ভার্টেক্স পৃথককারীগুলির কঠোরতা

Question

প্রদত্ত গ্রাফ জন্য পৃথককারী সমস্যা জিজ্ঞাসা করে যে ক্ষুদ্র কার্ডিনালিটির (বা ওজন) একটি শীর্ষবিন্দু বা প্রান্ত সেট বিদ্যমান যার অপসারণ পার্টিশনগুলি জি প্রায় দুটি সমান আকারের গ্রাফগুলিকে বিভক্ত করে। এটিকে ভার্টেক্স বিভাজক সমস্যা বলা হয় যখন মুছে ফেলা সেটটি একটি ভার্টেক্স সেট হয় এবং এজ প্রান্তকারী যখন প্রান্ত সেট থাকে তখন এজ পার্থক্যকারী সমস্যা। উভয় সমস্যাই সাধারণ অপ্রকাশিত গ্রাফের জন্য এনপি-সম্পূর্ণ। অনুভূমিক ভার্টেক্স বিভাজকের সর্বাধিক পরিচিত কঠোরতা কি? কোনও পিটিএএসের রায় কি বাতিল? নির্দেশিত সেটিংয়ের সর্বাধিক পরিচিত কঠোরতার ফলাফলগুলি কী কী?$G$$G$

সংশোধন : নীচের লিঙ্কগুলি এবং উত্তরগুলি আমাকে সহায়তা করেনি কারণ আমি আমার প্রশ্নটি সঠিকভাবে বর্ণনা করি নি। আমার প্রশ্ন লেইটন-রাওয়ের নিম্নলিখিত উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কিত:

উপপাদ্য : একটি বহুপদী সময় অ্যালগোরিদম বিদ্যমান যা একটি গ্রাফ এবং একটি সেট ডাব্লু ⊆ ভি দিয়ে একটি 2 খুঁজে পেয়েছে$G(V,E)$$W \subseteq V$ প্রান্তবিন্দু বিভাজকএস⊆ভীএরওয়াটমধ্যেজিআকারেরহে(W।লগ ইন করুনএন), যেখানেWএকটি ন্যূনতম আকার$\frac{2}{3}$$S \subseteq V$$W$$G$$O(w.{\log}n)$$w$ এর -vertex বিভাজকডব্লিউমধ্যেজি।$\frac{1}{2}$$W$$G$

একটি গ্রাফ এবং একটি সেট ডাব্লু ⊆ ভি দেওয়া হয়েছে , আমি একটি ver -ভারটেক্স বিভাজক (যেখানে $G(V,E)$$W \subseteq V$$\delta$আকারের একটি ধ্রুবক) হলW, যেখানেWএকটি ন্যূনতম আকার$\frac{1}{2} \leq \delta \leq 1$$w$$w$ এর -vertex বিভাজকডব্লিউমধ্যেজি। এই সমস্যার সর্বাধিক পরিচিত কঠোরতা কি? উপরোক্ত উপপাদ্যটিএই সমস্যার জন্যএকটিও(লগএন)আনুমানিকদেয়।$\frac{1}{2}$$W$$G$$O({\log}n)$

নোট করুন যে আমি বিভাজক অপসারণের পরে ফলাফলের উপাদানগুলির আকারে ধ্রুবক ফ্যাক্টর ব্লো-আপের অনুমতি দিচ্ছি, তবে আমি নিজেই বিভাজকের আকারটি ছোট করতে চাই। মন্তব্যে উল্লিখিত লিঙ্কগুলি ন্যূনতম বি-ভার্টেক্স বিভাজককে নির্দেশ করে , যাতে আমরা জোর দিয়ে থাকি যে ফলাফলের উপাদানগুলির আকার সবচেয়ে বেশি ।$|V|/2$

Comments

আমি বুঝতে পারি যে আমার আগের মন্তব্যগুলি অযথা কঠোর ছিল। আমি তাদের সরিয়েছি। আমি এই মন্তব্যগুলিতে কেবল লিঙ্কগুলি রেখেছি: এনটি অপটিমাইজেশন সমস্যার সংমিশ্রণের ভার্টেক্স সংস্করণ এবং প্রান্ত সংস্করণ ।

— Tsuyoshi Ito

আমি এই প্রশ্নেও আগ্রহী, আপনি তখন থেকে কিছু খুঁজে পেয়েছেন?

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

@ ইয়ারোস্লাভ: না। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি এই বিশেষ সমস্যার জন্য কোনও কঠোরতার ফলাফল পাইনি।

— শিব কিন্তালী

Answer 1

$O(\log n)$

এই সমস্যা সম্পর্কিত জ্ঞাত কাজের একটি ভাল পর্যালোচনা (যা স্প্রেস্ট কাট, ছড়িয়ে পড়া মেট্রিক এবং এমনকি অনন্য গেমস অনুমানের সাথে সংযোগ স্থাপন করে) ক্রেথগামার, নওর এবং শোয়ার্জ দ্বারা দ্বিখণ্ডনের প্রস্থের সাধারণীকরণ সম্পর্কিত সাম্প্রতিক গবেষণাপত্রে রয়েছে ।

Answer 2

$O(\sqrt{\log n})$$O(\log n)$লেইটন এবং রাও এর; প্রান্তের মামলার জন্য তারা এটি করেছে। অগ্রবাল-চরিকার-ম্যাকারিচেভ-ম্যাকারিচেভ ফলাফলটি নির্দেশিত স্পারস্টেস্ট কাট (যদি কেউ ভার্টেক্স দ্বিখন্ডনের কাটগুলিতে আগ্রহী হন) এর জন্য অনুরূপ আবদ্ধ পেতে ফলাফলটি ব্যবহার করেছিলেন। ফিজে-হাজিয়াঘাই-লি একই সময়ে ভার্টেক্স বিভাজকের জন্য এআরভি এর মাধ্যমে আবার একই ধরণের আবদ্ধতা অর্জন করেছিলেন (এবং এটিও উল্লেখ করেছিলেন যে গাছের প্রস্থটি একই ফ্যাক্টরের অভ্যন্তরে আনুমানিক করা যেতে পারে)। একজনের লক্ষণীয় হওয়া উচিত যে নির্দেশিত গ্রাফগুলিতে অপূর্বর কাটানোর আরেকটি ধারণা রয়েছে যার জন্য চুজয়-খান্না অ-ইউনিফর্মের ক্ষেত্রে কঠোরতার ফলাফল দেখিয়েছিল তবে আমি ইউনিফর্মের মামলার বিষয়ে নিশ্চিত নই। আমি মনে করি সুপার-ধ্রুবক কঠোরতা ফলাফলগুলি ইউজিসির অধীনে (ইউনিফর্ম) স্পার্সেস্ট কাটের জন্য পরিচিত তবে আমি নিশ্চিত নই।