লোয়ার-এলিমেন্টারি রিকার্সিভ ফাংশনগুলির জটিলতা ফলাফল?

প্রাথমিক-পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকলাপগুলির বিষয়ে ক্রিস প্রিসির আকর্ষণীয় প্রশ্নে আগ্রহী , আমি আরও অনুসন্ধান করে এবং ওয়েবে এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পেতে অক্ষম।

প্রাথমিক recursive ফাংশন সূচকীয় অনুক্রমের চমত্কারভাবে মিলা, $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$ ।

সংজ্ঞা থেকে এটি সহজবোধ্য বলে মনে হয় যে নিম্ন- প্রাথমিক উপাদানগুলি দ্বারা সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য সমস্যাগুলি নির্ধারণযোগ্য (শব্দ?) এক্সপিতে থাকা উচিত এবং ডিটিটাইমে সত্যই $(2^{O(n)})$ ; এই ফাংশনগুলি তাদের ইনপুট দৈর্ঘ্যের [1] আউটপুট স্ট্রিংগুলিকে রৈখিক করতেও সীমাবদ্ধ।

তবে অন্যদিকে, আমি কোনও স্পষ্ট নিম্ন সীমানা দেখতে পাচ্ছি না; প্রথম নজরে এটি অনুমেয় বলে মনে হয় যে নিম্ন-এলিমেন্টারি কঠোরভাবে এনপি রাখতে পারে, বা পি তে কিছু সমস্যা থাকতে ব্যর্থ হতে পারে বা সম্ভবত এমন কিছু সম্ভাবনা যা আমি এখনও কল্পনাও করি নি। LOWER-ELEMENTARY = NP থাকলে এটি মহাকাশমে শীতল হবে তবে আমি মনে করি এটি চাইতে খুব বেশি to

সুতরাং আমার প্রশ্নগুলি:

আমার বোঝাপড়া কি এখন পর্যন্ত সঠিক?
নিম্ন প্রাথমিক পুনরাবৃত্তি ফাংশনগুলি আবদ্ধ জটিলতা ক্লাসগুলি সম্পর্কে কী জানা যায়?
(বোনাস) পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকলাপগুলিতে আরও বিধিনিষেধ তৈরি করার সময় আমাদের কি কোনও জটিল জটিল-শ্রেণির বৈশিষ্ট্য রয়েছে? আমি বিশেষত এর সীমাবদ্ধতার কথা ভাবছিলাম $\log(x)$ -বৃদ্ধ সমষ্টি, যা আমি মনে করি বহুত্ববাদী সময়ে চালানো হয় এবং রৈখিক আউটপুট উত্পাদন করে; বা ধ্রুবক সীমাবদ্ধ সংক্ষেপগুলি, যা আমি মনে করি বহুত্ববাদী সময়ে চালানো হয় এবং সর্বাধিক দৈর্ঘ্যের আউটপুট উত্পাদন করে $n + O(1)$ ।

[1]: আমরা দেখাতে পারি (আমি বিশ্বাস করি) নিম্ন-প্রাথমিক কাজগুলি কাঠামোগত আনয়ন দ্বারা এই বিধিনিষেধের সাপেক্ষে, ধরে নেওয়া যায় যে ফাংশনগুলি $h,g_1,\dots,g_m$ জটিলতা আছে $2^{O(n)}$ এবং বিটলেন্থ আউটপুট $O(n)$ দৈর্ঘ্যের একটি ইনপুট $n$ । কখন $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ , লেট $n := \log x$ , প্রতিটি $g$ দৈর্ঘ্যের আউটপুট আছে $O(n)$ তাই $h$ একটি আছে $O(n)$ দৈর্ঘ্যের ইনপুট (এবং তাই $O(n)$ দৈর্ঘ্যের আউটপুট); সমস্ত গণনা জটিলতা $g$ s হয় $m2^{O(n)}$ এবং $h$ হয় $2^{O(n)}$ তাই $f$ জটিলতা আছে $2^{O(n)}$ দৈর্ঘ্যের এবং আউটপুট $O(n)$ যেমন দাবি করা হয়েছে

