এলপি দ্বৈততার জন্য একটি স্বজ্ঞাত / অনানুষ্ঠানিক প্রমাণ?

এলপি দ্বৈততা সম্পর্কে 'পয়েন্ট হোমটি আঘাত করার' জন্য ভাল অনানুষ্ঠানিক / স্বজ্ঞাত প্রমাণ কী হবে? সর্বনিম্ন উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনটি সীমাবদ্ধভাবে বোঝার স্বজ্ঞাত উপায় সহকারে সর্বনিম্ন কীভাবে দেখানো যায়?

যেভাবে আমাকে দ্বৈততা শেখানো হয়েছিল তা কেবল একটি বোঝার দিকে পরিচালিত করেছিল যা আমি নিশ্চিত যে আমার প্রচুর লোকেরা ভাগ করে নিচ্ছেন: প্রতিটি ন্যূনতম সমস্যার জন্য এখানে একটি সমতুল্য সমস্যা সমাধান করা যায় যা বৈষম্যের সীমাবদ্ধতাগুলি উল্টিয়ে উত্পন্ন করা যেতে পারে। সময়কাল। দ্বৈতত্বের এই "উপসংহার" হ'ল যা মনে হয় তবে "কেন এমন হয়" (যেমন কিভাবে / কেন অনুকূল সমাধানের উপর আবদ্ধ) a

অসমতার সাথে খেলার জন্য কি কেবল সর্বোত্তম উপরের নীচের / উপরের গণ্ডিটি প্রদর্শন করা যা প্রমাণের জন্য প্রেরণা হতে পারে?

আমি চ্যাভালের বইয়ের পাশাপাশি আরও কয়েকজনকে দিয়েছি তবে এলপিতে পরম নুব দ্বারা বোঝা যায় এমন কিছুই আমি খুঁজে পাইনি। আমার নিকটতমটি পাওয়া গেল আলজিরিদম বিষয়ক ভিজিরানির বই থেকে, যেখানে তিনি 'কিছু জাদু সংখ্যার সাথে বৈষম্যকে গুণিত করার বিষয়ে কথা বলছেন যা সীমাবদ্ধ দেখায়' - আমি নিশ্চিত না যে কীভাবে একটি স্বেচ্ছাসেবক এলপির প্রভাব পুনরুত্পাদন করা যায়।

linear-programming primal-dual

— পিএইচডি
সূত্র

ইন এই math.SE উত্তর এবং কেন - - আমি কোথায় দ্বৈত থেকে আসে একটি ধাপে ধাপে উদাহরণ দিয়ে যেতে একটি সমস্যা যে বিভিন্ন সম্ভাবনার যে এলপি সঙ্গে arise তে পারে অধিকাংশ আছে। ' সম্ভবত এটি সাহায্য করতে পারে?

— মাইক স্পাইভে

আপনি কেন ভিজিরানির যুক্তি কোনও সাধারণ এলপির পক্ষে কাজ করেন না তা নিশ্চিত নন। ব্যক্তিগতভাবে, আমি সেই ব্যাখ্যাটি সর্বোত্তমভাবে পছন্দ করি।

— সুরেশ ভেঙ্কট

আপনি দুর্বল দ্বৈততা বা শক্ত দ্বৈততা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন?

— সোসোশি ইতো

সীমাবদ্ধতার একটি রৈখিক সংমিশ্রণ গ্রহণ করার অর্থ কী তা কল্পনা করে আপনি (2 ডি তে বলে) জ্যামিতিক অন্তর্দৃষ্টি পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, বিমানে

x \leq 1

$x \le 1$ এবং সীমাবদ্ধতাগুলি আঁকুন । এই সীমাবদ্ধতার লিনিয়ার সংমিশ্রণগুলি আপনাকে যে কোনও জন্য । এটি দেখতে এটি আঁকুন। সাধারণত, সীমাবদ্ধতার রৈখিক সংমিশ্রণ আপনাকে পলিহেডারের আধিকারিক সমর্থন করে। এখন জিজ্ঞাসা করুন, কেন এই সমর্থনকারী অর্ধ-স্পেসগুলির মধ্যে একটি সর্বদা ব্যয় একটি সীমাবদ্ধ করার জন্য যথেষ্ট? আপনি যদি এটি দেখতে পান তবে তা দৃ strong় দ্বৈত।

