স্যাটের ন্যূনতম সার্কিট অনুসন্ধানের জটিলতা সম্পর্কে কী জানা যায়?

কি দৈর্ঘ্যের কম্পিউট স্যাট ন্যূনতম সার্কিট যে খুঁজে বের করার জটিলতা সম্পর্কে পরিচিত হয় ? $n$

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে: কোনও ফাংশনের জটিলতা কী, যা দেওয়া হয় ইনপুট হিসাবে একটি ন্যূনতম সার্কিট যেমন কোনও সূত্রের জন্য সহ , ? $1^{n}$ $C$ $\varphi$ $|\varphi| \leq n$ $C(\varphi) = SAT(\varphi)$

(আমি বিশেষভাবে নিম্ন সীমানায় আগ্রহী))

সাদাসিধা নির্ণায়ক আলগোরিদিম (Compute স্যাট দৈর্ঘ্যের পাশব বল আপ , তারপর সব সার্কিট আকার ক্রমানুসারে যতক্ষণ না আপনি এক যে সঠিকভাবে স্যাট দৈর্ঘ্য পর্যন্ত নির্ণয় এটি চেষ্টা নেয়) স্যাট গনা সময়, এবং তারপর ন্যূনতম সার্কিটের সন্ধানের জন্য অতিরিক্ত সময়, যেখানে সর্বনিম্ন সার্কিটের আকার। $n$ $n$ $\leq 2^{O(n)}$ $O(2^n 2^M)$ $M$

সেখানে একটি নির্ণায়ক অ্যালগরিদম যে স্যাট যার চলমান সময় জন্য খুঁজে বের করে ন্যূনতম সার্কিট , যেখানে ন্যূনতম বর্তনী আকার? বা এটি কিছু জটিলতার পতন বোঝায়? $o(2^n 2^M)$ $M$

এখানে দুটি বিষয় যা আমার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত, আমি অবশ্যই যা জিজ্ঞাসা করছি তা অবশ্যই নয় (যা আমি মনে করি, কেন এটি সন্ধান করা আমার কাছে একটু কঠিন মনে হয়েছিল):

বর্তনী কম সমস্যা: একটি সার্কিট দেওয়া (অথবা একটি ফাংশন তার সত্য টেবিল বা একাধিক অন্যান্য রূপগুলো কর্তৃক প্রদত্ত) একটি সংক্ষিপ্ত বর্তনী খুঁজে কম্পিউটিং হিসাবে একই ফাংশন । যদিও সার্কিট মিনিমাইজেশন সহজ ছিল, এটি অগত্যা বোঝায় না যে উপরের কাজটি সহজ, এমনকি আমরা যে ফাংশনটি ন্যূনতম করতে চাইছি তা গণনা করা (SAT অব দৈর্ঘ্য ) হার্ড বলে মনে করা হয়, যেখানে সার্কিট মিনিমাইজেশন সমস্যাটিতে আমরা ফাংশন করি হ্রাস করতে চান বিনামূল্যে (এটি ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয়)। $C$ $f$ $C'$ $C$ $n$
বনাম । আমার প্রশ্নটিন্যূনতম সার্কিটেরআকারটিসম্পর্কে কেবল নয়; এটি আকারের নির্বিশেষে ন্যূনতম সার্কিটের সন্ধানের জটিলতা সম্পর্কে। স্পষ্টতই যদি আমরা বহুবর্ষের মধ্যে ন্যূনতম সার্কিটগুলি গণনা করতে পারি তবে (এবং বাস্তবে , যেহেতু সার্কিট পরিবারটি ইউনিফর্ম), তবে রূপান্তরটি সত্য হওয়ার দরকার নেই। প্রকৃতপক্ষে, আমি বিশ্বাস করি যেইমারম্যান এবং মহানাইপ্রথমএনেরাকেলতৈরি করেছিলেন যেখানে $NP$ $P/poly$ $NP \subseteq P/poly$ $NP \subseteq P$ $P$ তবে $NP \subseteq P/poly$ - যে, বহুপদী আকার সার্কিট রয়েছে কিন্তু তারা বহুপদী সময় পাওয়া যাবে না। $P \neq NP$ $NP$

