সবচেয়ে ছোট সেট সেটগুলির সংগ্রহের অন্তর্ভুক্ত নয়

Question

ইনপুট হিসেবে দেওয়া একটি পূর্ণসংখ্যা এবং একটি সেট এস উপাদানের সেট { 1 , । । । , n } , { 1 , এর উপাদানগুলির একটি সেট টি খুঁজে বের করার জটিলতা কী । । । , n } যেমন টি এর ন্যূনতম কার্ডিনালিটি রয়েছে এবং টি এস এর কোনও একটিতে অন্তর্ভুক্ত নেই ?$n$$S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

Comments

উভয় উত্তর এখনও পর্যন্ত হিট সেট উল্লেখ। নোট করুন যে হিট সেটগুলি হাইপারগ্রাফগুলিতেও দেখা যায়, যাকে ট্রান্সভার্সাল বলা হয় এবং সিএনএফ ডিএনএফ রূপান্তর রূপে মনোটোন বুলিয়ান সূত্রগুলি। $\leftrightarrow$

— vzn

Answer 1

আসুন , এবং এফ = { এস 1 , এস 2 , … , এস এম } ⊆ 2 [ এন $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$ ইনপুট সেট পরিবার হতে দিন। আমি আপনার সমস্যা গঠনের ভুল বুঝে না নিলে আমরা ন্যূনতম-আকারের সেট টি খুঁজে পেতে চাই find [ n ]$T \subseteq [n]$ নিলে যেমন জন্য … $T \not\subseteq S_i$ ।$i = 1, 2, \dotsc, m$

আপনার প্রশ্নের, নোট উত্তর দেওয়ার জন্য যে যদি এবং কেবল যদি টি ∩ ( [ এন ] ∖ এস আমি ) ≠ ∅ । অর্থাৎ, টি প্রতিটি এস এর পরিপূরক ছেদ করতে হবে i । তবে এর অর্থ হ'ল আপনার সমস্যাটি হিট সেট সমস্যার সমতুল্য (ইনপুট জি = { [ n ] ∖ এস আই : i = 1 , 2 , … , মি } ) সহ হিট সেটটি বিবেচনা করুন ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

হিট সেট। একটি সেট পরিবার প্রদত্ত এবং পূর্ণসংখ্যা ট , একটি সেট বিদ্যমান নেই টি ⊆ [ এন ] সঙ্গে | টি | ≤ ট এবং টি ∩ এস ≠ ∅ সব জন্য এস ∈ $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$ ?

হিট সেটটি এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে পরিচিত এবং দৃ O ় ক্ষতিকারক -সময় হাইপোথেসিস ব্যর্থ না হলে সময়ের চেয়ে দ্রুত আলগাভাবে সমাধান করা যায় না, আলগাভাবে বলা যায় না solved$O(2^n)$

Comments

আহ, আমি হিট সেট সম্পর্কে ভেবেছিলাম, কিন্তু আমি হ্রাসটি দেখিনি। ধন্যবাদ!

— a3nm

Answer 2

সমস্যাটি সেট কভার সমস্যা / হিটিং সেট সমস্যার সমতুল্য:

একটি পরিবার প্রদত্ত এর সাব-সেট নির্বাচন এর { 1 , ... , এন } , একটি সেট এটি টি ⊂ { 1 , ... , এন } সংক্ষিপ্ত সম্ভব আকারের যে ছেদ করে পরিবারে জোড়া প্রত্যেকে সেট $\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$ ।

$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

$O(\log n)$