সাবএকড্র্যাটিক স্পেসে ডিএফএ ছেদ?

25

এন (রাজ্য) সহ দুটি (সর্বনিম্ন) ডিএফএগুলির ছেদটি ও (এন ² ) সময় এবং স্পেস ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে । এটি সাধারণভাবে সর্বোত্তম, যেহেতু ফলস্বরূপ (সর্বনিম্ন) ডিএফএর এন ² রাজ্য থাকতে পারে । তবে, যদি ফলস্বরূপ সর্বনিম্ন ডিএফএ-এর জেড স্টেট থাকে, যেখানে z = O (n) থাকে তবে এটি কিছু ধ্রুবক ইপিএস> 0 এর জন্য n ^2-eps স্পেসে গণনা করা যেতে পারে ? আমি যে বিশেষ ক্ষেত্রে ইনপুট ডিএফএগুলি অ্যাসাইক্লিক রয়েছে তার জন্যও আমি এই জাতীয় ফলাফলের জন্য আগ্রহী।

automata-theory dfa

— রাসমুস পগ
সূত্র

3

উম ... যদি দুটি এন-রাষ্ট্রের ডিএফএগুলি অ্যাসাইক্লিক হয়, তবে প্রতিটি কেবলমাত্র দৈর্ঘ্যের একটি সীমাবদ্ধ সেটকে সর্বাধিক n হিসাবে গ্রহণ করে, যার ক্ষেত্রে তাদের ছেদটি দুটি লেবেলযুক্ত ট্রান্সফার গ্রাফের কেবল ছেদ হয়, যার এন স্টেট এবং রৈখিক সময় এবং স্থান গণনা করা যেতে পারে। নাকি আমি কিছু মিস করছি?

— জোশুয়া গ্রাচো

4

হ্যাঁ, অ্যাসাইক্লিক ডিএফএরা কেবলমাত্র একটি সীমাবদ্ধ শব্দের সেট গ্রহণ করে। তবে অ্যাসাইক্লিক ডিএফএগুলির উদাহরণ রয়েছে যার ছেদটির আকার n ^ 2। উদাহরণস্বরূপ, এমন একটি ডিএফএ সম্পর্কে চিন্তা করুন যা এএবিসি ফর্মটির স্ট্রিং গ্রহণ করে (যেখানে এবিসি দৈর্ঘ্যের কে স্ট্রিং রয়েছে), এবং এমন একটি যা ফর্মের স্ট্রিংকে এবিসিসি স্বীকার করে।

— রাসমুস পগ

1

retagging: cs.cc একটি arxiv উপাধি, সুতরাং প্রদত্ত ট্যাগগুলির cs.cc উপসর্গের প্রয়োজন হয় না।

— সুরেশ ভেঙ্কট

15

অটোমেটনের আকারের কোনও প্রয়োজন ছাড়াই উত্তর হ্যাঁ । এটি কে স্পেসে এমনকি ডিএফএগুলির জন্যও গণনা করা যেতে পারে যেখানে ধ্রুবক। $O(\log^2 n)$ $k$ $k$

যাক ( হতে DFAs। আমরা দেখাই যে, , ন্যূনতম ডিএফএ স্বীকৃত যেতে পারে স্থান। আমরা প্রথমে কিছু প্রযুক্তিগত ফলাফল প্রমাণ করি। $A_i = (Q_i, \Sigma_i, \delta_i, z_i, F_i)$ $i \in [k])$ $k$ $\langle A_1, \ldots, A_k \rangle$ $\text{L}(A_1) \cap \cdots \cap\text{L}(A_k)$ $O(\log^2 n)$

সংজ্ঞা 1 : আসুন দুটি রাজ্য হতে হবে তারপর , iff $q, r$ $q \equiv r$ $\forall w \in \Sigma^*$ $q . w \in F \Leftrightarrow r . w \in F$

আমরা এখন ধ্রুপদী কার্টেসিয়ান পণ্য নির্মাণ দ্বারা প্রদত্ত অটোমেটন বিবেচনা করি । যাক এবং রাজ্যের হতে । $A$ $q = (q_1, \ldots, q_k)$ $r = (r_1, \ldots, r_k)$ $A$

