"পি" এবং "এনপি-হার্ড" এর আরামদায়ক পাড়াগুলি

Question

একটি অ্যালগরিদমিক কাজ হতে দিন । (এটা একটা সিদ্ধান্ত সমস্যা বা একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা বা অন্য কোন টাস্ক হতে পারে।) আমাদের কল করা যাক এক্স "বহুপদী দিকে" যদি অভিমানী যে এক্স এন পি-কঠিন হয় বহুপদী hieararchy ভেঙে পরোক্ষভাবে পরিচিত হয়। যাক আমাদের কল এক্স "দ্বারা NP-সাইড এ" যদি অভিমানী যে এক্স স্বীকার একটি বহুপদী অ্যালগরিদম পরোক্ষভাবে যে বহুপদী অনুক্রমের ধস নামে পরিচিত।$X$$X$$X$$X$$X$

অবশ্যই, পি এর প্রতিটি সমস্যা বহুপদী দিকে এবং প্রতিটি সমস্যা যা এনপি-হার্ড এনপি-সাইডে। এছাড়াও, উদাহরণস্বরূপ, ফ্যাক্টরিং (বা এনপি মোড় সিএনপি-তে কোনও কিছু) বহুবর্ষের দিকে রয়েছে। গ্রাফ আইসোমরফিজম বহুত্বের দিকে রয়েছে। কোয়ান্টাম-নমুনা এনপি-সাইডে রয়েছে।

1) আমি বহুপদী দিকের অ্যালগরিটমিক কাজগুলির আরও উদাহরণগুলিতে (যতটা সম্ভব প্রাকৃতিক) এবং (বিশেষত) এনপি দিকের আরও উদাহরণগুলিতে আগ্রহী।

2) নির্লজ্জভাবে দেখে মনে হচ্ছে এনপি পাশটি এনপি-হার্ড সমস্যার এক ধরণের "পাড়া" এবং পি-সাইডটি "পি এর প্রতিবেশী"। পি পার্শ্বের সমস্যার তুলনায় এনপি পাশের সমস্যাগুলিকে "যথেষ্ট শক্ত" হিসাবে বিবেচনা করা কি সঠিক অন্তর্দৃষ্টি? অথবা এমনকি এনপি পক্ষের সমস্যাগুলিকে "নৈতিকভাবে এনপি-হার্ড" হিসাবে বিবেচনা করবেন?

3) (এটি সম্ভবত সুস্পষ্ট হতে পারে তবে আমি এটি দেখতে পাচ্ছি না) উভয় পক্ষেরই কোনও আছে বা এমন তাত্ত্বিক কারণ রয়েছে যা বিশ্বাস করে যে এই জাতীয় এক্স সম্ভাব্য নয়। আপডেট উত্তর হ্যাঁ; যুবাল ফিল্মের উত্তর নীচে দেখুন।$X$$X$

(যদি এই "পক্ষগুলি" প্রকৃত জটিলতার ক্লাসের সাথে সম্পর্কিত হয় এবং আমি যদি কিছু প্রাসঙ্গিক সিসি জার্গন বা প্রাসঙ্গিক ফলাফল মিস করি তবে দয়া করে আমাকে জানান))

