একটি "প্রান্ত বা বিচ্ছিন্ন শীর্ষস্থানীয়" মুছে ফেলার গেমের কৌশল অর্জন

Question

এই নিখুঁত তথ্য গেমটি গ্রাফগুলিতে খেলে কি জানেন / অধ্যয়ন করেছেন?

একটি গ্রাফ , দুটি খেলোয়াড় বিকল্প প্রান্ত বা একটি বিচ্ছিন্ন নোড বাছাই করছে। যদি প্লেয়ার একটি কিনারা নেয় দুটি নোড এবং তাদের ঘটনার প্রান্তের সাথে মুছে ফেলা হয়েছে। খেলোয়াড় যদি একটি বিচ্ছিন্ন নোড ধরে, নোড মুছে ফেলা হয়। সরানো যায় না এমন প্রথম খেলোয়াড় গেমটি হারায়। $G= (V,E)$ইউ $e = (u,v)$$u$$v$

বিজয়ী সন্ধানের জটিলতা কী?

অনুরূপ গেমগুলির জন্য কোনও রেফারেন্স?

Comments

আমি ধরে নিই যে বিচ্ছিন্ন নোডটি তোলা গেলে অপসারণ করা হবে? যদি তা হয় তবে, খেলোয়াড় 0 প্রথম দুটি পদক্ষেপকে দুটি সমান উপাদানগুলিতে বিভক্ত করে এবং তারপরে প্রতিপক্ষকে বিপরীত উপাদানটিতে আইসোমরফিজম বজায় রাখার জন্য মিরর করে ব্যয় করে সমস্ত অযৌক্তিক পথেও জয়ী হয়। এটি প্রথম খেলায় কোনও পথে সমস্যা হ্রাস করে বলে একটি চক্রের উপর খেলোয়াড় 1 জয়ের ইঙ্গিত দেয়।

— যোনাতন এন

@ যোনাতানএন: হ্যাঁ একটি বিচ্ছিন্ন নোড বাছাই করা যায় (এবং সরানো); তবে সিমিটারি কৌশলটি সমান দৈর্ঘ্যের পথে কাজ করে (প্লেয়ার 0 প্রথমে 2 টি কেন্দ্রীয় নোডকে প্রথম পদক্ষেপ হিসাবে ধরে নিয়ে যায়, তারপরে প্লেয়ার 1 এর চালগুলি আয়না করে) তবে বিজোড় দৈর্ঘ্যের পথে নয়: কৌশলটি দৈর্ঘ্যের পথে প্রয়োগ করার চেষ্টা করুন 11, এবং এটি কাজ করে না (প্রকৃতপক্ষে দৈর্ঘ্যের 11 টি পথে বিজয়ী খেলোয়াড় 1)।

— মারজিও দে বিয়াসি

@ মারজিও দে বিয়াসি: আমি দুঃখিত তবে আমি যখন ভাল গেম খেলি তখন আমি সাধারণত হাতের মুঠোয় খেলি। যদি আমি ভুল না করি তবে প্লেয়ার 0 এর একটি বিজয়ী কৌশল রয়েছে: লক্ষ্য করুন: ক) পি 1, পি 2, পি 5 এবং পি 8 এর জন্য প্লেয়ার 0 সর্বদা জয়ী হয়। খ) পি 3 এবং পি 7 এর জন্য, প্লেয়ার 1 সর্বদা জয়ী হয়। সি) পি 4 এবং পি 6 এর জন্য, খেলোয়াড় 0 জিততে বা হারাতে সিদ্ধান্ত নিতে পারে। এখন পি 11 এর ক্ষেত্রে: - পি 11 এর নোডগুলিকে ভি 1, ভি 2, ... ভি 11 দিয়ে নম্বর দিন। - খেলোয়াড় 0 প্রান্তটি v9, v10 নেয় এবং বাকিটি বিচ্ছিন্ন নোড ভি 11 এবং পি 8। যদি প্লেয়ার 1 টি v11 নেয় তবে প্লেয়ার 0 জিততে পারে কারণ তার একটি সমান পথ রয়েছে। অন্যথায়, প্লেয়ার 0 ক), খ) এবং গ) দ্বারা জিতবে।

— ব্যবহারকারী 13136

আমার প্রোগ্রাম অনুসারে , n≤100 এর মানগুলি যে প্রথম খেলোয়াড়ের সাথে এন শীর্ষে দিয়ে গেমটিতে হেরে যায় 3, 7, 23, 27, 37, 41, 57, 61, 71, 75, 91 এবং 95. দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি বিজোড় হওয়া ছাড়া অন্য কোনও প্যাটার্ন দেখতে পাচ্ছি না (যা ইতিমধ্যে জানা ছিল) এবং ওইআইএস কোনও মিল দেখায় না।

— সোসোশি ইটো

@ শুয়োশিআইটো: ... জুটিযুক্ত পার্থক্যটি ধরুন: (3)) (23 27) (37 41) (57 61) (71 75) (91 95) এবং আপনি 4 4 4 4 4 4 পান ... এটি একটি মনে হয় নিদর্শন :-) .... (3 ... 23) ... (37 ... 57) ... (71 ... 91) এবং আপনি 20 20 20 পাবেন ... অন্য একটি! :-D

