সংখ্যা ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিং জটিলতা

সাধারণ সংখ্যা ক্ষেত্রগুলিতে ফ্যাক্টরিজ পূর্ণসংখ্যার গণ্য জটিলতা সম্পর্কে কী জানা যায়? আরো নির্দিষ্টভাবে:

পূর্ণসংখ্যার উপরে আমরা তাদের বাইনারি সম্প্রসারণের মাধ্যমে পূর্ণসংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করি। সাধারণ সংখ্যা ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার উপমা উপস্থাপনা কী?
এটি কি জানা যায় যে সংখ্যা ক্ষেত্রগুলির উপর প্রাথমিক বা পি বা বিপিপিতে রয়েছে?
সংখ্যা ক্ষেত্রগুলিতে ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদমগুলি কী কী? ( এবং (দৃশ্যত) আলগোরিদিম থেকে প্রসারিত?) এখানে, ফ্যাক্টরিং একটি সংখ্যা কিছু উপস্থাপনা খোঁজার বোঝায় (দ্বারা প্রতিনিধিত্বমৌলিক সংখ্যার একটি পণ্য হিসাবে বিট)। $\exp \sqrt n$ $\exp n^{1/3}$ $\mathbb{Z}$ $n$
একটি সংখ্যা ক্ষেত্রে একটি পূর্ণসংখ্যার সমস্ত কারণ নির্ণয়ের জটিলতা কী? এটির কতগুলি স্বতন্ত্র ফ্যাক্টরীকরণ রয়েছে তা গণনা করে?
ওভার এটা জানা যায় সিদ্ধান্ত যদি একটি প্রদত্ত সংখ্যার একটি বিরতি একটা কারণ আছে দ্বারা NP-কঠিন। সংখ্যার ক্ষেত্রগুলিতে পূর্ণসংখ্যার রিংয়ের পরেও, এমন কি এমন কোনও প্রাথমিক উপাদান রয়েছে যেটির নিয়ম একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ইতিমধ্যে এনপি-হার্ড রয়েছে তা সন্ধান করতে পারে? $\mathbb{Z}$ $[a,b]$
বিকিউপিতে সংখ্যা ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিং হয়?

মন্তব্য, প্রেরণা এবং আপডেট।

অবশ্যই সংখ্যাটি ক্ষেত্রের তুলনায় ফ্যাক্টরিয়েশনটি অনন্য নয়। প্রশ্নটি (বিশেষত ৫ ম অংশ) জিএলএল ( এই মন্তব্যটি দেখুন ) এর মাধ্যমে এই ব্লগ পোস্ট দ্বারা এবং এটি পূর্ববর্তী টিসিএসএক্সচেঞ্জ প্রশ্ন দ্বারা উত্সাহিত হয়েছিল। আমি এটি আমার ব্লগেও উপস্থাপন করেছি যেখানে লিয়র সিলভারম্যান একটি পূর্ণাঙ্গ উত্তর উপস্থাপন করেছে ।

cc.complexity-theory nt.number-theory comp-number-theory

— গিল কালাই
সূত্র

আপনি কি একটি উদাহরণ দিতে পারেন? ক্ষেত্রগুলিতে ফ্যাক্টরিং কীভাবে সরাসরি সংখ্যার ফ্যাক্টরিংয়ের চেয়ে আলাদা?

— vzn

(0) এর জন্য: আমি সাধারণত একটি সংখ্যা ক্ষেত্র অনুমান

হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়

যেখানে

একটি সরলীকরণযোগ্য বহুপদী হয়। তারপরে,

একটি উপাদান হল জোড়ার একটি টিপল

যেখানে

K

$\mathbb K$

Q [ξ] / ⟨ φ ⟩

$\mathbb Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$

φ

$\varphi$

K

$\mathbb K$

((n_{0}, d_{0}), (n_{1}, d_{1}), \dots, (n_{δ - 1}, d_{δ - 1}))

$((n_0,d_0),(n_1,d_1),\dotsc,(n_{\delta-1},d_{\delta-1}))$

। এর অর্থ হল আপনার উপাদান

।

δ = \deg (φ)