হালনাগাদ:এখনই প্রশ্নের বেশ কয়েকটি খুব ভাল উত্তর রয়েছে। যেমন ইয়ুভাল ফিল্মাস প্রথম লিখেছেন এবং পুনরায় উল্লেখ করেছেন যে প্রশ্নটি আনুষ্ঠানিক নয় এবং যুক্তিটির উপর X নিষেধাজ্ঞার উপর কিছুটা বিধিনিষেধের প্রয়োজন যা দেখায় যে এক্স পি-সাইড / এনপি-সাইডে রয়েছে। (অন্যথায়, আপনার উভয় পক্ষের 0 = 1 এর জন্য একটি প্রমাণ উপস্থাপনের জন্য এক্স হতে পারে)) এটি একদিকে রেখে, এনপি-সাইড ক্যাপচারে এক্স (জেনুইনালি) সমস্যা হতে পারে যে কোনওরকমে কঠোরতা স্যাট সম্পর্কে, যদিও এটি পি-সাইডের কিছু সমস্যার ক্ষেত্রেও হতে পারে যেখানে স্যাটের কঠোরতা প্রমাণযোগ্য উপায়ে দুর্বল করা হয় (এমনকি কিছুটা)। যুবাল ফিল্মাস স্যাট-এর দুর্বল সংস্করণ দিয়েছে যা উভয় পক্ষেই রয়েছে। অ্যান্ডি ড্রকার (দুটি উত্তরে) পাঁচটি আকর্ষণীয় উদাহরণ দিয়েছিলেন যার মধ্যে শানিংয়ের লো এবং উচ্চ স্তরের শ্রেণিবিন্যাসের উল্লেখ রয়েছে এবং স্কট অ্যারনসন আরও আকর্ষণীয় উদাহরণ দিয়েছেন, একটি একমুখী ফাংশনটি উল্টানোর প্রশ্নটি উল্লেখ করেছে যা এনপি কঠোরতা এবং এখনও পি-সাইডে ক্যাপচার করার কাছাকাছি, এবং তার উত্তরটি কোয়ান্টামসাম্পলিংয়ের আকর্ষণীয় ক্ষেত্রেও আলোচনা করে। আমি ফিজে এবং লুন্ড দ্বারা এই ধরণের একটি পুরাতন ফলাফলের কথা উল্লেখ করেছি।

Comments

পুনরায় 3, আপনি যদি বিশ্বাস করেন যে পিএইচটি ধসে পড়ে না, তবে কিছু এনপি-ইন্টারমিডিয়েট সমস্যা রয়েছে এক্স Since যেহেতু এক্স না এনপি-হার্ড বা পি তে নয়, তবে এক্স "উভয় পক্ষের", তবুও পিএইচটি ধসে যায় না, তাই 3 মিথ্যা অন্যদিকে, যদি পিএইচ ধসে যায় তবে 3 টি সত্য। সুতরাং 3 পিএইচ পতিত হয়। $\leftrightarrow$

— যুবাল ফিল্মাস

কোন প্রমাণ ব্যবস্থায় একটি প্রমাণ? এছাড়াও, "বিশ্বের" কোনও নির্দিষ্ট মডেলে (যে কোনও প্রুফ সিস্টেম যার মধ্যে সাধারণত কাজ করে) হয় তবে পিএইচটি ধসে যায় বা হয় না, যদি না আমরা স্বজ্ঞাত যুক্তিবাদে কাজ না করি।

— যুবাল ফিল্মাস

প্রিয় যুবাল এবং স্কয়ার্ক, হুম, সম্ভবত "কারণ" বা "প্রমাণ" সম্পর্কে কথা বলার পরিবর্তে কেবল এটুকু বলা ভাল যে এক্স পি এর পাশে রয়েছে যদি এটি জানা থাকে যে এক্স যদি এনপি-হার্ড হয় তবে পিএইচের পতন হয়, এবং এক্স হয় এনপি সাইডে যদি এটি জানা থাকে যে এক্স যদি পি হয় তবে পিএইচটি ভেঙে যায়। (প্রশ্ন 1 এবং 2 অপরিবর্তিত রয়েছে এবং 3 প্রশ্নে উভয় পক্ষের একটি এক্স আছে বা এমন কোনও তাত্ত্বিক কারণ রয়েছে যে এরকম কোনও এক্স সম্ভব নয়।)

— গিল কালাই

(যাইহোক, আপনার উত্থাপিত অসুবিধাগুলি এড়াতে যেটি আকর্ষণীয় তবে প্রশ্নটির অপরিহার্য নয়, আমি প্রশ্নটি সংশোধন করব।)