লেমা 1 : সিদ্ধান্ত নিচ্ছে যে এনএল-এ রয়েছে। $q \equiv r$

প্রুফ (স্কেচ): আমরা দেখাই যে বৈষম্য পরীক্ষা করে এনএল থাকে এবং এনএল = কোএনএল ব্যবহার করে। একটি শব্দ অনুমান করুন (সেই সময় একটি অক্ষর) যেমন একটি চূড়ান্ত রাষ্ট্র এবং না। এটি মাধ্যমে অর্জন করা যায় জন্য লগ-স্থান এবং সত্য যে ব্যবহার চূড়ান্ত iff হয় । দেখা যেতে পারে যে একটি অস্তিত্ব বোঝা পলি-আকারের। $w \in \Sigma^*$ $q . w$ $r . w$ $q_i . w, r_i . w$ $i \in [k]$ $q$ $q_i \in F_i \, \forall i \in [k]$ $q \not\equiv r$ $w$

লেমা 2 : (ইন) অ্যাক্সেসযোগ্য কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার মধ্যে। $q$

প্রুফ (স্কেচ): থেকে ( ) পর্যন্ত (বহু-আকারের) পাথগুলি অনুমান করুন । $z_i$ $q_i$ $i \in [k]$

সংজ্ঞা 2 : ডিক্সোগ্রাফিক ক্রমে এর রাজ্য বিবেচনা করুন । নির্ধারণ হচ্ছে প্রথম প্রবেশযোগ্য রাষ্ট্রীয় ও প্রথম প্রবেশযোগ্য রাষ্ট্র নিম্নলিখিত , যা আগের কোনো রাষ্ট্র সমতূল্য নয়। আমরা সংজ্ঞায়িত অনন্য হিসাবে যেমন যে । $A$ $s(1)$ $s(i)$ $s(i-1)$ $c(q)$ $i$ $q \equiv s(i)$

লেমা 3 : স্পেসে গণনা করা যেতে পারে । $s(i)$ $O(\log^2 n)$

প্রুফ (স্কেচ): সংজ্ঞা 2 একটি অ্যালগরিদম দেয়। আমরা রাজ্যগুলিতে পুনরাবৃত্তি করতে কাউন্টার ব্যবহার করি । যাক এবং বর্তমান অবস্থা দেখুন। প্রতিটি রাজ্যে, অ্যাক্সেসযোগ্য কিনা তা যাচাই করতে আমরা লেমা 2 ব্যবহার করি । যদি এটি হয় তবে আমরা পূর্ববর্তী প্রতিটি রাজ্যে লুপ করব এবং সমান কিনা তা আমরা যাচাই করি । যদি কোন নয়, আমরা বৃদ্ধি এবং আউটপুট যদি । অন্যথায়, আমরা হিসাবে সংরক্ষণ করি এবং আমরা চালিয়ে যাচ্ছি। যেহেতু আমরা কেবল স্থির সংখ্যক কাউন্টার সঞ্চয় করি এবং আমাদের পরীক্ষাগুলি এ চালানো যেতে পারে $k$ $j \leftarrow 0$ $q$ $q$ $q$ $j$ $q$ $j = i$ $q$ $s(j)$ $\text{NL} \subseteq \text{DSPACE}(\log^2 n)$ , এটি প্রমাণ পূর্ণ।

করোলারি 1 : স্পেসে গণনা করা যেতে পারে । $c(q)$ $O(\log^2 n)$

উপপাদ্য : কমানোর মধ্যে সম্পন্ন করা যাবে স্থান। $A$ $O(\log^2 n)$

প্রুফ (স্কেচ):বৃহত্তম হতে যেমন যে সংজ্ঞায়িত করা হয় (অর্থাৎ। এর ক্লাস সংখ্যা )। আমরা একটি অ্যালগরিদম একটি যন্ত্রমানব outputting দিতে যেখানে $1 \leq m \leq |Q_0| \cdots |Q_1|$ $i$ $s(i)$ $\equiv$ $A' = (Q', \Sigma, \delta', z', F')$