cc.complexity-theory sat

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

আপনি নিঃশর্ত নিম্ন সীমানা চান? (অবশ্যই সময় জটিলতা স্যাট এর সার্কিট জটিলতায় কম সীমাবদ্ধ, তবে আমরা পরবর্তীকালের সম্পর্কে মূলত কংক্রিটের কিছুই জানি না।)

— রায়ান উইলিয়ামস

@ রায়ান: যেমনটি প্রায়শই ঘটে থাকে, নিঃশর্ত সুন্দর হবে তবে এটি আশা করা খুব বেশি সম্ভবত। উদাহরণের মাধ্যমে পরিষ্কার করতে সহায়তা করতে আউটপুট আকারের (ন্যূনতম সার্কিটের আকারের আকারের) ক্ষেত্রে জটিলতা সম্পর্কে আমি একটি দ্বিতীয় প্রশ্ন যুক্ত করেছি।

— জোশুয়া গ্রাচো

আহ, আমি এখন বুঝতে পারি। এটি একটি খুব সুন্দর প্রশ্ন। Bshouty এট আল দ্বারা স্যাট সার্কিটগুলি শেখার জন্য অ্যালগরিদম থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করে নিখরচায় আবদ্ধ হওয়া উন্নত হতে পারে। আপনি যদি ইতিমধ্যে কিছু আকারের স্যাটের জন্য একটি সার্কিট খুঁজে পেয়েছেন তবে সম্ভবত আপনি বুটস্ট্র্যাপ করতে পারেন এবং আরও দক্ষতার সাথে আরও বড় আকারের একটি সার্কিট খুঁজে পেতে পারেন।

— রায়ান উইলিয়ামস

আসুন ধরে নেওয়া যাক যে একত্রে অভিন্নতার চেয়ে অ-ইউনিফর্মের চেয়ে খুব দ্রুত SAT সমাধান করতে পারে না। এটি হ'ল, টি (এন) সময়ে টিএম এম সমাধানকারী স্যাট রয়েছে এবং স্যাটের সবচেয়ে ছোট সার্কিটের আকার টি '(এন) থাকে যা টি (এন) এর চেয়ে খুব বেশি ছোট নয় (বলুন, - বিশেষত এটি ধারণ করে যদি স্যাট সমাধানের জন্য ক্ষুদ্রতম সার্কিটটির আকার যা খুব ভাল সত্য হতে পারে)। $T(n) = poly(T'(n))$ $2^{\Omega(n)}$

সুতরাং, আপনি কেবল একটি সার্কিট দ্বারা এম এর কিছু ক্যানোনিকাল সিমুলেশন চালিয়ে একটি "প্রায়" ন্যূনতম সার্কিট পেতে পারেন, সময়ের সাথে এটি মূলত সর্বোত্তম (আউটপুট লিখতে আপনাকে যত সময় লাগে)। কেবলমাত্র এই কারণেই, অনুমান করছি যে কোনও "সুন্দর" অনুমানের উপর ভিত্তি করে এই প্রশ্নের কোনও নিম্ন সীমাবদ্ধ থাকবে না। তবে, কীভাবে একটি "প্রায় সর্বনিম্ন" থেকে বাস্তবে সর্বনিম্নে যেতে হয় তা আমি জানি না। এটি করার একটি উপায় হ'ল সত্যটি ব্যবহার করা হবে যে সার্কিট পর্যন্ত আকারের সন্ধান করা বহুপাক্ষিক শ্রেণিবিন্যাসের একটি প্রশ্ন, $S$ $T(T(n))$ $2^{o(M)}$ $T(n)=2^{n^{o(1)}}$

— বোয়াজ বারাক
সূত্র