— গিল কালাই

জি কে সন্দেহ আছে যে এখানে কিছু প্রশ্ন থাকতে পারে যার পিএইচ সংঘর্ষের সাথে কোনও সম্পর্ক নেই তবে সম্ভবত পি এবং এনপি সম্পূর্ণরূপে বিভিন্ন জটিলতা ক্লাস সম্পর্কে ... স্পষ্টতই এটি কীভাবে (প্রমাণিত-টু-অস্তিত্ব আছে) হার্টম্যানিস- এমন প্রশ্নের মতো মনে হচ্ছে পি বনাম এনপি-তে স্ট্রান্স টাইম হায়ারার্কি মানচিত্র ... এটি প্রমাণ করে যে একটি ধারাবাহিকতা রয়েছে, এবং জটিলতা ক্লাস প্রমাণ করে (যদি তারা উপস্থিত থাকে) এই ধারাবাহিকতায় খুব উল্লেখযোগ্য "বিচ্ছিন্নতা" রয়েছে ... এছাড়াও মাতৃগণ প্রাসঙ্গিক বলে মনে হচ্ছে ...

— vzn

Answer 1

"পি-সাইডে" এবং "এনপি-সাইডে", এবং অবশ্যই প্রশ্নের শিরোনামের খুব শর্তাবলী, আমাদের পি এর আশেপাশের একটি "আরামদায়ক প্রতিবেশ" এবং এনপি-হার্ড সমস্যাগুলি ঘিরে একটি "আরামদায়ক প্রতিবেশ" কল্পনা করতে উত্সাহিত করে। তবে, আমি যুক্তি দিতে চাই যে এই দুটি পাড়াটি এতটা "আরামদায়ক" নয়!

প্রথম পর্যবেক্ষণ হিসাবে, "পি-পার্শ্বে" এমন সমস্যা রয়েছে যা "নৈতিকভাবে" পি-র তুলনায় এনপি-শক্তির অনেক বেশি কাছাকাছি মনে হয় One এক উদাহরণ, অবশ্যই গিল অবশ্যই অনুমান করেছিলেন, একমুখী ফাংশনগুলি উল্টানোর সাধারণ সমস্যা ( কী ধরণের হ্রাস অনুমোদিত তা নির্ভর করে; বোগদানভ-ট্রেভিসান বা আকাভিয়া এট আল দেখুন।)

বিপরীতে, "এনপি-সাইডে" এমন সমস্যাও রয়েছে যা এনপি-হার্ড থেকে "নির্বিচারে অনেক দূরে" বলে মনে হয়। একটি নির্বোধ উদাহরণ একটি এলোমেলো ভাষা L, এর সম্ভাব্যতা এল এর উপরে 1! কারণ যদি এই জাতীয় এল পি হয়, তবে 0 = 1 এবং গণিতটি অসঙ্গতিপূর্ণ এবং তাই পিএইচও ভেঙে যায়। ;-D

(নোট যে একটি র্যান্ডম ভাষা এল হয় এছাড়াও "পি-দিকে," এল জন্য বেশি সম্ভাব্যতা 1 প্রায় সব ধরনের মধ্যে L'গুলি সম্পত্তি আছে যদি তারা দ্বারা NP হার্ড, তারপর NP⊆BPP এবং PH ধস। আর এই ল্যাডনারের উপপাদ্যের কাছে যে আবেদন রয়েছে তার চেয়ে অনেক সহজ একটি প্রমাণ দেয় যে উভয় পক্ষেই ভাষা রয়েছে। "প্রকৃতপক্ষে, এটি দেখায় যে ভাষার অগণিত অসীমতা," প্রায় সমস্ত "- বাস্তবে, 100% - উভয় পক্ষের!)