$Q' = \lbrace s(i) : i \in [m] \rbrace$ ;
$F' = \lbrace q \in Q' : q_i \in F_i \, \forall i \in [k] \rbrace$ ;
$z' = s(c(q))$ যেখানে । $q = (z_0, \ldots, z_k)$

আমরা এখন দেখছি কীভাবে গণনা করা যায় । প্রতিটি , , গণনা এবং আউটপুট রূপান্তর । লেমা 3 এবং করোলারি 1 দ্বারা, এই অ্যালগরিদম স্পেসে চলে। এটি পরীক্ষা করা যায় যে ন্যূনতম এবং । $\delta'$ $i \in [m], a \in \Sigma$ $q \leftarrow s(i) . a$ $\left(s(i), a, s(c(q))\right)$ $O(\log^2 n)$ $A'$ $\text{L}(A') = \text{L}(A)$

— মাইকেল ব্লন্ডিন
সূত্র

3

চমৎকার অ্যালগরিদম! এই অ্যালগরিদমটি দেখার জন্য এখানে কিছুটা আলাদা উপায়। এর মূলটি হ'ল যে কোনও ডিএফএর রাষ্ট্রীয় ক্ষুদ্রায়ন বহুবর্ষীয় সময় এবং স্পেসে করা যেতে পারে। এর পর, এটা সহজ কিছু DFA তে (বহুপদী সময় অত: পর এবং লগারিদমিক স্থান ছেদ প্রতিনিধিত্বমূলক গঠন করা হয় স্থান) এবং আমরা দুটি ফাংশন রচনা করতে বহুপদী সময় গণনীয় এবং স্পেস (বহু লোগারিথমিক-স্পেস হ্রাস কমপোজ করার অনুরূপভাবে), বহু-কাল এবং স্পেসে পুরো অ্যালগরিদম প্রদান করে ।

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

— Tsuyoshi Ito

2

আমি কেবল এই উত্তরটি দেখেছি ... অ্যালগরিদম কেন পলটাইম এবং স্পেসে একসাথে চলে I হ্যাঁ, , তবে এটি - তা আমরা জানি না পলিটাইমে চলমান একটি অ্যালগরিদম পান এবং আমরা স্পেসে চলতে থাকা অন্য একটি অ্যালগরিদম পেতে পারি তবে পলটাইম এবং স্পেসে সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় তা আমি জানি না অ্যালগরিদম।

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

N L \subseteq P \cap D S P A C E [\log^{2} n]

$NL \subseteq P \cap DSPACE[\log^2 n]$

N L \subseteq T I S P [n^{O (1)}, \log^{2} n]

$NL \subseteq TISP[n^{O(1)}, \log^2 n]$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

N L

$NL$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

— রায়ান উইলিয়ামস

আপনি ঠিক বলেছেন, আমি জানি না কিভাবে হয়। আমি এটি অনেক দিন আগে পোস্ট করেছি, সুতরাং আমি কেন নিশ্চিতভাবে নিশ্চিত হয়েছি যে আমি কেন এটি লিখলাম না, তবে সম্ভবত আমি "বহুবর্ষের সময় বা ও (লগ এন)" বোঝাতে চাইছি। আমি এটি সম্পাদনা করব কারণ এটি বিভ্রান্তিকর। ধন্যবাদ!

— মাইকেল ব্লন্ডিন

14

ডিক লিপটন এবং সহকর্মীরা সম্প্রতি এই সমস্যাটিতে কাজ করেছেন এবং লিপটন এটি সম্পর্কে এখানে ব্লগ করেছেন:

http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

এটি ডিএফএ চৌরাস্তাটি খালি ভাষাটি নির্ধারণ করে কিনা তা নির্ধারণের খুব-বিশেষ ক্ষেত্রে এমনকি ও (এন ^ 2) এর চেয়ে আরও ভাল করার বিষয়টি উন্মুক্ত।
কাগজটি জটিলতার পরিণতি দেয় যা কেবলমাত্র ছেদকালে 2 ডিএফএ নয়, পাশাপাশি আরও বড় সংখ্যক হ্যান্ডলিংয়ের ফলে অনেক উন্নত অ্যালগরিদম থেকে আসে।

— অ্যান্ডি ড্রাগার
সূত্র

1

এবং নিম্ন সীমা সম্পর্কে কি?

