ভাষা এল এনপিতে থাকে কিনা তা নির্ধারণ করা যায়?

একটি টিউরিং মেশিন দ্বারা নির্ধারিত একটি ভাষা এল প্রদান করে যা এটি স্থির করে, এলপিকে এনপিতে রয়েছে কিনা তা অ্যালগরিদমিকভাবে নির্ধারণ করা সম্ভব?

cc.complexity-theory computability turing-machines

— txwikinger
সূত্র

জটিলতার তত্ত্বে ফিরে এসেছি। এনপি-সম্পূর্ণতার সাথে এটি কী করেছে তা নিশ্চিত নয়।

— আর্যভাটা

এফডাব্লুআইডাব্লু, প্রস্তাবের সাইটে ভোট থাকা সত্ত্বেও, আমি মনে করি এই প্রশ্নটি সঠিকভাবে ফ্যাক্টরিংয়ের তুলনায় বেশি কারণেই ফ্যাক্টরিংয়ের প্রশ্নটি বেশিরভাগ অন্তর্গত জটিলতা কোর্সে আবৃত হবে, তবে এই প্রশ্নটি অনেকগুলি স্নাতক-স্তরেও আচ্ছাদিত নয় is জটিলতা কোর্স।

— জোশুয়া গ্রাচো

এটি কি রাইসের উপপাদ্যের একটি সাধারণ প্রয়োগ হিসাবে কম্পিউটারের সামঞ্জস্য সম্পর্কিত ইন্ট্রো কোর্সে অন্তর্ভুক্ত নয়?

— মরিটজ

মরিটজ - যদিও এই প্রশ্নের হ্যাঁ / কোনও উত্তর রাইসের উপপাদ্য দ্বারা আবৃত নয়, আরও আকর্ষণীয় ফলাফলের জন্য আমার উত্তর নীচে দেখুন। হতে পারে, টেক্সউইকিংগার, আপনার প্রশ্নটি "সেটটির জটিলতা কী হবে to i: এল (এম_আই) এনপি in এ রয়েছে?"

— জোশুয়া গ্রাচো

আমি এখানে জোশুয়ার উত্তর দ্বিতীয় করব। ভাষাটি কোনও ট্যুরিং মেশিন দ্বারা নির্দিষ্ট করা হলে উত্তরটি সুস্পষ্ট হতে পারে, তবে আমরা যদি ভাষাটি কিছু স্বেচ্ছাচারিত বিন্যাসে নির্দিষ্ট করে দেওয়ার অনুমতি দিই তবে উত্তরটি একই (এবং সম্ভবত এতটা আপাত নয়)।

— আনন্দ কুলকার্নি

উত্তর:

না, প্রথমে, রাইসের উপপাদ্য অনুসারে, এটি টিএম-এর একটি সম্পত্তি যা কেবল তারা গণনা করা ভাষার উপর নির্ভর করে, সুতরাং এটি গণনাযোগ্য হতে পারে না।

কিন্তু এর চেয়ে বেশি, এটা জানা যায় সূচী সেট (যে স্মৃতি সেট যে কম্পিউট ভাষায় ) হল -complete ( মধ্যে গাণিতিক computability অনুক্রমের না বহুপদী শ্রেণিবিন্যাস)। $NP$ $NP$ $\Sigma^0_3$ $\Sigma^0_3$

এর মতো প্রশ্নগুলি প্রথমে হাজেক তদন্ত করেছিলেন । আরও তথ্যের জন্য, যেমন কেন রেগানের এই নিবন্ধটি দেখুন ।

হাজেকের কাগজ থেকে আরও কয়েকটি দুর্দান্ত টুকরো:

সূচী সেট হয় -complete। $P$ $\Sigma^0_3$
হয় -complete $\{i : P^{L(M_i)} \neq NP^{L(M_i)}\}$ $\Pi^0_2$
মোট ট্যুরিং মেশিন রয়েছে (সমস্ত ইনপুট থামিয়ে দেওয়া) যেমন তবে " " বিবৃতিটি স্বাধীন (যেখানে ) । একইভাবে আপেক্ষিকরণের জন্য যেখানে । $M_i$ $P^{L_i} = NP^{L_i}$ $P^{L_i} = NP^{L_i}$ $L_i = L(M_i)$ $P \neq NP$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