এটি কিশোর গেম-প্লেয়ার মতো শোনাচ্ছে তবে আমি এটি থেকে আঁকতে চাই এমন একটি গুরুতর পাঠ রয়েছে। আমি যুক্তি দিয়েছি যে, কোয়ান্টাম স্যাম্পলিংগ আনুষ্ঠানিকভাবে "এনপি-সাইডে" থাকলেও এ সমস্যাটি এলোমেলো ভাষা এল এর চেয়ে "নৈতিকভাবে এনপি-হার্ড" হওয়ার খুব কাছাকাছি। আরকিপোভ এবং আমি (এবং স্বতন্ত্রভাবে, ব্রেমনার-জোসসা-শেফার্ড) দেখিয়েছি যে, কোয়ান্টাম স্যাম্পলিংগ যদি পি (বা বরং, সাম্প্পিপিতে থাকে, তবে বহুভিত্তিক দ্রবণীয় নমুনা সমস্যার শ্রেণি), তবে পি ^{# পি} = বিপিপি ^এনপি , এবং তাই বহুবর্ষীয় শ্রেণিবিন্যাসের পতন ঘটে। তবুও যদি আপনি একটি বিপিপি মেশিন হন তবে বোসনস্যাম্পলিংয়ের জন্য একটি অরক্ষক, যতদূর আমরা জানি, এলোমেলো ওরাকল এর চেয়ে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধানের জন্য আপনাকে আর কাছে আনতে পারে না। আপনার যদি ইতিমধ্যে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতা থাকে - তবে বলুন,^এনপি মেশিন - আপনি কি "লক্ষ্য" করেন যে বোসনস্যাম্পলিং ওরাকল আপনার ক্ষমতাগুলি আরও আরও বাড়িয়ে তোলে # পি তে। তবে # পি-তে এনপিকে উত্সাহিত করার সম্পত্তিটি নিজের থেকে এনপি-হার্ড হওয়ার সম্পত্তি থেকেও সম্ভবত "অর্থেগোনাল" বলে মনে হয়।

ঘটনাক্রমে, গিলের প্রশ্নের পরামর্শ দিয়ে একটি দুর্দান্ত উন্মুক্ত সমস্যা হ'ল বোসনস্যাম্পলিংও "পি-সাইডে" রয়েছে কিনা। যে, আমরা কি এনপিকে বোসনস্যাম্পলিংয়ে হ্রাস করতে পারি তবে পিএইচটি ধসে পড়তে পারে? যদিও আমি কিছু স্পষ্টরূপে অনুপস্থিত হতে পারি, প্রথম নজরে আমার কাছে এ জাতীয় জিনিস কীভাবে প্রমাণ করা যায় তার কোনও ধারণা নেই, তবে আরও শক্তিশালী নিদর্শন কীভাবে প্রমাণ করতে হয় তা আমার জানা নেই যে যদি এনপি-বিকিউপি হয় তবে পিএইচটি ধসে পড়ে।

Comments

শেষ অনুচ্ছেদের বিষয়ে এটি আকর্ষণীয়ও যদি কোয়ান্টাম স্যাম্পলিংগ বা বোসনসম্পলিং (এমনকি কেবলমাত্র একটি আনুমানিক অর্থে) এসএএমপিবিপিপি ক্ষমতা সহ একটি কমরেটারে অর্জন করা যায় যা অতিরিক্তভাবে, বিকিউপি সমস্যাগুলি সমাধান করার ক্ষমতাও দেওয়া হয়।

— গিল কালাই

@ গিল: আমি একমত, এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন। অ্যালেক্স এবং আমি যেমন আমাদের কাগজের ৪.১ বিভাগে উল্লেখ করেছি, যদি তা হয় তবে পি ^ # পি বিপিপি ^ এনপি ^ বিকিউপিতে অন্তর্ভুক্ত থাকত। যা আমার কাছে অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে, যদিও আমি দৃ strong় স্বজ্ঞাত স্বীকার করছি!

— স্কট অ্যারনসন

এখানে তাদের কাগজপত্র আছেন: cs.berkeley.edu/~luca/pubs/redux-sicomp.pdf people.csail.mit.edu/akavia/2006-stocAGGM.pdf (এছাড়াও দেখুন এ ত্রুটি-বিচ্যুতি people.csail.mit.edu/akavia /AGGM_errata.pdf ) ( ফিজেনবাউম এবং ফোর্টনও এর আগেও সম্পর্কিত সম্পর্কিত কাজ ছিল।) মূলত তারা দেখায় যে এলোমেলোভাবে, ননডেপটিভ কমানোর অধীনে যদি কোনও একমুখী ফাংশনটি এনপি-হার্ড হয় তবে পিএইচটি ধসে যায়। অভিযোজিত হ্রাসের মামলাটি উন্মুক্ত থাকে।