— মার্কোস ভিলাগ্রা

1

কেবলমাত্র প্রশ্নগুলি স্পষ্ট করতে: আমি জায়গার সীমা উন্নত করতে O (n ^ 2) সময় (বা এমনকি n ^ O (1) সময়) ব্যয় করে খুশি।

— রাসমুস পগ

13

যদি আপনাকে কে ডিএফএ দেওয়া হয় (কে ইনপুটটির অংশ) এবং জানতে চান তাদের ছেদটি ফাঁকা আছে কিনা, এই সমস্যাটি সাধারণভাবে পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ:

ডেক্সটার কোজেন: প্রাকৃতিক প্রুফ সিস্টেমগুলির জন্য নিম্ন সীমানা FOCS 1977: 254-266

সম্ভবত আপনি যদি এই প্রমাণটি যত্ন সহকারে অধ্যয়ন করেন (এবং লিপটন এবং তাঁর সহ-লেখকদের অনুরূপ নির্মাণ), আপনি স্থির কে জন্য এমনকি কিছু ধরণের স্থান নীচে আবদ্ধ পেতে পারেন।

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

এই পয়েন্টার জন্য ধন্যবাদ। আমি অনুমান করছি যে এটি সম্ভবত ইনপুট বাদে প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত জায়গার উপর একটি n ^ ওমেগা (1) স্পেস নিম্ন বন্ডের দিকে নিয়ে যেতে পারে। তবে এটি সম্ভবত কোনও সুপার-লিনিয়ার স্পেসকে নিম্ন সীমাতে নিয়ে যেতে পারে?

— রাসমুস পগ

1

@ user124864 দেওয়া DFA তে এর সঙ্গে প্রতিটি রাজ্য, পণ্য যন্ত্রমানব থাকবে যুক্তরাষ্ট্র। এর আকার কমিয়ে আনতে এখন আপনি দুটি কৌশল করতে পারেন। প্রথমটি হ'ল আপনি কেবল পণ্যের গ্রাফের পৌঁছনীয় উপাদানটিকে বিবেচনা করুন। দ্বিতীয়ত, আপনি পণ্যটি ডিএফএ হ্রাস করতে পারেন। দিনের শেষে, এই পণ্যটি অটোমেটনের দ্বারা কোন ভাষা স্বীকৃত তা নির্ধারণ করা কঠিন।

k

$k$

n

$n$

n^{k}

$n^k$

— মাইকেল ওয়েহার

1

@ user124864 এমনকি ডিএফএ পণ্যটি খালি নয় এমন ভাষা স্বীকৃতি দেয় কিনা তা নির্ধারণের চেষ্টা করা ঠিক নয়। এটি ছেদহীন শূন্যতার সমস্যা। কঠোরভাবে, আমি বোঝাতে চাইছি এটি strong অর্থে এটি সম্পূর্ণ।

X N L

$XNL$

— মাইকেল ওয়েহার

1

@ user124864 আপনি যদি সময়ের চেয়ে কম সময়ে এটি সমাধান করতে পারেন তবে আমরা PSPACE সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য দ্রুত অ্যালগরিদম পাই get এটি অ-ডিস্ট্রিমেন্টিক বাইনারি স্পেসে দ্রবণযোগ্য নয়। এটি আমরা ডিটারমিনিস্টিক বাইনারি স্পেসের চেয়ে কম সমাধান করতে পারি কিনা তা জানা যায়নি। এটি আমরা যদি যুগপত নির্জনবাদী বহুবর্ষের সময় এবং কোনও কার্যকারনের জন্য বাইনারি স্পেস (স্যাভিচের উপপাদাকে উন্নত করতে পারে) সমাধান করতে পারি তবে এটি জানা যায় না ।

n^{k}

$n^k$

o (1) \cdot k \cdot \log (n)

$o(1) \cdot k \cdot \log(n)$

k^{2} \log^{2} (n)

$k^2 \log^2(n)$

f (k) \cdot \log^{2} (n)