y \leq 1

$y \le 1$

a x + b y \leq a + b

$ax + by \le a + b$

a, b \geq 0

$a,b \ge 0$

— নিল ইয়ং

@ মাইকস্পিভি - আমি আশা করি আপনার মন্তব্যটির উত্তর ছিল :)

— পিএইচডি

উত্তর:

ওপি'র ইচ্ছা অনুযায়ী, এখানে গণিত.এসই উত্তরটি আমি আমার মন্তব্যে লিঙ্ক করেছি।

দ্বৈত যেখানে উদাহরণস্বরূপ সমস্যা থেকে আসে সেখান দিয়ে কথা বলা সার্থক হতে পারে। এটি কিছুটা সময় নেবে, তবে আশা করি আমাদের কাজটি শেষ হওয়ার পরে দ্বৈতটি এত রহস্যময় মনে হবে না।

মনে করুন নীচের মত একটি প্রাথমিক সমস্যা আছে।

পি R আমি মি একটি ঠ = {\begin{matrix} সর্বোচ্চ 5 {এক্স}_{1} - 6 {এক্স}_{2} \\ গুলি । টি । 2 {এক্স}_{1} - {এক্স}_{2} = 1 \\ {এক্স}_{1} + + 3 {এক্স}_{2} \leq 9 \\ {এক্স}_{1} \geq 0 \end{matrix}}

$Primal =\begin{Bmatrix} \max \ \ \ \ 5x_1 - 6x_2 \\ \ \ \ s.t. \ \ \ \ 2x_1 -x_2 = 1\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1 +3x_2 \leq9\\ \ \ \ \ x_1 \geq 0\\ \end{Bmatrix}$

এখন ধরুন, আমরা প্রিমালের সীমাবদ্ধতাগুলি প্রিমালের সর্বোত্তম মানের উপরের একটি বাউন্ড সন্ধানের উপায় হিসাবে ব্যবহার করতে চাই। যদি আমরা প্রথম বাধাটি

দ্বারা , দ্বিতীয় বাধাটিকে

দ্বারা গুণিত করি এবং তাদের একসাথে যুক্ত করি, তবে আমরা বাম-হাতের জন্য

এবং

ডান হাতের জন্য

। যেহেতু প্রথম সীমাবদ্ধতা একটি সাম্য এবং দ্বিতীয়টি একটি বৈষম্য, এটি বোঝাচ্ছে

9

$9$

1

$1$

9 (2 x_{1} - x_{2}) + 1 (x_{1} + 3 x_{2})

$9(2x_1 - x_2) + 1(x_1 +3 x_2)$

9 (1) + 1 (9)

$9(1) + 1(9)$

তবে

সাল থেকেএটিও সত্য যে

, এবং তাই

সুতরাং ,

প্রাথমিক সমস্যার সর্বোত্তম মানের উপর একটি উপরের-আবদ্ধ।

19 {এক্স}_{1} - 6 {এক্স}_{2} \leq 18।

$19x_1 - 6x_2 \leq 18.$

x_{1} \geq 0

$x_1 \geq 0$

5 x_{1} \leq 19 x_{1}

$5x_1 \leq 19x_1$

5 {এক্স}_{1} - 6 {এক্স}_{2} \leq 19 {এক্স}_{1} - 6 {এক্স}_{2} \leq 18।

$5x_1 - 6x_2 \leq 19x_1 - 6x_2 \leq 18.$

18

$18$

যদিও আমরা এর চেয়ে আরও ভাল করতে পারি। এবং কে কেবল গুণক হিসাবে অনুমান করার পরিবর্তে আসুন তাদের পরিবর্তনশীল হতে দিন। সুতরাং আমরা multipliers খুঁজছেন এবং বলপূর্বক $9$ $1$ $y_1$ $y_2$