— স্কট অ্যারনসন

কিউএসএ্যামপ্লিংয়ের বিষয়ে, আমি সহজেই বিশ্বাস করতে পারি যে বিপিপি ^ এনপি ^ কিউএসএএমপ্লিংগ বিপিপি ^ এনপি ^ বিকিউপি-র তুলনায় কঠোরভাবে বড় (যদিও, অবশ্যই, আমি নিশ্চিতভাবে জানি না)। তবে আমি এটি দেখতে পাচ্ছি, এটি কিউএসএএমপ্লিংগ এবং বিকিউপি-র মধ্যে "অন্তর্নিহিত পার্থক্য" সম্পর্কে কম বেশি বলবে, কেবল ওরাকল অ্যাক্সেস ব্যবস্থার মধ্যে পার্থক্যগুলির তুলনায়! বিশেষ করে মনে রাখবেন যে, আমাদের সংজ্ঞা অনুসারে, বিপিপি ^ এনপি মেশিন কোয়ান্টাম স্যাম্পলিং ওরাকল দ্বারা ব্যবহৃত এলোমেলো বিটগুলি চয়ন করতে পারে। এমনকি ব্যবহারিক কোয়ান্টাম কম্পিউটার, যে যদৃচ্ছতা ফিক্সিং সামর্থ্য প্রদান করবে না যদিও কুইবেক এর একটি শাস্ত্রীয় সিমুলেশন হবে এটা প্রদান।

— স্কট অ্যারনসন

গিল: ঠিক আছে, ওয়ান-ওয়ে ফাংশনগুলি উল্টো করা দুটি পরিবর্তন বাদে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সমাধানের সমপরিমাণ : (1) আপনার নিকৃষ্টতম পরিস্থিতিগুলি হ্যান্ডেল করার দরকার নেই তবে কেবল গড়-কেস (আর্ট দক্ষতার সাথে নমুনা বিতরণ) , এবং (২) একই নমুনা পদ্ধতি যা দৃষ্টান্তগুলি উত্পন্ন করে তাদের জন্য সন্তোষজনক কার্যও তৈরি করে।

— স্কট অ্যারনসন

Answer 2

দুটি মন্তব্য, কোনওটির উত্তরের পরিমাণ কোনটি নয়, তবে এটি আরও কিছু দরকারী পড়ার সরবরাহ করতে পারে।

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

স্পষ্টতই, এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড নয় বা এটি কোনও দিক থেকে সহজ is তবে এনপি-র অন্যান্য হার্ড সমস্যা থেকে এটি বেশ আলাদা বলে মনে হচ্ছে। আমি মনে করি এটি এনপি-ইন্টারমিডিয়েট সমস্যার জন্য সবচেয়ে আকর্ষণীয় প্রার্থীদের মধ্যে রয়েছে, এবং এটি সুপরিচিত নয়।

Answer 3

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

Comments

আমি হয়ত কিছু মিস করছি, তবে ল্যাডনারের উপপাদ্যটির কোনও প্রমাণ কি এখানে ঠিক তেমন কাজ করবে না?

— স্কট অ্যারনসন

সম্ভবত, তবে আমি মনে করি গিল "দৃ natural়প্রত্যয়ী" প্রমাণ সহ "প্রাকৃতিক" উদাহরণগুলি সন্ধান করছেন। আমি উপরের মতামত হিসাবে বলেছি, কঠোর যৌক্তিক অর্থে 3 না নেওয়াই ভাল, তারপরে এটি পিএইচ এর সংঘাতের সমতুল্য।