এখানে প্রশ্নটি একটি প্রতিশ্রুতি সিদ্ধান্তের সমস্যা বলে মনে হচ্ছে (প্রদত্ত ভাষাটি কোনও টিএম দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়ার প্রতিশ্রুতি দেওয়া হয়েছে, এটি কেবল স্বীকৃত নয়) সম্পূর্ণ সিদ্ধান্ত সমস্যার বিপরীতে। রাইসের উপপাদ্য কি তখনও এখানে কার্যকর হবে? স্মরণ কর যে রাইসের তত্ত্বের প্রমাণটি থেমে থাকার সিদ্ধান্তহীনতার নিয়োগ করে, তাই সেখানে অনির্বাচিততা অপরিহার্য।

— Zeyu

প্রশ্নে L ভাষাটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল "এটি এমন কোনও মেশিন দ্বারা দেওয়া হয়েছিল যা এটি সিদ্ধান্ত নেয়"। সুতরাং এটি সত্যিই ছিল: একটি ট্যুরিং মেশিন এম দেওয়া হয়েছে, এল (এম) এনপিতে থাকলে এটি নির্ধারণ করা যায়? যদি এল ভাষা টিএম দ্বারা নির্দিষ্ট না করা হত, তবে কেবল প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি উপসেট হিসাবে দেওয়া হয়, তবে এল এনপি তে থাকলে অ্যালগোরিদমিকভাবে সিদ্ধান্ত নেওয়ার অর্থ কী? বিশেষত, যখন এল নিজেই একটি সীমাবদ্ধ বিবরণ দেওয়া হয় না তখন আমরা এল কে একটি অ্যালগরিদমের ইনপুট হিসাবে কীভাবে ভাবতে পারি?

— জোশুয়া গ্রাচো

হ্যা আমি জানি. তবে রাইসের উপপাদ্যে এটি সম্ভব যে টিএম কোনও ভাষা সিদ্ধান্ত নেয় না, অর্থাত্ এটি মোট ফাংশন গণনা করে না।

— Zeyu

এটি একটি সাধারণ তাত্পর্যপূর্ণ যে, ট্যুরিং মেশিনগুলির একটি অর্থপূর্ণ সম্পত্তি যেমন "এম একটি এনপি ভাষা সংজ্ঞায়িত করে" প্রদত্ত, প্রথমে প্রথমে এই সম্পত্তিটি প্রথম-আদেশের যুক্তিতে প্রকাশ করার চেষ্টা করা উচিত। এটি সম্পত্তিটি গণিত শ্রেণিবদ্ধের এক স্তরে রাখে; হিউরিস্টিক হ'ল সম্পত্তি হায়ারার্কির সেই স্তরের জন্য সাধারণত সম্পূর্ণ। আমি এই জিজ্ঞাসাবাদ করতে চাই যে এই ধর্মতত্ত্বের কোনও উল্লেখযোগ্য পাল্টা উদাহরণ আছে।

— অ্যান্ডি ড্রাগার

পলিনোমিয়াল হায়ারার্কি থেকে স্কেলিং করে জিনিসগুলি এত সুন্দরভাবে আচরণ করার সম্ভাবনা কম থাকে। উদাহরণস্বরূপ, বৈশিষ্ট্যটি বিবেচনা করুন "সি ন্যূনতম আকারের বুলিয়ান সার্কিট (ফাংশনটির জন্য এটি গণনা করে)" " এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড এবং বহুপদী হাইয়ারার্কিতে স্থাপন করা যেতে পারে, তবে এটি যেখানে প্রাকৃতিকভাবে বসবাস করে সেখানে এটি সম্পূর্ণ কিনা তা উন্মুক্ত open ; (2-অংশ জরিপ "বহুপদী শ্রেণীবিন্যাসে সম্পূর্ণতার" স্কেফের এবং Umans দেখতে যেমন ফলাফল সার্কিট কিছু সীমাবদ্ধ ক্লাস, যেমন DNFs জন্য পরিচিত হয়।)