$f(k) \cdot \log^2(n)$

f

$f$

— মাইকেল ওয়েহার

1

@ ব্যবহারকারী 124864 নোট: আমাদের নীচের দুটি রয়েছে। (1) সময় নির্ধারিতভাবে পিটানো পিএসপিএসিই সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য দ্রুত নির্বিচারক অ্যালগরিদমকে বোঝায় এবং (২) পি-পিএসএসিইসি সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য অ-ডি- টাইম নন-ডিস্ট্রিমেন্টিকভাবে দ্রুত প্রবণতা-অ-ডিগ্রিজনিক অ্যালগরিদমকে বোঝায়।

n^{k}

$n^k$

n^{k}

$n^k$

— মাইকেল ওয়েহার

7

প্রদত্ত দুটি অটোমাটা , সসীম ভাষা (acyclic অটোমাটা), রাজ্যের জটিলতা গ্রহণ হল (1) । এই ফলাফলটি অ্যানারি ডিএফএগুলির জন্যও রয়েছে (অ্যাসিক্লিক অগত্যা নয়) (2) । যাইহোক, আপনি দুটি অটোমাতার ছেদটি গণনা করার জন্য প্রয়োজনীয় স্থানটি নিয়ে কথা বলছেন বলে মনে হচ্ছে। আমি দেখতে পাচ্ছি না কার্টেসিয়ান পণ্য ব্যবহার করে ক্লাসিক নির্মাণ কীভাবে স্পেস ব্যবহার করে। আপনার যা দরকার তা হ'ল লগারিদমিক আকারের একটি ধ্রুবক সংখ্যা। আপনি যখন নতুন রাষ্ট্রের জন্য রূপান্তর ফাংশন গণনা করেন আপনাকে কেবল পূর্বে উত্পন্ন কোনও ডেটা না দেখেই কেবল ইনপুট স্ক্যান করতে হবে। $A$ $B$ $L(A) \cap L(B)$ $\Theta(|A| \cdot |B|)$ $O(n^2)$ $(q,r)$

সম্ভবত আপনি সর্বনিম্ন অটোমেটনের আউটপুট করতে চান? এটি যদি হয় তবে তা অর্জন করা যায় কিনা সে সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই। সীমাবদ্ধ ভাষার জন্য ছেদ করার রাষ্ট্র জটিলতা উত্সাহজনক বলে মনে হয় না। যাইহোক, অ্যানারি ডিএফএগুলির একই রাষ্ট্র জটিলতা রয়েছে এবং আমি মনে করি এটি যেমন অটোমেটা দিয়ে অর্জন করা যেতে পারে। (2) এর ফলাফল ব্যবহার করে আপনি ছেদটি সনাক্ত করে অটোমেটনের সঠিক আকার পেতে পারেন। এই আকারটি লেজ এবং চক্রের দৈর্ঘ্যের দ্বারা বর্ণিত হয়, সুতরাং রূপান্তর ফাংশনটি খুব সহজেই খুব কম জায়গার সাথে গণনা করা যায় যেহেতু কাঠামোটি সম্পূর্ণরূপে দুটি আকারের দ্বারা বর্ণিত হয়। তারপরে, আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল চূড়ান্ত রাজ্যের সেট তৈরি করা। যাক ফলে যন্ত্রমানব মধ্যে রাজ্যের সংখ্যা হতে, তারপর সবার জন্য , রাষ্ট্র $n$ $1 \leq i \leq n$ $i$ একটি চূড়ান্ত রাষ্ট্র যদি এবং উভয় দ্বারা গৃহীত হয় । এই পরীক্ষাটি কম জায়গার সাথে বহন করা যেতে পারে। $a^i$ $A$ $B$

— মাইকেল ব্লন্ডিন
সূত্র

1

হ্যাঁ, আমি ন্যূনতম অটোমেটনে বা কমপক্ষে একই আকারের একটি অটোমেটনে আগ্রহী। অ্যানারি ডিএফএগুলির পয়েন্টারগুলির জন্য ধন্যবাদ। তবে এটি সাধারণ ক্ষেত্রে খুব বেশি সাহায্য করবে বলে মনে হয় না।

— রাসমুস পগ