কখন $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ , দ্য $g$ এর দৈর্ঘ্যের আউটপুট রয়েছে $O(n)$ সুতরাং আউটপুটগুলির যোগফলের মান হয় $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ সুতরাং তাদের যোগফলের দৈর্ঘ্য রয়েছে $O(n)$ । এই মানগুলি সংক্ষিপ্ত করার জটিলতা দ্বারা আবদ্ধ $2^n$ (সংক্ষেপণের সংখ্যা) বার $O(n)$ (প্রতিটি সংযোজন জটিলতা) প্রদান $2^{O(n)}$ , এবং আউটপুটগুলি গণনা করার জটিলতা দ্বারা আবদ্ধ $2^{n}$ (গণনা সংখ্যা) বার $2^{O(n)}$ (প্রত্যেকের জটিলতা), দিচ্ছেন $2^{O(n)}$ । সুতরাং $f$ জটিলতা আছে $2^{O(n)}$ দৈর্ঘ্যের এবং আউটপুট $O(n)$ যেমন দাবি করা হয়েছে

— উসূল
সূত্র

উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি আপনি সংযুক্ত করেছেন যে নিম্ন-প্রাথমিক কার্যাদিগুলি বহুত্ববৃত্তীয় বৃদ্ধি রয়েছে (তবে এটি কোনও রেফারেন্স দেয় না that) দেখানো হচ্ছে যে পি-সম্পূর্ণ সমস্যা প্রাথমিক ফাংশনগুলি দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে বা এটি সমাধান করা যায় না এটি আরও নীচে নামানোর দিকে ভাল পদক্ষেপ হবে। এটা তোলে না, চট করে জন্য একটি টুরিং মেশিন সিমুলেট করা অসম্ভব চেহারা এন পদক্ষেপ - হয়তো একটি বেষ্টিত সমষ্টি অন্য বেষ্টিত সমষ্টি প্রতিটি রাজ্যে উত্তরণের পথে আনুসঙ্গিক ধাপের সংখ্যা সংশ্লিষ্ট?

— ক্রিস প্রেসে

@ ক্রিস - আমার ধারণা ছিল যে "বহুবর্ষবৃদ্ধি" ইনপুটটিতে বিটের সংখ্যা লিনিয়ারের চেয়ে বেশি আউটপুটে বিটের সংখ্যা বোঝায়। আমি সম্মত হই যে সিমুলেশনটি খুব প্রশংসনীয় বলে মনে হয়, এবং বহুবর্ষীয় সময়ে এটি করণীয় বলে মনে হয় (তবে এটি যাচাই করতে কিছু বিশদ নিতে পারে!)।

— usul

দুঃখিত, প্রথম অংশটি পরিষ্কার নাও হতে পারে, তবে এটি তখন মূল্যের ইনপুটটিতে

x

$x$ আউটপুটটির সর্বাধিক বহুপদীতে মান থাকে

x

$x$ ।

— usul

প্রশ্ন 3 সম্পর্কিত: ফাংশনগুলির সাথে বৈকল্পিকের সাথে সংশোধনযোগ্য

\log (x)

$\log(x)$ -বাউন্ডেড সমষ্টি সমস্ত জটিল ক্লাস ইউনিফর্মের মধ্যে রয়েছে

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$ । ধ্রুবক বাউন্ড সারসংক্ষেপের সাথে আপনি ইউনিফর্মের একটি সাবক্লাস পাবেন