5 x_{1} - 6 x_{2} \leq y_{1} (2 x_{1} - x_{2}) + y_{2} (x_{1} + 3 x_{2}) \leq y_{1} (1) + y_{2} (9) ।

$5x_1 - 6x_2 \leq y_1(2x_1-x_2) + y_2(x_1 + 3x_2) \leq y_1(1) + y_2(9).$

এখন, এই জোড়া বৈষম্য ধরে রাখার জন্য, এবং সম্পর্কে কী সত্য হতে হবে ? একবারে দু'টি অসমতা নিয়ে আসি। $y_1$ $y_2$

প্রথম বৈষম্য : $5x_1 - 6x_2 \leq y_1(2x_1-x_2) + y_2(x_1 + 3x_2)$

$x_1$ $x_2$ $x_1$ $5$ $5$ $x_1 \geq 0$ $5$ $x_1$ $2y_1 + y_2 \geq 5$

$x_2$ $x_2$ $-6$ $x_2$ $-6$ $x_2$ $-6$ $x_2$ $x_2$ । $-y_1 + 3y_2 = -6$

দ্বিতীয় বৈষম্য :

y_{1} (2 x_{1} - x_{2}) + y_{2} (x_{1} + 3 x_{2}) \leq y_{1} (1) + y_{2} (9)

$y_1(2x_1-x_2) + y_2(x_1 + 3x_2) \leq y_1(1) + y_2(9)$

$y_1$ $y_2$ $y_1$ $y_1$ $y_1$ $y_2$ $y_2$ $y_2 \geq 0$

$y_1 + 9y_2$

$y_1$ $y_2$

\begin{aligned} Minimize y_{1} + 9 y_{2} \\ subject to 2 y_{1} + y_{2} & \geq 5 \\ - y_{1} + 3 y_{2} & = - 6 \\ y_{2} & \geq 0. \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize }\:\:\:\:\: y_1 + 9y_2& \\ \text{subject to }\:\:\:\:\: 2y_1 + y_2& \geq 5 \\ -y_1 + 3y_2& = -6\\ y_2 & \geq 0. \end{align*}$

এবং এটি দ্বৈত।

প্রাথমিক এবং দ্বৈত সমস্ত সম্ভাব্য ফর্মের জন্য সম্ভবত এই যুক্তির প্রভাবগুলির সংক্ষিপ্তসারটি মূল্যবান। নিম্নলিখিত টেবিলটি পি থেকে নেওয়া হয়েছে। অপারেশন গবেষণা পরিচিতির 214 , হিলিয়ার এবং লাইবারম্যানের 8 তম সংস্করণ। তারা এটিকে এসওবি পদ্ধতি হিসাবে উল্লেখ করে, যেখানে এসওবি সেন্সিবল, অদ্ভুত বা উদ্ভটকে বোঝায়, সর্বাধিকীকরণ বা হ্রাসকরণ সমস্যার ক্ষেত্রে কেউ কীভাবে সেই নির্দিষ্ট বাধা বা পরিবর্তনশীল সীমাবদ্ধতা খুঁজে পেতে পারে তার উপর নির্ভর করে।

             Primal Problem                           Dual Problem
             (or Dual Problem)                        (or Primal Problem)

             Maximization                             Minimization

Sensible     <= constraint            paired with     nonnegative variable
Odd          =  constraint            paired with     unconstrained variable
Bizarre      >= constraint            paired with     nonpositive variable

Sensible     nonnegative variable     paired with     >= constraint
Odd          unconstrained variable   paired with     = constraint
Bizarre      nonpositive variable     paired with     <= constraint

