বুলিয়ান সূত্রটি

আমি বুলিয়ান সূত্র ভারসাম্য সমস্যার জটিলতা সম্পর্কে উল্লেখ খুঁজছি । নির্দিষ্টভাবে,

এটি কি জানা ছিল যে বুলিয়ান সূত্রগুলি ভারসাম্যপূর্ণ হতে পারে ? $\mathsf{AC^0}$
বুলিয়ান সূত্রে ভারসাম্য বজায় রাখার সহজ প্রমাণ কি ? $\mathsf{AC^0}$

"সরল" দ্বারা আমি নীচে উল্লিখিত একটির চেয়ে সহজ প্রমাণ হিসাবে বোঝাচ্ছি, বিশেষত আমি এমন একটি প্রমাণ খুঁজছি যা বুলিয়ান সূত্র মূল্যায়নের তে নির্ভর করে না । $\mathsf{NC^1}$

পটভূমি

এখানে উল্লিখিত সমস্ত জটিলতা ক্লাসগুলি ইউনিফর্মযুক্ত।

বিএফবি (বুলিয়ান সূত্র ভারসাম্য):
একটি বুলিয়ান সূত্র দেওয়া , সমতুল্য সুষম বুলিয়ান সূত্রটি সন্ধান করুন। $\varphi$

আমি এই সমস্যাটির জটিলতায় আগ্রহী, বিশেষত সাধারণ প্রমাণ যা সমস্যা দেখায় এটি (বা এমনকি বা ) এ রয়েছে। স্পিরার লেমার উপর ভিত্তি করে সাধারণ ভারসাম্য যুক্তি সূত্র গাছটিতে বারবার কাঠামোগত পরিবর্তনগুলি প্রয়োগ করে যা কেবল বলে মনে হয় । $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

আমার কাছে প্রমাণ রয়েছে, তবে প্রমাণটি সহজ নয় এবং এর প্রমাণের উপর নির্ভর করে । $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

BFE (বুলিয়ান সূত্র মূল্যায়ন)
একটি বুলিয়ান সূত্র দেওয়া এবং একটি সত্য নিয়োগ মধ্যে ভেরিয়েবল জন্য , নেই সন্তুষ্ট ( )? $\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

এটি স্যাম বসুর উদযাপিত ফলাফল থেকে জানা গেছে যে বুলিয়ান সূত্র মূল্যায়নের ( ) (দেখুন [বুস ৮]] এবং [বিসিজিআর ৯২] ) গণনা করা যেতে পারে । $BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

এটি অনুসরণ করে (বেশ আশ্চর্যজনকভাবে আমার কাছে কমপক্ষে) যে বুলিয়ান সূত্রগুলি ভারসাম্যপূর্ণ ( ) তেও রয়েছে : $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

ধারণা যে আমরা হার্ডকোড পারে ইনপুট ফটকগুলোতে একটি সূত্র সমতুল্য করার প্রাপ্ত এবং এই একটি সম্পূর্ণরূপে অন্বিত অপারেশন গণনীয় হয় । যেহেতু আমরা জন্য একটি সমতুল্য সুষম সূত্র প্রাপ্ত সুষম সূত্র রয়েছে । অন্য কথায়, অ্যালগরিদমটি হ'ল: $\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

প্রেরণা

জন্য একটি সহজতর যুক্তি হচ্ছে (অথবা বা এমনকি ) একটি নতুন সহজ প্রমাণ দিতে হবে এটা দেখতে সহজ যেহেতু যে সুষম BFE সংস্করণ করতে পারেন সমাধান করা হবে এবং আমরা এটিকে দিয়ে রচনা করতে পারি এবং ফলাফলটি আসবে । $BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

প্রশ্নাবলি

এটি কি জানা ছিল যে বুলিয়ান সূত্রগুলি ( ) ভারসাম্যপূর্ণ হতে পারে ? $\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
জন্য কি আরও সহজ যুক্তি (যেমন উপর নির্ভর করে না ) ? $BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— Kaveh
সূত্র

"ভারসাম্য" এর কোন সংজ্ঞা আপনি ব্যবহার করেন?

— ডানা মোশকভিত্জ

@ দানা, আমরা

(যেমন

নির্দিষ্ট ধ্রুবক সহ

মতো কিছু ব্যবহার করতে পারি । আরও দেখুন উন্নত বিকল্পগুলি এবং চুম্বন এর কাগজ " সাইজ-গভীরতা বুলিয়ান সূত্র জন্য tradeoff ", 2002.

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

— Kaveh

"ব্যালেন্সিং" এর সংজ্ঞা পরিষ্কার করা উচিত agreed এটি কি বাইনারি গাছগুলিতে ভারসাম্য ধারণার সাথে মিল? যেমন "স্ব-ভারসাম্য গাছ"

— vzn

এটি খুব প্রাসঙ্গিক কিনা তা আমি নিশ্চিত নই তবে কে-ট্রিগুলিতে পাথ এবং ম্যাচিংয়ের জন্য লগ-স্পেস অ্যালগরিদমগুলিতে (বিগত কাজের দীর্ঘ ইতিহাসের উপর ভিত্তি করে এবং বিশেষত এনসি 1 এবং এল -এর কাছাকাছি অ্যারিমেটিজিং ক্লাসগুলিতে লিমায়ে-মহাজন-রাও) আমরা দেখাই লগস্পেসে কোনও গাছের জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক ভারসাম্য বিভাজকগুলি কীভাবে খুঁজে পাবেন। যদি এই ইনপুট ট্রিটি স্ট্রিং উপস্থাপনায় সরাসরি দেওয়া হয় তবে এই গণ্ডিটি তে খুব ভালভাবে অসম্পূর্ণ হতে পারে । $\mathsf{NC}^1$

মূল ধারণাটি হ'ল গাছটিকে প্রথম বন্ধনী হিসাবে প্রকাশ করা এবং এর জন্য সুষম বিভাজক সন্ধান করা। লক্ষ্য করুন যে আমরা পাতার বিভাজক অর্থাৎ পাতাগুলির ভারসাম্যপূর্ণ সংক্ষিপ্ত সংক্ষিপ্তসারগুলি পাই।

— SamiD
সূত্র