবল কি বা না তা নিয়ে কমপক্ষে কিছু সীমাবদ্ধতা বোঝানো উচিত । এই সীমাবদ্ধতাগুলি নিঃশর্ত হবে, অর্থাত্ , কেবলমাত্র ট্যুরিং মেশিনের চেয়ে তাদের সমস্ত মডেলের গণনার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা উচিত ।

সুতরাং আমি ভাবছি যে এটি যদি হয় (অবশ্যই কিছু জড়িত থাকতে হবে , তাই না?) এটি ধরে নিলে, আমি চার্চ-টুরিং থিসিসকে কীভাবে প্রভাবিত করে সে সম্পর্কে আমি সবচেয়ে কৌতূহলী - ধারণাটি যে কার্যকরভাবে গণনাযোগ্য যে কোনও কিছুই একটি টুরিং মেশিন দ্বারা গণনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, এটি সম্ভবত সম্ভব মনে হয় যে কোনও টিউরিং মেশিন থামানো হয়েছে তা প্রথম অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের বিরোধিতা করবে কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য কার্যকর পদ্ধতির অস্তিত্ব। এই ফলাফলটি প্রমাণ করবে যে ট্যুরিং মেশিনের চেয়ে গণনার কোনও সম্ভাব্য পদ্ধতি "বেশি" শক্তিশালী হতে পারে না; তবে এই ফলাফল কি সত্য? মন্তব্যে আমার দু'জনের একই রকম প্রশ্ন রয়েছে। আমি এই প্রশ্নের একটি উত্তর শুনতে খুব আগ্রহী হব, সাহিত্যের একটি উত্তরের পয়েন্টার, আমার সম্পূর্ণ যুক্তিটি কেন বেস-ভিত্তিক, বা অন্য কোনও মন্তব্যগুলির ব্যাখ্যা!


4
উভয় প্রমাণ একই ফলাফল দেয় এবং অনুরূপ অনুমানের প্রয়োজন। এগুলির কোনওটিরই চার্চ-টিউরিং থিসিসের প্রয়োজন নেই। আপনি যদি "অ্যালগরিদমিক কম্পিউটারিয়া" এর অস্পষ্ট এবং স্বজ্ঞাত ধারণা সম্পর্কে দাবি করতে চান তবেই সিটিটি প্রয়োজন।
কাভেহ

1
PS: প্রশ্নটি কম্পিউটার বিজ্ঞান বা গণিতের জন্য আরও উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে ।
কাভেহ

2
আমি প্রশ্নটি বুঝিনি. জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে কি কেউ ব্যাখ্যা করতে পারেন?
আন্দ্রেজ বাউর 20

1
আমি সম্মত নই যে এই প্রশ্নটি সিএস বা গণিতের জন্য আরও উপযুক্ত। এটি এখানে বিষয়টিতে সঠিক বলে মনে হচ্ছে: মূল সমস্যাটি কী জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে তা নীচে নেওয়ার চেষ্টা করছে এবং সেই আলোচনা চলছে।
সুরেশ ভেঙ্কট 22

3
tl; dr: উপপাদাগুলি স্বজ্ঞাত ধারণা সম্পর্কে আনুষ্ঠানিকভাবে কিছু বোঝাতে পারে না। চার্চ-টিউরিং থিসিসটি "কার্যকর গণনা" এর স্বজ্ঞাত ধারণা সম্পর্কে একটি অনানুষ্ঠানিক বিবৃতি। সুতরাং, গডেলের উপপাদাগুলি চার্চ-টিউরিং থিসিস সম্পর্কে আনুষ্ঠানিকভাবে কিছু বোঝাতে পারে না।
জেফ

উত্তর:


9

এখানে একটি দার্শনিক উত্তর যা আপনাকে বিনোদন দিতে পারে is

গুডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদাগুলি পানো পাটিগণিতের আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থা সম্পর্কে about যেমন তারা গণনার মডেল সম্পর্কে কিছুই বলেন না, অন্তত কিছু পরিমাণ ব্যাখ্যা ব্যতীত না।

