হাইপারকিউবে দুটি সেট পয়েন্টের মধ্যে নিকটতম জুটি সন্ধান করা

Question

দুই সাব-সেট নির্বাচন দেওয়া -dimensional hypercube (অর্থাত, এম , এন ⊆ { 0 , 1 } ঘ ), আমি একটি অ্যালগরিদম যা পয়েন্ট আহরণ খোঁজ করছি মি ∈ এম , এন ∈ এন ম hamming দূরত্ব (অথবা এল 1 - হাইপারকিউবের উপর দূরত্ব) ডি এইচ ( এম , এন ) ন্যূনতম। নিষ্পাপ অ্যালগরিদম যা প্রতিটি জোড়ের জন্য প্রয়োজন তা যাচাই করে | এম | ⋅ | এন | । $d$$M, N \subseteq \{0,1\}^d$$m\in M, n\in N$$L_1$$d_H(m,n)$$|M|\cdot |N| \cdot d$ সময়, এর চেয়ে ভাল ফল জানা যায় কি?

সরলতার জন্য আমরা ধরে নিতে পারি ।$|M|=|N|=d$

Comments

Hmmm। আরও কি কোন প্রেরণা / প্রয়োগ আছে? সন্দেহ হয় যে এই ইউক্যালিডিয়ান / প্ল্যানার অ্যালগরিদমের একটি বহুমাত্রিক এনালগ রয়েছে তবে উইকিপিডিয়া অন্য কোথাও উদ্ধৃত করে না এবং এটি অন্য কোথাও শুনে নি .... এটি এন-ডিমে ভেক্টরগুলির জন্য একটি অ্যালগরিদম সন্ধান করতে সহায়তা করতে পারে। প্রবন্ধের শুরুতে এটা সমাধান করা যেতে পারে জাহির বলে মনে হয় উচ্চতর মাত্রার জন্য ঘ > 2 কিন্তু কোন তথ্যসূত্র দেয়। রেফস কোথাও? $O(n \log n)$$d>2$

— vzn

বিভাজন এবং বিজয়ী যুক্তি একটি প্যাকিং বাউন্ডের উপর নির্ভর করে। উচ্চ মাত্রায়, এটি পুনরাবৃত্তির জন্য ফ্যাক্টরের পরিচয় দেয়, তবে n এর উপর নির্ভরতা একই থাকে। সুতরাং আপনি যদি ডি-তে শর্তাদি ঘনিষ্ঠ হন না তবে আপনি এই পদ্ধতির ব্যবহার করতে পারেন। আপনি যদি সঠিক কিছু চান, তবে আপনি আরও ভাল কিছু করতে সক্ষম হবেন না। $2^d$$n$$d$

— সুরেশ ভেঙ্কট

আরো দেখুন নিকটতম প্রতিবেশী অনুসন্ধান

— vzn

এটি অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে। হাইপারকিউবে এন + এম এলোমেলো স্ট্রিং সম্পর্কে ভাবুন। কোনওভাবে প্রতিটি জোড়ের হামিং দূরত্ব মোটামুটি d / 2 এবং আপনার নিকটতম জোড়াটি খুঁজতে আপনাকে সমস্ত জোড়া পরীক্ষা করতে হবে।

— সারিল হার-পিল্ড

@ সারিল হার-পিল্ড: সুরেশ লিখেছেন যে কোনও ধ্রুবকের জন্য সমস্যাটি ও (এন লগ এন) (যেখানে এন = ম্যাক্স {| এম |, | এন | in) সময়ে সমাধান করা যেতে পারে d। অতএব, "আপনাকে নিকটতম জোড়াটি খুঁজতে সমস্ত জোড়া পরীক্ষা করতে হবে" আমার কাছে সঠিক শোনাচ্ছে না।

— সোসোশি ইটো

Answer 1

ঠিক বুঝতে পেরেছি যে আপনি কেসটি চাইছেন । তাহলে আপনি ম্যাট্রিক্স গুণ করতে পারবেন, তাই না? লিখন এম একটি সারিতে ম্যাট্রিক্স হয় এক্স , এন একটি কলাম ম্যাট্রিক্স হিসাবে ওয়াই , এর এন্ট্রি অস্বীকার ওয়াই এবং ম্যাট্রিক্স গনা জেড = এক্স ওয়াই । স্পষ্টতই, z i , j হ'ল M এর i ম পয়েন্ট এবং N এর j ম পয়েন্টের মধ্যে হামিং দূরত্ব$|M|=|N|=d$$M$$X$$N$$Y$$Y$$Z=XY$$z_{i,j}$$i$$M$$j$$N$ । শেষ ব্রেকথ্রুগুলি অনুসারে এটি চলমান সময় $O(d^{2.3727})$ (কিন্তু আমি একটি 50,000 পৃষ্ঠাগুলি শো পাণ্ডুলিপি কিভাবে এই ম্যাট্রিক্স গুণ করতে সময় একটি সত্যিই সহজ অ্যালগরিদম দ্বারা)।$O(d^{2.3726999999})$

