আমি দাবি করি যে একটি "প্রাকৃতিক বুলিয়ান সিএসপি" এর জন্য, যদি কে- রেসেট্রিক্টেড সংস্করণ প্রতিটি কে-এর জন্য পি-তে থাকে তবে প্রতিবন্ধী সংস্করণটি পি-তেও রয়েছে I আমি নীচে একটি "প্রাকৃতিক বুলিয়ান সিএসপি" সংজ্ঞা দেব।
শ্যাফেরের উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে একটি সুনির্দিষ্ট সেট এস সম্পর্কে বুলিয়ান সিএসপি পিতে রয়েছে যদি নিম্নলিখিত নীচের একটি শর্ত সন্তুষ্ট হয় এবং যদি সেগুলির কোনওটিই সন্তুষ্ট না হয় তবে এটি এনপি-সম্পূর্ণ:
- এস এর প্রতিটি সম্পর্ক (ধ্রুবক 0 বাদে) এর সমস্ত ভেরিয়েবলগুলিকে 1 প্রদান করে সন্তুষ্ট হয়।
- এস এর প্রতিটি সম্পর্ক (ধ্রুবক 0 বাদে) এর সমস্ত ভেরিয়েবলগুলিকে 0 প্রদান করে সন্তুষ্ট হয়।
- এস এর প্রতিটি সম্পর্ক 2-সিএনএফ সূত্রের সমতুল্য।
- এস এর প্রতিটি সম্পর্ক হর্ন-ক্লজ সূত্রের সমতুল্য।
- এস এর প্রতিটি সম্পর্ক দ্বৈত-হর্ন-ক্লজ সূত্রের সমতুল্য। (একটি "দ্বৈত-হর্ন-ক্লজ সূত্র" এর অর্থ একটি সিএনএফ সূত্র যেখানে প্রতিটি অনুচ্ছেদে অন্তত একটি ইতিবাচক আক্ষরিক থাকে contains)
- এস এর প্রতিটি সম্পর্ক অ্যাফাইন ক্লজের সংমিশ্রনের সমতুল্য।
এখন ধরে নিন যে পি ≠ এনপি, এবং এস অসীম সেই ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন । যদি কে- রেসেন্ট্রিকৃত সংস্করণ প্রতিটি কে- তে পি তে থাকে তবে শ্যাফেরের উপপাদ্য অনুসারে এস এর প্রতিটি সীমাবদ্ধ উপসেট উপরের ছয়টি শর্তের মধ্যে কমপক্ষে একটি সন্তুষ্ট করে এবং এর অর্থ পুরো সেট এস ছয়টি শর্তের মধ্যে কমপক্ষে একটি সন্তুষ্ট করে। এর অর্থ কি এই যে সিআরপি ছাড়াই বিনয়ের বাধা ছাড়াই পি তে আছে? এখনো না.
যখন এস অসীম হয়, আমরা উল্লেখ করতে কিভাবে ইনপুট সূত্র প্রতিটি দফা দেওয়া হয় না। আমরা ধরে নিই {0,1} থেকে কিছু surjective ম্যাপিং নেই * থেকে এস , যা সম্পর্কের এনকোডিং উল্লেখ করে এস । একটি বুলিয়ান সিএসপি উভয় এস এবং এই এনকোডিং ফাংশন দিয়ে নির্দিষ্ট করা হয় ।
নোট করুন যে উপরের 3, 4, 5 এবং 6 এর উপরে প্রতিটি ক্ষেত্রে শর্তটি সন্তুষ্ট করে সম্পর্কের প্রতিনিধিত্ব করার একটি প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে: 3 ক্ষেত্রে 2-সিএনএফ সূত্র, 4 ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে একটি হর্ন-ক্লজ সূত্র এবং আরও অনেক কিছু। এমনকি যদি কোনও সম্পর্কটি একটি 2-সিএনএফ সূত্রের সমতুল্য হয় (বলুন), এর এনকোডিংটি 2-সিএনএফ সূত্রে এটির সমতুল্য একটি সহজ অ্যাক্সেস দেয় এমন কোনও প্রাইরি গ্যারান্টি নেই।
এখন আমরা বলি যে কোনও বুলিয়ান সিএসপি স্বাভাবিক হয় যখন এর এনকোডিং কার্যটি নিম্নলিখিতটি পূরণ করে:
- কোনও সম্পর্কের এনকোডিং দেওয়া হয়েছে এবং তার সমস্ত ভেরিয়েবলের জন্য একটি কার্যবিবরণী দেওয়া হয়েছে, সম্পর্কটি সন্তুষ্ট কিনা তা বহুবারের মধ্যে গণনা করা যায় কিনা। (দ্রষ্টব্য: এটি নিশ্চিত করে যে প্রশ্নে থাকা সিএসপি সর্বদা এনপিতে থাকে))
- 3, 4, 5 বা 6। সম্পর্কের সন্তোষজনক শর্তের একটি এনকোডিং দেওয়া, এটির উপরে উল্লিখিত প্রাকৃতিক প্রতিনিধিত্ব বহুবারের মধ্যে গণনা করা যেতে পারে।
তারপরে এটি সহজেই দেখা যায় যে এস যদি উপরের ছয়টি শর্তের মধ্যে এসটিকে সন্তুষ্ট করে এবং এস এর জন্য এনকোডিং এই "প্রাকৃতিকতা" শর্তটিকে সন্তুষ্ট করে, তবে আমরা সংশ্লিষ্ট অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে পারি। আমি যে দাবিটি শুরুতে বলেছি তা পি = এনপির ক্ষেত্রে এবং পি ≠ এনপির ক্ষেত্রে উভয় বিবেচনা করে প্রমাণিত হতে পারে।