পেনো পাটিগণিত সহজেই অ-গণনীয় কার্যের অস্তিত্ব দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি শাস্ত্রীয় তত্ত্বটি ট্যুরিং মেশিন সম্পর্কে কথা বলার পক্ষে যথেষ্ট মত প্রকাশকারী, এটি বাদ দেওয়া মাঝের নির্দিষ্ট উদাহরণটি দেখায় যা বলে যে প্রতিটি টুরিং মেশিন চিরতরে বন্ধ থাকে বা চলে। তা সত্ত্বেও, গোডেলের কাজ থেকে computability একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা উঠে, যথা একটি যে (আদিম) রিকার্সিভ ফাংশন । সুতরাং এটি তত্ত্বগুলি নিজেরাই গণনাযোগ্যতার সাথে সংযুক্ত নয়, বরং প্রমাণের পদ্ধতি যা তাদের প্রতিষ্ঠা করে।

অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের সংক্ষিপ্ততা প্রবণতা যুক্তি ব্যবহার করে একটি বিমূর্ত আকারে প্রকাশ করা যেতে পারেযা এক ধরণের মডেল লজিক। এটি অসম্পূর্ণতা উপপাদাগুলিকে পিয়ানো পাটিগণিত এবং গণনার বাইরেও প্রযোজ্যতার বিস্তৃত পরিসর দেয়। যত তাড়াতাড়ি নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট পয়েন্টের নীতিগুলি সন্তুষ্ট হয়, অসম্পূর্ণতা শুরু হয় fixed এই নির্দিষ্ট পয়েন্ট নীতিগুলি traditionalতিহ্যগত গণনা তত্ত্ব দ্বারা সন্তুষ্ট, যা অতএব অসম্পূর্ণতার শিকার হয়, যার দ্বারা আমি অবিচ্ছেদ্য সিএল সেটগুলির অস্তিত্বকে বোঝায়। পেরোনো পাটিগণিত রূপের অবিচ্ছেদ্য সিই সেটগুলির প্রমাণযোগ্য এবং অস্বীকৃত বাক্যগুলির কারণে, öতিহ্যবাহী গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদাগুলি গণ্যতার ক্ষেত্রে অসম্পূর্ণ ঘটনার প্রতিচ্ছবি হিসাবে দেখা যেতে পারে। (আমি দার্শনিকভাবে অস্পষ্ট হয়ে পড়ছি এবং আপনি যদি গণিতবিদ হিসাবে আমাকে বোঝার চেষ্টা করেন তবে আপনার মাথা ব্যথা করবে will)

আমি মনে করি যে আমরা কার্যকরভাবে কার্যকর হওয়ার অনানুষ্ঠানিক ধারণার সাথে সম্পর্কিত ("আসলে এমন জিনিস যা" গণনা করা যায় ") এর সাথে দুটি অবস্থান নিতে পারি :

  1. আমরা সবাই জানি, আমরা কেবল একটি বৃহত্তর সসীম অটোমেটন, "টিউরিং মেশিন" নামক কাল্পনিক সুপার হিরোগুলি বিবেচনা করতে সক্ষম যারা সীমাহীন সংখ্যা (হাঁফ!) দিয়ে গণনা করতে সক্ষম। যদি এটি হয় তবে গুডেল খুব ভাল গল্পের গল্পকার ছিলেন। তাঁর গল্পগুলি কীভাবে কার্যকরীতার সাথে অনুবাদ করে তা বাস্তবে কল্পনার কিছু (প্রয়োজনীয়ভাবে অসম্পূর্ণ) প্রয়োগের বিষয়।