$\delta=\deg(\varphi)$

n_{0} / d_{0} + n_{1} ξ / d_{1} + \dots + n_{δ - 1} ξ^{δ - 1} / d_{δ - 1}

$n_0/d_0+n_1\xi/d_1+\dotsb+n_{\delta-1}\xi^{\delta-1}/d_{\delta-1}$

— ব্রুনো

@ গিল আপনি কি এই বইটি আগে দেখেছেন? springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-55640-4 আমার এই মুহুর্তে আমার অনুলিপিটিতে অ্যাক্সেস নেই (যদিও আমি কয়েক দিনের মধ্যে আবার করব, এবং এটি পরীক্ষা করব)। আমি দেখতে চাই যে (i) বীজগণিত সংখ্যা ক্ষেত্রগুলিতে, বা (ii) ডেডিকাইন্ড ডোমেনগুলিতে ক্লাস নম্বর> 1 সহ 1. সম্পর্কিত বিষয় সম্পর্কে কিছু লেখা আছে কিনা

— ড্যানিয়েল আপন

@ ভিজেএন: গিলের মুখে শব্দ না রেখে আমি নিশ্চিত যে তার অর্থ যুক্তিগুলির সীমাবদ্ধ এক্সটেনশান (আপনি ঠিক কীভাবে যুক্ত ছিলেন)। তিনি যখন "এই জাতীয় ক্ষেত্রে ফ্যাক্টরিং" বলছেন তখন আমি নিশ্চিত যে তার অর্থ এই জাতীয় ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার কংগ্রে ফ্যাক্টরিং। আপনি যে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় লিঙ্ক করেছেন একই বীজগণিত নম্বর ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার রিংয়ের একটি বিভাগ রয়েছে।

— জোশুয়া গ্রাচো

@vzn সংখ্যা-ক্ষেত্রের চালনা সংখ্যার ক্ষেত্রকে পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টর ব্যবহার করে।

— যুবাল ফিল্মাস

উত্তর:

নিম্নলিখিত উত্তরটি মূলত গিলের ব্লগে একটি মন্তব্য হিসাবে পোস্ট করা হয়েছিল

(1) আসুন একটি সংখ্যা ক্ষেত্র হতে পারে, যেখানে আমরা অনুমান একটি monic ন্যূনতম বহুপদী হয়েছে । এরপরে কেউ বা অবিচ্ছেদ্য ভিত্তিতে বহুবচন হিসাবে পূর্ণসংখ্যার এর রিংয়ের উপাদানগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে পারে - দুটি সমান। $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ $\alpha$ $f\in\mathbb{Z}[x]$ $\mathcal{O}_K$ $\alpha$

এখন ফিক্সিং (1) এমন একটি বহুপদী-সময়ের সাথে সমস্যা থেকে হ্রাস এর মধ্যে সমস্যার । গণনাগুলি (যেমন, সাথে আদর্শকে ছেদ করা বা বহুভুত মড ফ্যাক্টর করা ) বহুবারের সময়ে করা যেতে পারে তা যাচাই করার জন্য কোহেনের বইটি পূর্ববর্তী উত্তরে উল্লিখিত হয়েছে। $K$ $K$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ $p$

প্রতিটি যৌক্তিক প্রাইম পূর্বাভাস হিসাবে এর বৈষম্যমূলক বিভাজন করে (এটি এর বৈষম্যমূলক ) উপরে থাকা এর সমস্ত প্রাইম সন্ধান করুন । $p$ $\alpha$ $f$ $\mathcal{O}_K$ $p$

(2) primality পরীক্ষার জন্য একটি আদর্শ দেওয়া দিন যেমন হতে পারে, (এই বহুপদী সময় নির্ণিত করা যেতে পারে এবং এর বিট সংখ্যা ইনপুটে বহুপদী যায়)। বহুপ্রথম সময়ে পরীক্ষা করুন যে প্রধান কিনা । যদি তা না হয় তাহলে মৌলিক নয়। যদি হ্যাঁ হয় তবে এর প্রাইমগুলি উপরের শুয়ে আছে পূর্ববর্তী থেকে বা মোড । যাই হোক যদি সেই মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একটি হতে হবে মৌলিক নয়। $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $p\in\mathbb{Z}$ $\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ $p$ $p$ $\mathfrak{a}$ $\mathcal{O}_K$ $p$ $f$ $p$ $\mathfrak{a}$