— মাইক স্পাইভে
সূত্র

মাইকের জবাব এবং ওয়াজিরানীর মন্তব্য সম্পর্কে বিশদ বিবরণ দিয়ে আপনি মূল সমস্যার সমাধানের জন্য সর্বোত্তম প্রমাণের সাধারণ ফর্মটি বিবেচনা করে দ্বৈত হন। ধরুন কিছু রৈখিক অসমতা এবং সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আপনার একটি সর্বাধিকীকরণের সমস্যা রয়েছে, ধরুন আপনি পরিবর্তনশীলকে সর্বাধিক করার চেষ্টা করছেন $x$ । একটি সমাধান দেওয়া যা $x = B$ , আমরা কীভাবে জানি যে এটি সর্বোত্তম? একটি উপায় বাধা পেতে চেষ্টা করা হয় $x$ লিনিয়ার অসমতার লিনিয়ার সংমিশ্রণ গ্রহণ করে। কিছু লিনিয়ার সংমিশ্রণ আপনাকে ফর্মের সীমা দেয় $x \leq C$ , এবং আপনি সেরা (সর্বনিম্ন) পাওয়ার চেষ্টা করছেন $C$ সম্ভব. দুর্বল দ্বৈততা বলে যে $B \leq \min C$ , যা সংজ্ঞা দ্বারা সুস্পষ্ট। দৃ d় দ্বৈততা যে যখন বলে $B$ সীমাবদ্ধ, তারপর $B = \min C$ । এর অর্থ সর্বাধিক হলে $B$ তারপরে একটি "কারণ" রয়েছে যা আপনি অতিক্রম করতে পারবেন না $B$ , যা সর্বোত্তমতার প্রমাণ হিসাবে দ্বিগুণ।

এই দৃষ্টিকোণটি আসলে মাঝে মাঝে সহায়ক হয়। দিন $f$ একটি সেট ফাংশন হতে ( $f$ একটি সেট নেয় এবং একটি আসল সংখ্যা আউটপুট দেয়) এবং $S,O$ দুটি সেট হতে হবে। মনে করুন আপনি একটি বৈষম্য আনার চেষ্টা করছেন $f(S) \geq (1-1/e) f(O)$ ফাংশন সম্পর্কিত একগুচ্ছ অসমতার থেকে $f$ (এটি বাস্তব জীবনের উদাহরণ)। আপনি একটি লিনিয়ার প্রোগ্রাম লিখুন যার মানগুলি $f$ ভেরিয়েবল হয়, $f(O) = 1$ একটি সীমাবদ্ধতা এবং উদ্দেশ্যটি হ্রাস করা $f(S)$ । এই প্রোগ্রামটির সমাধানটি হ'ল $\min f(S) = 1-1/e$ (ধরা যাক $1-1/e$ সর্বাধিক সম্ভব) এবং দ্বৈতটির সমাধান আপনাকে এর প্রমাণ দেয় $f(S) \geq 1-1/e$ ।

এই পাতাটি কেন শক্তিশালী দ্বৈতত্বকে ধারণ করে তা প্রশ্ন উন্মুক্ত করে। রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের জন্য এই সত্যের দুটি প্রমাণ রয়েছে, একটি হ'ল সিম্প্লেক্স অ্যালগরিদমের সাথে জড়িত, অন্যটি ফারাকাসের লেমা। ফারাকাসের লেমা হ'ল পরিস্থিতি বোঝার "সঠিক" উপায়, যা কিছু স্বজ্ঞাত জ্যামিতিক সত্যের কাছে হ্রাস করে। যাইহোক, আমি স্বীকার করি যে এই অনুভূতিটি আমার মাথার উপর দিয়ে যায়।

আরও সাধারণ পরিস্থিতিতে (আসুন সেমিডেফাইনেট প্রোগ্রামিংটি বলা যাক), আপনাকে দ্বৈত ও শক্তিশালী দ্বৈততার জন্য শর্তগুলি পেতে আরও সাধারণ করুশ-কুহন-টকার শর্ত ( লাগরাঞ্জ মাল্টিপ্লায়ারগুলির একটি রূপ) ব্যবহার করতে হবে। এটি লিনিয়ার বা উত্তল অপ্টিমাইজেশনের পাঠ্যগুলিতে চিকিত্সা করা হয়।

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র