— মারজিও ডি বিয়াসি

Answer 1

আমি এটিকে প্রশ্ন থেকে আলাদা রাখতে ( যা এখনও খোলা আছে ) কেবল স্ব-উত্তর হিসাবে একটি আপডেট পোস্ট করি ।

মন্তব্যে দেখানো হয়েছে (স্যুওশি ইতোকে ধন্যবাদ) সমস্যাটি বহু-কালীন পাথের জন্য দ্রবণযোগ্য:

$Win(P_n) = 1$$(n \bmod 34) \in \{3,7,23,27\}$

0 থেকে শুরু করে নিম মানগুলির (গণনা করা) অনুক্রম পর্যায়ক্রমিক:

0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6,
...
the subsequence rseq of length 34:
4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6
is repeated

আমি কঠোর গাণিতিক প্রমাণ নিয়ে কাজ করি নি, তবে ধারণাটি হ'ল:

মনে করুন যে আমরা এলিমেন্ট গণনা করতে চাই , তারপরে প্রথম পদক্ষেপটি (একটি প্রান্ত বেছে নিন) split in বিভিন্ন উপায়ে (এন -২০), (এন -3, 1), (N-4,2), ...)। নতুন নিম মানটি এর সমান:⌈ n / 2 $Win(P_n), n = k*34 + x \; (k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$\lceil n / 2 \rceil$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$

সেটটির প্রথম 34 উপাদানগুলি প্রথম অ পুনরাবৃত্ত ক্রম দ্বারা উত্পাদিত হয় (0,1,1,0, ...) (নিম) উপাদান থেকে শুরু করে বিপরীত ক্রমে পুনরাবৃত্তি ক্রমের উপাদানগুলির সাথে ।$(34-2-x) \bmod 34$

উদাহরণস্বরূপ: :$x = 0$

     0,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,1,5,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,2,6 +
     3,4,4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,7,5,4,4,3,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,6 =
mex{ 3,5,5,1,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,6,6,0,7,6,1,1,3,2,1,2,1,1,1,3,1,5,5,6,0 } = 4

X = 0..33 এর জন্য ফলাফলযুক্ত ম্যাক্স ক্রম পুনরাবৃত্তি ক্রমের সমান:

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,5,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,6

সেটটির অবশিষ্ট উপাদানগুলি কেবল পুনরাবৃত্তি ক্রম (গুলি) তে গণনা করা হয়: ( জন্য পুনরাবৃত্তি করা হয়, তাই তারা ম্যাক্স ফলাফল পরিবর্তন করে না)। X = 0..33 এর জন্য ফলাফলযুক্ত ম্যাক্স ক্রমটি হ'ল:$rseq[j \bmod 34] + rseq[(34-2-x-j) \bmod 34]$$j \geq 34$

4,1,1,0,2,1,3,0,1,1,3,2,2,3,4,4,4,7,2,2,3,1,1,0,3,1,2,0,1,1,4,4,3,4,

যা এবং ব্যতীত পুনরাবৃত্ত ক্রমের সমান ; তবে মানগুলি পুনরাবৃত্তি না করার ক্রমের সাথে সম্পর্কিত মেক্সের চেয়ে কম, সুতরাং:$x=16$$x=33$

$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{\lceil n / 2 \rceil}+P_{n-\lceil n / 2 \rceil}\}$ =$mex \{ P_{n-2}+P_0, P_{n-3}+P_1, ..., P_{n-2-33}+P_{33}\}$

এবং ,ডব্লু আই এন এন ( পি কে ) 34 + এক্স ) = ডব্লু আই $(k\geq 4, 0 \leq x < 34)$$Win(P_{k*34 + x}) = Win(P_{34+x}) = Win(P_x)\;$

Comments

আমার গণনা অনুসারে, প্রথম খেলোয়াড়ের কাছে for এর জন্য একটি বিজয়ী কৌশল রয়েছে , যা আপনার দাবির প্রতি-উদাহরণ দেয় iff । $P_{23}$$Win(P_n)= 1$$(n \mod\, 34) \in \{3, 7, 23, 27\}$

— ব্যবহারকারী 13136

@ ব্যবহারকারী 13136: আপনি কি নিম মানগুলি পরীক্ষা করেছেন? For এর জন্য নিম মান 0 (আমি ভিন্ন প্রোগ্রামের সাথে স্যুওশি'র একই মান পেয়েছি, তবে সম্ভবত আমরা উভয়ই ভুল)। $P_{23}$

— মারজিও ডি বায়াসি

আমি মনে করি আপনার প্রোগ্রামগুলির একটি সম্ভাব্য ত্রুটি উপেক্ষা করা হতে পারে , সেক্ষেত্রে প্রথম প্লেয়ার সর্বদা হারায়। আপনি যদি চান তবে আমরা এখনই case খেলতে পারি । পি $P_0$$P_{23}$

— ব্যবহারকারী 13136

দুঃখিত, আমাকে এখনই চলে যেতে হবে।

— ব্যবহারকারী 13136

$(n_{17}, n_{18}) \to (n_{5}, n_{6}) \to (n_{11}, n_{12}) \to (n_{1}, n_{2})$ (আপনি

— মুভগুলি