  2. যেহেতু অসম্পূর্ণতা ঘটনাটি অনেক প্রসঙ্গে প্রাকৃতিকভাবে উত্থিত হয় এবং অবশ্যই গণনার সমস্ত যুক্তিসঙ্গত ধারণার মধ্যে, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে কার্যকারিতার ক্ষেত্রে একই ঘটনা ঘটতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমরা লা জোয়েল হামকিনের অসীম-সময় টুরিং মেশিনগুলি গণনা করার জন্য ট্যুরিং মেশিনগুলি ব্ল্যাকহোলগুলিতে প্রেরণ করতে পারি । এটি আমাদেরকে প্রচুর কম্পিউটিং শক্তি দেয় যেখানে থামানো ওরাকল একটি কিন্ডারগার্টেন খেলনা। তবে তবুও, মডেলটি মৌলিক শর্তাদি সন্তুষ্ট করে যা আমাদের অন্তর্ভুক্তযোগ্য সেটগুলির অস্তিত্ব দেখাতে দেয়। এবং তাই আবারও, গণনা সর্বশক্তিমান নয় এবং অসম্পূর্ণতা জীবনের সত্য।


6
আন্দ্রেজের উত্তরের একটি সামান্য সংযোজন: প্রবণতা যুক্তিটি সমস্ত যুক্তি এবং সিএসে বারবার প্রদর্শিত হয়। মডেল মিউ-ক্যালকুলাস এবং অস্থায়ী যুক্তির কেন্দ্রস্থলে মিথ্যা, মাল্টিস্টেজ গণনার জন্য ক্যালকুলি এবং পুনরাবৃত্তির ধরণের মেট্রিক শব্দার্থবিদ্যা। এই পুনরাবৃত্তিটি সূচিত করে যে গোডেলের ফলাফলটি স্ব-রেফারেন্স সম্পর্কে সত্যই ছিল এবং তার প্রমাণের কেন্দ্রস্থল একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্য যা দেখায় যে সংখ্যাগুলি সিনট্যাক্স ট্রিগুলিকে এনকোড করতে পারে। (কম উত্থাপিতভাবে, গোয়েদেলের স্থির পয়েন্টের উপপাদ্যটি বলেছে যে আপনি ASCII তে সমস্ত সূত্র লিখতে পারেন!)
নীল কৃষ্ণস্বামী

দার্শনিক, বিনোদনমূলক, এবং খুব শিক্ষামূলক - ধন্যবাদ!
usul

2
আমরা যা জানি, আমরা কেবল তার চেয়ে বড় সীমাবদ্ধ অটোমেটন ... - "আমরা জানি সবার জন্য"? এটা কি সুস্পষ্ট নয়?
জেফি

4
আমরা মাঝারি আকারের সসীম অটোমেটন হতে পারি।
আন্দ্রেজ বাউয়ার

1
@ জে ff ই এগুলি কেবলমাত্র সেই বিষয় যেখানে আমাদের পদার্থবিজ্ঞানের বর্তমান উপলব্ধিটি ভেঙে যায়, যেখানে প্রকৃতি নিজেই তা করে না arily আমি নিজেকে অন্তঃসত্ত্বাবাদী '(আমি কিছুটা লুপ কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণটির দিকে ঝুঁকছি), তবে এক বা অন্য রূপের সত্যিকারের এনালগের গণনা বাতিল করা বৈধভাবে শক্ত বলে মনে হচ্ছে।
স্টিভেন স্টাডনিকি

6

আমি নীলের মন্তব্যে জোর দিতে চাই , থামার অদ্বিতীয়ত এবং গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য উভয়ের প্রধান সরঞ্জামগুলি হ'ল:

  1. সংখ্যা / স্ট্রিং এবং সম্পর্ক / ফাংশন দ্বারা প্রমাণ, গণনা ইত্যাদির মতো সিনট্যাক্টিক ধারণাগুলি এনকোডিং করা;
  2. গডেলের নির্দিষ্ট পয়েন্ট উপপাদ্য।