ম্যাট্রিকগুলি বর্গক্ষেত্র না হলে আপনি অনুরূপ প্রভাব পেতে পারেন। আমি মনে করি উরি জুইউকের এই ক্ষেত্রে দ্রুত ম্যাট্রিক্সের গুণনের একটি কাগজ রয়েছে।

কিছু অর্থে, এটি খুব আকর্ষণীয় নয় - আমরা ও ( | এম | ∗ | এন | ) এড়াতে চাই শব্দটি। উন্নতি ঘ মেয়াদ Meh, Meh ধরনের হয় ...$O(|M| * |N|)$$d$

Comments

দুর্দান্ত খুঁজে। অন্য একটি নোটে, আমার একজন সহকর্মী এই কাগজটি খুঁজে পেয়েছেন: toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdf এবং কেবলমাত্র আমি এখন বুঝতে পারি যে এটি আপনার দ্বারা লিখিত ছিল (এটিও)। পৃষ্ঠা 17+ বিশেষ আকর্ষণীয় ..

— এইচডিএম

হ্যাঁ. পরিচিত মনে হচ্ছে - তবে লক্ষ্য করুন যে এটি প্রায় অনুমান - সুরেশ সঠিক ফলাফল চেয়েছিল ...

— সারিল হার-প্লেড

Answer 2

মতামত হিসাবে এই সমস্যাটি সাধারণত হিলবার্ট স্পেসে একই সমস্যার সাথে নিবিড়ভাবে সংযুক্ত থাকে এবং সেখানে প্রায় প্রযোজ্য অ্যালগরিদমও রয়েছে। এই একটি উদাহরণ আর্য দ্বারা এই কাগজ খুঁজে পাওয়া যেতে পারে এট [1] p29 যেখানে লেখক বেঞ্চমার্ক বুলিয়ান ঘনক্ষেত্র এবং ব্যবহার প্রতিবেশী অ্যালগরিদম নিকটতম তাদের হিলবার্ট স্পেস আদর্শ। তাদের অ্যালগোরিদম যে কোনও এল এম মিনকভস্কি মেট্রিকে কাজ করে । যেমনটি আপনি দেখিয়েছেন (তবে উইকিপিডিয়া অন্য অনেকগুলি রেফ ব্যবহার করে না বলে মনে হয় না) হ্যামিং দূরত্বের মেট্রিক বাইনারি স্থানাঙ্কের এল 1 মিনকভস্কি স্পেস মেট্রিক বা "ট্যাক্সিক্যাব মেট্রিক" এর সমান equivalent তাদের অ্যালগরিদম O ( d n লগ এন $L_\infty$$L_m$$L_1$$O(dn \log n)$প্রাক প্রসেসিং সময় ( মাত্রা) এবং লগারিদমিক "ক্যোয়ারী" সময় (প্রতি পয়েন্ট)। [2] দেখুন$d$

[1] স্থির মাত্রা আর্য এট আল, ৩০ পিপি স্থির প্রায় নিকটবর্তী নিকটবর্তী অঞ্চলের অনুসন্ধানের জন্য একটি অনুকূল অ্যালগরিদম

[২] কার্যকর নিকটস্থ প্রতিবেশীরা হাইপার-কিউবে অনুসন্ধান করে, আণবিক ক্লাস্টারিং কাজলের অ্যাপ্লিকেশন সহ

Comments

আর্য এট আল-এ প্রমাণিত কোয়েরি টাইম হ'ল । কোনও তুচ্ছ আলগোরিদিম হাইপারকিউবে আরও ভাল করে। তারা p.29-তে যুক্তি দিয়েছিল যে পরীক্ষাগুলি খুব আবদ্ধ হতে পারে বলে মনে করে তবে তারা মাত্রা <= 16. দেখায়$\Omega(d^d)$

— সাশো নিকোলভ