— অ্যান্ডি Drucker

আপনার আক্ষরিক প্রশ্নের উত্তর নেই, যেমনটি জোশুয়া গ্রোচো দেখিয়েছে।

যাইহোক, হোলগার যেমন বলেছিলেন, লাইন টাইম পরীক্ষা করা সম্ভব যে ননডেটেরিস্টিনিস্টিক টিউরিং মেশিন (এনটিএম) "ক্লক নিজেই" থাকে এবং কিছু ধ্রুবক কে-র জন্য n ^ কে পদক্ষেপের পরে থামে, একটি ঘড়ি অনুকরণের কিছু স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতিতে (যেমন নীচে কোড)। প্রায়শই যখন কোনও কাগজ বা বই পরামর্শ দেয় (ভুলভাবে) যে কোনও এনটিএম বহুপাক্ষিক সময় কিনা তা নির্ধারণ করা সম্ভব, তাদের সত্যিকার অর্থেই এটি বোঝানো হয়েছিল। সম্ভবত এই কারণেই আপনি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছেন? (আমি যখন জটিল তত্ত্বটি প্রথম শিখেছিলাম তখন আমার একই প্রশ্ন ছিল এবং কোথাও বিবৃতিটি দেখেছি যে কোনও টিএম পলিটাইম কিনা তা পরীক্ষা করা সম্ভব)) আসল প্রশ্নটি কেন এটি করতে ইচ্ছুক হতে পারে, যা আমি ব্যাখ্যা করার পরে নীচে আলোচনা করব কিভাবে ।

এই জাতীয় ক্লক বৈশিষ্ট্য যুক্ত করার জন্য প্রচুর উপায় রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ইনপুট এক্স এর দৈর্ঘ্যের এন সম্পর্কে কল্পনা করুন, পর্যায়ক্রমে "প্রাথমিক অ্যালগরিদম" আটকে থাকার একটি বিবৃতি কার্যকর করুন এবং তারপরে নীচের অ্যালগরিদমের একটি বিবৃতি, যা n ^ কে পদক্ষেপে সমাপ্ত হবে:

i_1 = 1 থেকে n এর জন্য
  i_2 = 1 থেকে n এর জন্য
...
        i_k = 1 থেকে n এর জন্য
          নো-অপ;
আসতে;

যদি উপরের কোডটি প্রাথমিক অ্যালগরিদম থামার আগে ফিরে আসে, তবে সম্পূর্ণ গণনা বন্ধ করুন (প্রত্যাখ্যান সহ বলুন)।

অ্যালগরিদম যা সিদ্ধান্ত নেয় যে কোনও এনটিএম এই ফর্মটি কিনা, যদি তার ইনপুটটি পলিটাইম এনটিএম কিনা তা নির্ধারণের জন্য একটি অ্যালগরিদমের চেষ্টা হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় তবে কিছু মিথ্যা নেতিবাচক প্রতিবেদন করবে: কিছু এনটিএম বহুত্ববর্তী সময়ে থামার গ্যারান্টিযুক্ত, যদিও তারা উপরের কোডের মতো একটি ঘড়ির একটি বিবৃতি সহ অ্যালগরিদমের একটি বিবৃতিটি কার্যকরভাবে প্রয়োগ করে না (সুতরাং বহু-সময় সত্ত্বেও প্রত্যাখাত হবে)।

তবে কোনও মিথ্যা ইতিবাচকতা নেই। যদি কোনও এনটিএম পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়, তবে এটি অবশ্যই বহুপক্ষীয় সময়ে বন্ধ হয়ে যায়, সুতরাং এটি কিছু এনপি ভাষার সংজ্ঞা দেয়। যাইহোক, সম্ভবত এর অন্তর্নিহিত প্রাথমিক অ্যালগরিদমের আচরণ পরিবর্তন করা হয়েছে, যদি প্রাথমিক অ্যালগরিদম বন্ধ হওয়ার আগে ঘড়িটি মাঝে মাঝে চলে যায়, তবে প্রাথমিক অ্যালগরিদম শেষ করার পর্যাপ্ত সময় দেওয়া হলেও এটি অ্যালগরিদম গ্রহণ করতে পারে। সুতরাং সিদ্ধান্ত নেওয়া ভাষাটি প্রাথমিক অ্যালগরিদমের চেয়ে আলাদা হতে পারে। কিন্তু, এবং এটি কী, যদি প্রাথমিকভাবে সম্পাদিত হচ্ছে অ্যালগরিদমটি আসলে পি (এন)-তে চলমান একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম হয়, এবং যদি ঘড়ির ধ্রুবক কে যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় তবে n ^ k> p (n), তবে ঘড়িটি শেষ হওয়ার আগেই প্রাথমিক অ্যালগরিদম সর্বদা থামবে। এই ক্ষেত্রে, প্রাথমিক অ্যালগরিদমের উত্তর পরিবর্তন করা হয় না, সুতরাং প্রাথমিক এলগোরিদম এবং ক্লকড এনটিএম এটি অনুকরণ করে তাই একই এনপি ভাষার সিদ্ধান্ত নেয়।