সিনট্যাকটিক অবজেক্টস এবং ধারণাগুলির এনকোডিংটি আজ স্পষ্ট মনে হতে পারে যে আমরা ডিজিটাল কম্পিউটারে অভ্যস্ত তবে এটি সর্বজনীন কম্পিউটার এবং সফ্টওয়্যারগুলির জন্য প্রয়োজনীয় একটি উদ্ভাবনী ধারণা। সর্বজনীন সিমুলেটারের অস্তিত্ব প্রমাণের জন্য যা যা প্রয়োজন তা তার কাগজে রয়েছে।

গডেল এছাড়াও দেখায় যে আমরা এই সিনথেটিক ধারণা এবং সাধারণত টিএম গণ্যযোগ্য সম্পর্ক / ফাংশনগুলিকে সাধারণ গাণিতিক সূত্রগুলি দ্বারা উপস্থাপন করতে পারি।

সংক্ষেপে গডেলের অসম্পূর্ণতার প্রমাণটি নিম্নরূপ:

দিন LetT

  1. ProvableT(x)TxT
  2. G¬Provable(x)TG¬ProvableT(G)

টিএমএসের জন্য থামার সমস্যা অনির্বাচিততা অনুরূপ উপাদান ব্যবহার করে:

  1. Halt(x)x
  2. NN¬Halt(M)

Halt(x)TTTT

TTT

প্রমাণগুলি খুব অনুরূপ এবং একই উপাদানগুলি ব্যবহার করুন (যদিও টিএমএসের সাথে বেশি পরিচিত তবে যুক্তির সাথে বেশি নয় এমন সমস্যা সমাধানের অনিশ্চয়তা আরও সহজ দেখাচ্ছে: অনিশ্চয়তার প্রমাণে ব্যবহৃত নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যের বিশেষ উদাহরণটি এর চেয়ে সহজ দেখায়) গোডেলের উপপাদ্যে ব্যবহৃত নির্দিষ্ট পয়েন্টের বিশেষ উদাহরণটি যদিও তারা মূলত একই রকম হয় তবে প্রয়োজনীয় ধারণাগুলি কেবল তাদের সম্পর্কে সংখ্যা / স্ট্রিং এবং সূত্র / ফাংশন ব্যবহার করে সিনট্যাকটিক অবজেক্ট এবং ধারণাগুলি এনকোড করা এবং একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্য প্রয়োগ করা)।

OOPO(x)OO

PS:
নোট করুন যে গডেলের উপপাদাগুলি 1931 সালে প্রকাশিত হয়েছিল, যেখানে টিউরিংয়ের অনিশ্চয়তা 1936 সালে প্রকাশিত হয়েছিল। গডেলের কাগজের প্রকাশের সময় টিএমএস সংজ্ঞায়িত করা হয়নি এবং গডেল অন্য সমমানের মডেলটি ব্যবহার করছিলেন। আইআইআরসি, গডেল হিলবার্টের প্রোগ্রামের মূল লক্ষ্যটি স্থির করে দেওয়ার ফলে তার ফলাফলের সাথে পুরোপুরি সন্তুষ্ট ছিল না কারণ তিনি যে এই গণ্যকরণের মডেলটি ব্যবহার করেছিলেন তা সত্যিই অ্যালগরিদমিক কম্পিউটারের স্বজ্ঞাত ধারণাটি ক্যাপচার করেননি, তিনি টিএমএস ক্যাপচার সম্পর্কে টুরিংয়ের দার্শনিক যুক্তির পরে কেবল সন্তুষ্ট ছিলেন। অ্যালগরিদমিক গণনাযোগ্যতার স্বজ্ঞাত ধারণা। আমি মনে করি আপনি গডেলের সংগৃহীত রচনাগুলিতে এ সম্পর্কে আরও পড়তে পারেন।


দুর্দান্ত, ধন্যবাদ, এটিও খুব আলোকিত!
usul
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.