স্পর্শে ওয়ালশ-হাদামার্ড রূপান্তর

ওয়ালশ-Hadamard রুপান্তর (wht) ফুরিয়ার একটি সাধারণীকরণ রুপান্তর, এবং মাত্রা প্রকৃত বা জটিল সংখ্যার একটি ভেক্টর উপর একটি লম্ব রূপান্তর হয় । ট্রান্সফর্মটি কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ে জনপ্রিয়, তবে জনসন-লিন্ডেনস্ট্রাস লিমার প্রমাণ হিসাবে ব্যবহারের জন্য উচ্চ-মাত্রিক ভেক্টরগুলির এলোমেলোভাবে অনুমানের জন্য এটি এক প্রকার পূর্বশর্ত হিসাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। এর প্রধান বৈশিষ্ট্যটি হ'ল যদিও এটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, এটি কোনও এফএফটি-জাতীয় পদ্ধতিতে সময় ( পরিবর্তে একটি ভেক্টরের কাছে প্রয়োগ করা যেতে পারে । $d = 2^m$ $d\times d$ $O(d \log d)$ $d^2$

ধরা যাক ইনপুট ভেক্টরটি অল্পরকম : এটিতে কেবল কয়েকটি ননজারো এন্ট্রি রয়েছে ( )। সেখানে সময় wht গনা কোন উপায় আছে কি যেমন যে এবং জন্য ? $r \ll d$ $f(r,d)$ $f(d,d) = O(d \log d)$ $f(r,d) = o(d \log d)$ $r = o(d)$

দ্রষ্টব্য: এই প্রয়োজনীয়তাগুলি এই ধারণাটিকে আনুষ্ঠানিক করার একমাত্র উপায় যা আমি এমন কিছু চাই যা চেয়ে দ্রুত চলে ছোট । $d \log d$ $r$

ds.algorithms linear-algebra

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

আমি নিশ্চিত যে আপনি নিম্নলিখিত দুটি সহজ পর্যবেক্ষণ সম্পর্কে সচেতন, তবে যাইহোক আমি অন্য পাঠকদের জন্য এগুলি লিখে রাখব: (1) একটি সরল গুণটি ও (আরডি) সময় দেয়। এটি ও (ডি লগ ডি) এর চেয়ে ভাল তবেই r = o (লগ ডি)। (২) ইনপুট ভেক্টরটি বিচ্ছিন্ন থাকলেও, আউটপুটটি সাধারণভাবে ছড়িয়ে যায় না। এর অর্থ হ'ল আমরা চ (আর, ডি) ও (ডি) এমনকি আর = 1 এর জন্য আশা করতে পারি না।

— Tsuyoshi Ito

আপনি কি জানেন যে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের জন্য একই প্রশ্নের উত্তর কী?

— রবিন কোঠারি

শ্যুওশি: হ্যাঁ, আমি (1) সম্পর্কে অবগত এবং এটি আসলে এটির জন্য প্রয়োজনীয় অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য কী করা হয়। (2) হিসাবে এটি সত্য। রবিন, এটি একটি ভাল পয়েন্ট - আমি এফটি-র জন্য কোনও কিছুর বিষয়ে জানি না, এবং এটি সম্ভবত খনন শুরু করার জন্য ভাল জায়গা হতে পারে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

দেখা যাচ্ছে উইকিপিডিয়াতে আমার খনন করা উচিত ছিল। এফএফটি পৃষ্ঠায় দুটি কাগজপত্রের উল্লেখ রয়েছে যা স্পার্স গণনা সমস্যার সাথে সম্পর্কিত হতে পারে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

X এর জন্য পূর্ণসংখ্যা x দ্বারা WHT সারিগুলি সূচী করুন $0 \le x \lt d$ । সুতরাং এক্স লগ ডি বিট আছে। একইভাবে, কলামগুলি সূচী করুন। (X, y) অবস্থানটি $(-1)^{\langle x,y \rangle}$ যেখানে ব্যয়কারী দৈর্ঘ্য লগের বিন্দু পণ্য is ধরুন r হল 2 এর একটি শক্তি, প্রয়োজনে রাউন্ড আপ। প্রথম লগ আর বি বি পরিবর্তিত হতে এবং প্রতিটি ল / র প্রতিটি পদ্ধতিতে অন্যান্য লগ (ডি / আর) বিট স্থির করে ডিএক্সআর ম্যাট্রিক্সকে আরএক্সআর ব্লকে বিভক্ত করুন। এই আরএক্সআর ব্লকটি আকারের আর একটি ছোট ডাব্লুএইচটি ম্যাট্রিক্স, বাদে কিছু কলাম অনুপস্থিত, পুনরাবৃত্তি হওয়া বা উপেক্ষিত থাকতে পারে। যাই হোক না কেন, ভেক্টরকে সহজেই প্রিপ্রোস করুন তারপরে টাইম ল লগে একটি আরএক্সআর ডাব্লুটি করুন, তারপরে মোট সময় ডি লগ আর এর জন্য ডি / আর বার পুনরাবৃত্তি করুন।

উদাহরণ:

d = 4।

ডাব্লুএইচটি এইচ

++++
+-+-
++--
+--+

কলামগুলির নির্বিচারে সেটটি হল 00 এবং 10 (বামদিকে এবং এর থেকে দুটি):

++
++
+-
+-

সারি ব্লকগুলি হ'ল

++
++

এবং

--
--

প্রতিটি ব্লকে, পুনরাবৃত্তি কলামগুলি, অনুপস্থিত কলামগুলি এবং দ্বিতীয় ব্লকে অবহেলিত কলাম রয়েছে। একটি ভেক্টর প্রাক প্রসেস করুন $(a,b)^T$ মধ্যে $(a+b,0)^T$ এবং 2x2 WHT দ্বারা গুণ করুন:

++
+-

তারপরে প্রিপ্রোসেস $(a,b)^T$ মধ্যে $(-a-b,0)^T$ এবং 2x2 WHT দ্বারা গুণ করুন:

++
+-

— মার্টিন স্ট্রস
সূত্র