— যুবাল ফিল্মাস

প্রিয় যুবাল, স্কট, আমি সবাই আশ্চর্য হয়েছি (এটি আমার প্রশ্নের অংশ 2) যদি এনপি-পার্শ্বের সমস্যাগুলি (উপরের একটিটি সহ) "নৈতিকভাবে এনপি হার্ড" হয় এই অর্থে যে তারা স্যাটটির কঠোরতা প্রকাশ করে। অবশ্যই, এই জাতীয় ফলাফল প্রমাণ করার জন্য আমাদের বর্তমান ক্ষমতা সম্পর্কে একটি প্রশ্ন এবং কোনও কঠোর সিসি প্রশ্ন নয়। আমি পি-সাইড এবং এনপি-সাইডে আরও উদাহরণগুলিতে (আরও প্রাকৃতিক মেরিয়ার) মূলত আগ্রহী (অংশ 1) am (যেমন যুওয়াল ব্যাখ্যা করেছেন, ল্যান্ডারের উপপাদ্যটি আমার প্রশ্নের অংশ 3 মীমাংসা করে)। রাসেলের প্রুফের বিবরণটি ব্যাখ্যা করে ভাল

— লাগল

Answer 4

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

বোলেডেন্ডার, ডাউনি, ফেলো এবং হার্মেলিনের প্রশ্নের উত্তরে ফোর্তনো এবং সান্থানাম দেখিয়েছিলেন যে এই ধরনের সংকোচনের হ্রাস সম্ভাবনা নেই, কারণ এটি পলি হায়ারার্কিকে ভেঙে ফেলবে:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

তাদের ফলাফল একতরফা ত্রুটির অনুমতি দিয়ে এলোমেলোভাবে হ্রাসগুলিতে প্রয়োগ হয়েছে। আমি দ্বিমুখী ত্রুটির সাথে সম্পর্কিত ফলাফল প্রমাণ করেছি

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(এই কাগজগুলির প্রতিটিই উপরে বর্ণিত ফলাফলগুলির চেয়ে শক্তিশালী এবং আরও নির্দিষ্ট তথ্য দেয়))

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Comments

প্রিয় অ্যান্ডি, এই অতিরিক্ত উত্তরের জন্য অনেক ধন্যবাদ!

— গিল কালাই

Answer 5

আমি ফেইজি এবং লুন্ডের দ্বারা এই ফলাফলটি পেরিয়ে এসেছি যা দেখায় যে বহুত্ববৈজ্ঞানিক স্তরক্রম ভেঙে ফেলা না হলে এলোমেলো ম্যাট্রিক্সের স্থায়ীত্ব সম্পর্কে খুব আংশিক তথ্য অনুমান করা শক্ত is

ইউরিয়েল ফিগ এবং কার্স্টেন লুন্ড, র‌্যান্ডম ম্যাট্রিকেসের পারমানেন্টের কম্পিউটিংয়ের কঠোরতার উপর। গণনামূলক জটিলতা 6 (1996/1997) 101-132।

উরি ফেগের কাছ থেকে আমার নজরে আসা দুটি অতিরিক্ত প্রাসঙ্গিক ফলাফলের কথাও উল্লেখ করি:

নিম্নলিখিত দুটি কাগজপত্র কার্নেলাইজেশন (স্থির পরামিতি ট্র্যাকটেবল অ্যালগরিদম) এর প্রসঙ্গে এটি প্রয়োগ করে।

হ্যান্স এল বোদলেন্ডার, রডনি জি ডাউনি, মাইকেল আর ফেলোস, ড্যানি হার্মেলিন: বহুবর্ষীয় কার্নেল ছাড়াই সমস্যার বিষয়ে। জে.কম্পট। Syst। সী। 75 (8): 423-434 (২০০৯)

ল্যান্স ফোর্টনো, রাহুল সান্থানাম: এনপি-র জন্য উদাহরণস্বরূপ সংক্ষেপণ এবং সংযোগের পিসিপিগুলির অসম্ভবতা। জে.কম্পট। Syst। সী। 77 (1): 91-106 (2011)

Comments

সম্পর্কে স্থায়ী গড়-কেস কঠোরতা ফলাফলের মধ্যে Cai, Pavan এবং Sivakumar দ্বারা উন্নত ছিল pages.cs.wisc.edu/~jyc/papers/permanent.pdf

— অর্ণব