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$ ।

— জান জোহানসেন

@ X আমি বিশ্বাস করি যে এটি সমস্ত সঙ্কলনে রয়েছে: আমরা সংক্ষেপ করছি

1

$1$ প্রতি

x

$x$ , যেখানে (একটি ইনপুট এ)

n

$n$ বিট)

x

$x$ আকার থাকতে পারে

2^{n}

$2^n$ , তাই আমাদের যোগফল হবে

2^{n}

$2^n$ প্রতিটি সমান আকারের গুণ।

— usul

(বোনাস) প্রশ্ন 3 সম্পর্কিত: এর সাথে বৈকল্পিকের সাথে সংজ্ঞাযোগ্য $\log(x)$ -বাউন্ডেড সমষ্টি সমস্ত জটিল ক্লাস ইউনিফর্মের মধ্যে রয়েছে $\mathsf{TC}^0$ । এটি চন্দ্র, স্টকমিয়ার এবং বিষকিনের "কনস্ট্যান্ট গভীরতা হ্রাসযোগ্যতা", সিয়াম জে.কম্পুট নির্মাণের পরে রয়েছে। 13 (1984) এর যোগফল দেখাচ্ছে $n$ সংখ্যা $n$ বিটগুলির প্রতিটি সংখ্যাগরিষ্ঠ গেটগুলির সাথে পিনোমিয়াল আকারের ধ্রুবক গভীরতা সার্কিট দ্বারা গণনা করা যেতে পারে।

ধ্রুবক বাউন্ড সারসংক্ষেপের সাথে আপনি ইউনিফর্মের একটি সাবক্লাস পাবেন $\mathsf{AC}^0$ । অবিচ্ছিন্ন সীমাবদ্ধতা সংযোজন এবং সংমিশ্রণে হ্রাস করা যেতে পারে এবং বহনযোগ্য বর্ণনামূলক পদ্ধতিটি ব্যবহার করে ধ্রুবক গভীরতা বুলিয়ান সার্কিট দ্বারা সংযোজন করা যেতে পারে।

— জান জোহানসেন
সূত্র

"নিম্ন প্রাথমিক ফাংশনগুলি এক্সপিতে রয়েছে " সঠিক। এগুলি আসলে ডিপিএসপেসি ( এন ) এ রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ কাঠামোগত আবেশন থেকে দেখা যাবে।
এটি এখানে [1] দেখানো হয়েছে যে বুলিয়ান সন্তুষ্টিযোগ্যতা স্যাট গ্রজেগোর্সাইক হাইপারসি এর সর্বনিম্ন স্তরের E ₀ এর মধ্যে রয়েছে, এটি সীমানা সঙ্কলের পরিবর্তে সীমাবদ্ধ পুনরাবৃত্তি সহ।

[1] ক্রিস্টিয়ান গ্রোজিয়া: এনপি গ্রজেগোর্সাইক (সিক!) হায়ারার্কির সবচেয়ে দুর্বলতম স্তরে গণ্যমানের পূর্বাভাস দেয়। অটোমাতা, ভাষা এবং সংমিশ্রনের জার্নাল 9 (2/3) : 269-279 (2004)।

মৌলিক ধারণা বাইনারি দৈর্ঘ্যের দেওয়া সূত্র এনকোড হয় এন একটি পূর্ণসংখ্যা মধ্যে এন পরিমাণের প্রায় শতকরা মধ্যে সূচকীয় এন ; এবং তারপরে এন (বরং এন ) দ্বারা বদ্ধ পরিমাপের ক্ষেত্রে সন্তোষজনক কার্যভারের অস্তিত্ব প্রকাশ করুন ।

এই পদ্ধতিটি E ₀ থেকে নিম্ন এলিমেন্টারি পর্যন্ত চলবে বলে মনে হচ্ছে
(এবং স্যাট থেকে কিউবিএফ _কে স্বেচ্ছাসেবক তবে স্থির কে জন্য সাধারণীকরণ )।

এটি এনপি (বা এমনকি এটির জন্য পি ) ধারণ করার জন্য E ₀ বোঝায় না , যদিও পলটাইম গণনাগুলি E ₂ ছাড়ার জন্য পরিচিত ।

— মার্টিন জিগলার
সূত্র