এটা কেন গুরুত্বপূর্ণ? এর অর্থ হল যে "সমস্ত এনপি ভাষাগুলি গণনা করা সম্ভব" (যা আমি বলেছি যে সাহিত্যে প্রায়শই সঠিকভাবে বলা হয় যে "প্রদত্ত এনটিএম পলিটাইম কিনা" বা "সমস্ত পলিটাইম এনটিএম এর গণনা করা হবে")। আরও স্পষ্টভাবে, NTM এর M_1 M_2, ... এর বৈশিষ্ট্যগুলি সহ একটি অসীম তালিকা গণনা করা সম্ভব

প্রতিটি এম_ কে বহুপক্ষীয় সময়ে চলে (উদাহরণস্বরূপ, এম_ কে-তে একটি ^ কে-টাইম ক্লক সংযুক্ত করে), সুতরাং কিছু এনপি ভাষা সিদ্ধান্ত নেয় এবং
প্রতিটি এনপি ভাষা হ'ল তালিকার কিছু এম_আই দ্বারা নির্ধারিত ভাষা।

যা ঘটে না তা হ'ল প্রতিটি বহু-কালীন এনটিএম তালিকায় রয়েছে। তবে প্রতিটি এনপি ভাষার এনটিএম এর প্রতিনিধিত্ব করে এমন একটি অসীম সংখ্যা রয়েছে। সুতরাং, প্রতিটি এনপি ভাষার অন্তত কিছুসংখ্যক প্রতিনিধি এনটিএম এর তালিকায় থাকার গ্যারান্টিযুক্ত, বিশেষত a সমস্ত এনটিএম'র একটি বৃহত পর্যায়ে সূচক কেতে এন n কে এম_কে চলমান সময়কে ছাড়িয়ে গেছে।

এটি তির্যককরণের মতো কৌশলগুলি করার জন্য দরকারী, যার জন্য সমস্ত এনপি ভাষার তালিকা অসীম (বা আনবাউন্ডেড) তালিকাতে আলগোরিদিমিকভাবে গণনা করা প্রয়োজন। এবং অবশ্যই, এই পুরো আলোচনাটি বহু-সময়ের এনটিএম, যেমন পলি-টাইম ডিটারমিনিস্টিক টিএম ছাড়াও অন্যান্য অনেক ধরণের মেশিনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

— ডেভ ডটি
সূত্র

$p(n)$

— হোলগার
সূত্র

এটি কেবল তখনই কাজ করে যদি এটি একটি ক্লকড নিরক্ষুবাদী টিএম থাকে। আমি যদি আপনাকে কেবল একটি ক্লকড টিএম দিই (তাও এক্সফোনশিয়াল সময়ে চালিত হয়) তবে এটি যে ভাষাটি সিদ্ধান্ত নেয় সেটি এনপিতে আছে কিনা তা এখনও অনস্বীকার্য। যাইহোক, যদি N_1, N_2, ... ঘনিষ্ঠ ঘড়ি সহ টিএমএসের একটি সংখ্যা হয় তবে সেটটি {i: L (N_i) এনপিতে রয়েছে probably সম্ভবত সিগমা_3-সম্পূর্ণ নয়, যেহেতু আপনি ইতিমধ্যে নিশ্চিত হয়ে গেছেন যে এন_আই মোট, তবে এটি অবশ্যই গণনাযোগ্য নয়।

— জোশুয়া গ্রাচো