(3a), (6A) মৌলিক মধ্যে ফ্যাক্টরিং জন্য একটি আদর্শ দেওয়া তার আদর্শ খুঁজে । আবার এটি বহু বহু সময় পাওয়া যায় এবং ফলস্বরূপ খুব বড় হয় না। ফ্যাক্টর মধ্যে (হয় ধ্রুপদী বা Shor, এর এলগরিদম ব্যবহার করে, হ্রাস আপনি চান উপর নির্ভর করে)। এটি কে বিভাজক যুক্তিযুক্ত প্রাইমগুলির একটি তালিকা দেয় এবং তাই 2 হিসাবে আমরা বিভাজক এর প্রাইমগুলির তালিকাটি পেতে পারি । যেহেতু $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$ $y$ $\mathbb{Z}$ $y$ $\mathcal{O}_K$ $y$ এই বিভাজক মৌলিক সংখ্যার তালিকা দেয় । পরিশেষে নির্ধারিত আদর্শকে কোনও প্রধান ভাগ করে দেয় এমন ঘনঘনটি নির্ধারণ করা সহজ। $\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$ $\mathfrak{a}$

(3 বি), (6 বি) তবে গিল প্রাইমগুলিতে নয়, অদম্যতে ফ্যাক্টরীকরণ চায়। দেখা যাচ্ছে যে ফ্যাক্টরীকরণের ফলে উপাদানগুলিতে একটি ফ্যাক্টরীকরণ দক্ষতার সাথে তৈরি করা সম্ভব । এর জন্য শ্রেণীর নম্বর হতে দিন এবং নোট করুন যে কোনও নির্দিষ্ট আদর্শের আদর্শ শ্রেণীর দক্ষতার সাথে গুন করা সম্ভব। এখন একজন সরলীকরণযোগ্য ভাজক এটি নির্বাচন এর গুণকনির্ণয় থেকে (পুনরাবৃত্তি সঙ্গে সম্ভবত) মৌলিক আদর্শের $x\mathcal{O}_K$ $x$ $\mathcal{O}_K$ $h_K$ $x$ $h_K$ $x$ । কবুতর-গর্তের নীতি অনুসারে শ্রেণীর গোষ্ঠীতে পরিচয়ের গুন বেড়ে যায়; এমন একটি ন্যূনতম উপসেটটি সন্ধান করুন। এর পণ্যটি তখন একটি অপরিবর্তনীয় উপাদান দ্বারা উত্পন্ন মূল আদর্শ। এই উপাদান দ্বারা ভাগ করুন , অনুষঙ্গ থেকে প্রাসঙ্গিক আদর্শ অপসারণ এবং পুনরাবৃত্তি। যদি অনুষ্কারে এর কম উপাদান থাকে তবে কেবলমাত্র সমস্ত কারণের একটি সংক্ষিপ্ত উপসেট গ্রহণ করুন। $x$ $h_K$

(4) আমি মনে করি এটি অবিচ্ছেদ্য উপাদানগুলিতে গুণন করা সম্ভব, তবে এটি অতিরিক্ত সংযোজকগুলির একটি সামান্য বিষয় - দয়া করে আমাকে এটির কাজ করার জন্য সময় দিন। অন্যদিকে, এগুলি সমস্ত নির্ধারণ করা সাব-এক্সফেনশনিয়াল ফ্যাক্টেরাইজেশন অ্যালগরিদমগুলির প্রসঙ্গে আকর্ষণীয় নয়, কারণ সাধারণভাবে যেমন তাত্পর্যপূর্ণ অনেকগুলি কারণ রয়েছে।

(5) আমার কোনও ধারণা নেই।

— লাইয়ার সিলবারম্যান
সূত্র

ড্যানিয়েল দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, আপনি কম্পিউটেশনাল বীজগণিত নম্বর তত্ত্ব ( লিঙ্ক ) বইটি মধ্যে কিছু তথ্য পেতে পারেন ।

বিশেষত, সংখ্যা ক্ষেত্রের উপাদানগুলি উপস্থাপনের বিভিন্ন উপায় রয়েছে। আসুন একটি সংখ্যা সঙ্গে ক্ষেত্র হতে একটি degree- এর monic সরলীকরণযোগ্য বহুপদী । যাক শেকড় হতে । তথাকথিত মান প্রতিনিধিত্ব একটি উপাদান এর tuple হয় $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$ $\varphi$ $n$ $\mathbb Z[\xi]$ $\theta$ $\varphi$ $\alpha\in K$ $(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$ $a_i\in\mathbb Z$ $d>0$ $\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$

α = \frac{1}{d} \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} θ^{i} .

$\alpha=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{n-1} a_i\theta^i.$

— ব্রুনো
সূত্র